به نام آن كه فكرت آموخت

1. فصل 5 اندازه حركت وكاربردهاي آن به نام آن كه فكرت آموخت مكانيك كوانتومي نوشته بالنتين نسيم اميني شيرين حاجيان استاد راهنما دكتر جلالي

2. آنچه در اين فصل مي خوانيم : 1- نمايش تكانه 2- توزيع تكانه در يك اتم 3- قضيه بلوخ 4- تئوري پراش 5- آزمايش پراش 6- حركت در ميدان يكنواخت نيرو

3. نمايش تكانه تكانه با انتخاب بردارهاي يكه به عنوان سه مولفه ازاين عملگر تعريف مي شود شرايط راست هنجاري را براي مقادري كه به فرم پيوستارند به شكل زير مي پذيريم كه يك ويژه بردار با هنجار بينهايت است. براي پيدا كردن ويژه بردارهاي تكانه ومكان به بررسي ضرب داخلي آنها مي پردازيم با به كار بردن رابطه هاي زير: (4-1) و (4-3)

4. كه جواب آن به صورت زير است * از شرط بهنجارش داريم : نتيجه اين كه : با جايگذاري در*داريم : نمايش در فضاي مكان يك تابع از x است

5. به همين ترتيب نمايش در فضاي تكانه به اين صورت است تبديل فوريه است هر عملگر در فضای خود قطری است بنابراین در فضای قطری است. اثرعملگرمكان به اين صورت است:

6. بنابراين عملگر مكان در فضاي تكانه به اين شكل است ويژه بردارهاي تكانه نابهنجارند بنابراين متعلق به فضاي هيلبرت نيستند با وجود اين كه اين موضوع مشكلي ايجاد نمي كند اما فرض مي كنيم فضاي ما مكعبي با ابعاد بزرگي از L است .به اين صورت از بي نهايت شدن نرم جلوگيري مي كنيم و شرايط مرزي دوره اي را اعمال مي كنيم. اگربخواهيم عملگرتكانه در به صورت دوره اي باشد مقاديرمجاز بهازاي شرايط مرزي مضرب صحيحي از خواهد بود. بنابراين يك مقدار مجاز kبراي هر در فضاي kوجود دارد. با نشان دادن ويژه بردارهاي اين مكعب به صورت زير آن ها را از قسمت قبل جدا مي كنيم

7. به اين صورت ويژه بردار ها را بهنجار كرديم پس از شرايط راست هنجاري را ارضا مي كنند در حد نتيجه اين روش بايد با فضاي بدون مرزمطابقت كند .در صورتي كه رابطه در اين حد به تبديل نمي شود. آن چه برای ما اهمیت دارد مقدار چشم داشتی مشاهده پذیری چون روی حالت است چگالی احتمال در فضای اندازه حرکت است.بنابراین نتیجه روش اول به این صورت است

8. در دومین روش (جعبه ای) احتمال در فضای اندازه حرکت به ازای مقادیر گسسته در است. (k مقادیر مجاز در شرایط مرزی) مجموع برای مقادیر مجازk در شبکه است.برای L بزرگ (در هر حجم درفضایk )مقادیر مجاز k متراکم می شود در L هاي بزرگ مقايسه رابطه 5-8 با 5-4 نشان می دهد که : پس نتیجه دومین روش مشابه پاسخ اولین روش است با تفاوت در یک ضریب

9. توزیع تکانه در یک اتم طبق تئوری , توزیع احتمال اندازه حرکت برای حالت به شکل زیر است ساده ترین حالت , اتم هیدروژن با یک الکترون ویک پروتون است یونش اتم هیدروژن با باریکه ای از الکترون با انرژی بالا انجام می گیرد

10. معادله پایستگی تکانه ایجاب می کند که : و تکانه الکترون و پروتون قبل از برخورد هستندو تکانه نهایی هسته پس ازیونیزاسیون است. برخورد الکترون پر انرژی و الکترون اتمی به سرعت اتفاق می افتد بطوری که الکترون بدون تاثیر بر هسته پس زده می شود .بنابراین : آشکارسازها به صورتی تنظیم می شوند که طول و مساوی شود و هردو زاویه یکسانی نسبت به تکانه فرودی داشته باشند. چون سه بردار و و لزوما هم صفحه نیستند. بنابراین طبق شکل زاویه میان صفحه و و صفحه و مساوي است

11. اندازه تکانه الکترون اتمی به شکل زیر به دست می آید : در این آزمایش برای زاویه ثابت به ازای مقادیر مختلف تغییر می کند.اگر ترم در معادله وجود نداشت سه بردار و و درون یک صفحه قرار می گرفتند ولی اکنون مقدار متناسب با است. احتمال رخداد چنین پدیده پراکندگی با سطح مقطع پراکندگی الکترون – الکترون ( ) برای برخورد الکترونفرودی و اتمی متناسب است ودر نهایت در احتمال اینکه الکترون اتمی دارای اندازه حرکت باشد ضرب می گردد. آهنگ آشکارسازی مشاهده شده برای چنین رویدادی عبارت است از مقطع برخورد پراکندگی برای الکترون تابعی از انرژی الکترون ها و زاویه پراکندگیاست .بنابراینمقدار ثابتی به خود اختصاص می دهد.

12. آهنگ آشکارسازی تنها مقداری متناسب با توزیع تکانه الکترون اتمی دارد که این امکان یک مقایسه صریح میان تئوری وتجربه را ممکن می سازد.سایر نکات ارائه شده در مورد این آزمایش به این صورت است . اول اینکه : تمامی الکترون ها یکسانند .پس امکان تفکیک الکترون پراکنده شده و الکترون پس زدهغیر ممکن است که با انتخاب , توجیه این مسئله آسان است دوم اینکه : برخورد الکترون با اتم را می توان به دو صورت در نظر گرفت . یکی شامل برخورد الکترون–الکترون بهمراه یک پروتون که نقش ناظررا بازی می کند و دیگری برخورد الکترون – پروتون که درآن الکترون ناظربا انرژی کم میل به پس زده شدن دارد

13. اکنون دلیل انتخاب معین شد.با این عمل برخوردهای نا خواسته را (برخوردالکترون- پروتون) حذف کرده ایم. پاسخ حالت ساکن (مانا) معادله شرودینگربرای ذره به جرم M در پتانسیل متقارن کروی به صورت زیر است : ( C ضریب بهنجارش و ) برطبق رابطه10- 5 توزیع احتمال اندازه حرکت متناسب با مربع تبدیل فوریه است. انرژی الکترون فرودی بایستی از انرژی حالت پایه اتم هیدروژن ()بیشتر باشد اما تا آنجا که به مقدار احتمال لطمه نزند زیرا: در نها یت به سازگاری تئوری و تجربه خواهیم رسید.

14. قضيه بلوخ اين قضيه به بررسي حالت هاي ساكن براي سيستم هاي تناوبي مانند كريستال ها در فيزيك حالت جامد مي پردازد بردار انتقال براي يك كريستال به اين صورت تعريف مي شود: شبكه تحت اين انتقال ثابت مي ماند مي خواهيم هاميلتوني نيز ناوردايي خود را حفظ كند براي اين همخواني عملگر يكاني را به صورت زير تعريف مي كنيم:

15. اين عملگر هاي يكاني با يكديگر و همچنين با H جابجا مي شوند. پس داريم: در نتيجه k حقيقي است. آنچه در معادله ويژه مقداري دوم صدق مي كند به شكل زير است: عملگر يكاني است بنابراين بايد داشته باشيم: اين نتايج براي هر سيستمي با پتانسيل دوره اي صادق است

16. ويژه تابع يك ذره در فضاي مكان به شكل زير است: تعريف مي كنيم: ويژه توابع مشترك H و به شكل زير به دست مي آيند: Kبردار بلوخ است. تابع موج بلوخ را به صورت يك سري امواج تخت بسط مي دهيم:

17. بلوخ اين قضيه مهم را اثبات كرد كه پاسخ هاي معادله شرودينگر براي يك پتانسيل دوره اي بايد به شكل خاص اي باشد موج تخت دوره شبكه بلور= با جايگزيني بسط در ويژه توابع مشترك داريم: اين رابطه در صورتي سازگاري دارد كه در شرط صدق نمايد . بردار هايي كه اين شرط را ارضا مي كنند عبارتند از: بردار شبكه وارون است.

18. ساده ترين شبكه اي كه مي توان براي در نظر گرفت يك شبكه ساده است كه ياخته آن مربعي به ضلع a است. شبكه وارون آن نيز يك شبكه مربعي به ضلع است. رابطه جايگزين در بسط را به شكل زير بازنويسي مي كنيم : از آنجا كه بسط روي امواج تخت بسط روي ويژه توابع تكانه است توزيع تكانه براي رابطه بالا گسسته است .

19. تئوري پراكندگي پراش هدف ما در اين قسمت بررسي تئوري پراش و كاربردهاي كوانتوم در اين قسمت است. پراكندگي پراش به وسيله آرايه دوره اي: اين مسئله را از دو روش متفاوت دنبال مي كنيم : چگونگي چگالي احتمال توزيع احتمال تكانه a- چگونگي چگالي احتمال اولين روش حل معادله شرودينگر با در نظر گرفتن شرايط مرزي براي باريكه فرودي است

20. معادله شرودينگر هدف تعيين در آشكارسازهاست. حل معادله تنها باروش هاي فيزيك نور آسان مي گردد.بنابراين بدون در نظر گرفتن تعابير فيزيكي به كاربرد روش هاي رياضي اپتيكي در بالا مي پردازيم.

21. تكانه باريكه فرودي ذرات است. اگر اختلاف راه طي شده براي در پرتو از منبع تا آشكارساز مضرب صحيحي از طول موج فرودي پراكنده شده باشد ايجاد تداخل مي كنند. نتيجه آن وجود مقادير قابل توجهي از در آشكارسازهاست . نتيجه به دست آمده توسط خاصيت دوگانه موجي- ذره اي تفسير مي شود. b-توريع احتمال تكانه: احتمال اينكه يك ذره اندازه حركت را داشته باشد معادل است با اين كه ذره در راستاي حركت كند

22. با نوعي آرايش دوره اي بهمراه يك فضاي تكانه به ياد قضيه بلوخ در حالت دو بعدي مي افتيم سيستم دوره اي در جهات x و y است حل معادله شرودينگرشكل دو بعدي تابع موج بلوخ را مي دهد. اما پاسخ كلي معادله شرودينگر تركيب خطي از معادله بالا است كه به منظور صدق در شرايط مرزي در آن توليد شده است. 1 – تابع موج فرودي براي z>0 شامل امواج تخت با است. 2– تابع موج به شكل تابع بلوخ با است. 3– براي فضاي آزاد بالاي كريستال w=0 است و داريم :

23. (z>0) احتمال اينكه يك ذره در جهت پراكنده شود برابر است با بنابراين داريم:

24. مولفه توسط مقدار و شرط پايستگي انرژي معين مي گردد. مقادير منحصر به مجموعه اي گسسته مي گردند بنابراين پراكندگي تنها در مجموعه اي از جهات گسسته رخ مي دهد زيرا: مولفه z تكانه تابع شرايط كوانتيدگي نيست زيرا شبكه در جهت z دوره اي نبوده است. براي مقايسه با روش اول: آرايه هاي دوره اي از اتم ها در بعدy در نظر مي گيريم بنابراين

25. اگر در نتيجه روش اول قرار دهيم: سه مثال متعارف براي وابستگي دوره اي بودن و گسستگي : 1- تناوب فضايي با دوره تناوبa 2- تناوب زماني با دوره تناوب T 3- تناوب گردشي با دوره تناوب آنچه در تمامي مثال ها مشترك اند تناسب كوانتوم با عكس دوره تناوب X است

26. پراش دو شكافي عبور گروهي از ذرات مشابه از پرده اي كه دو شكاف دارد. اگر فقط يكي از شكاف ها باز باشد توزيع فضايي يكنواختي خواهيم داشت كه پهناي آن به عرض شكاف بستگي دارد. اما اگردوشكاف بازباشند توزيع فضايي ذرات يك الگوي تداخلي ايجادخواهد كرد. كه وضعيت ماكزيمم و مينيمم ها قابل اندازه گيري است. فرض كنيد كه بتوان الگوي تداخلي ساخته شده ازنقاط متوالي الكترون هاي رسيدهرا در همان لحظه ديد.نسبت الكترون هاي ورودي كم است به طوري كه در هر لحظه فقط يك الكترون بين چشمه وآشكارساز وجود داشته باشد. طرح پراش را مي توان بر حسب بر هم كنش الكترون- الكترون توصيف كرد.

27. الكترون را نمي توان با يك بسته موج نشان دادبه دليل اينكه مكان يك الكترون خيلي ظريف تر از پهناي فرانژهاي تداخلي است. الگوي تداخل فقط يك توزيع آماري از ذرات پراشيده مي باشد. البته اين موضوع يك نقض ازاحتمالات كلاسيكي روي نظريه كوانتوم را ايجاد كرده است. اگر فقط شكاف 1 باز باشد احتمال آشكارسازي يك ذره درمكان xبه صورت است و به همين ترتيباگر فقط شكاف 2 باز باشد احتمال آشكار سازي درx به صورت است. اگر هر دو شكاف باز باشند احتمال آشكارسازي در x بهصورت است. الكترون مجبور است يا از شكاف1عبور كند يا از شكاف 2 . بنابراين از قانون جمع احتمالات داريم:

28. اما سه احتمال همگي اندازه گيري شدند وهيچتساوي حاصل نشد.بنابرايننتيجه مي گيريم كه قانونجمع تئوري احتمال درمكانيك كوانتومي رعايت نمي شود. نبايد از به جاي استفاده كرد شكل اول مربوط است به حالتي كه وضيعت از ابتدا معلوم باشد و تا آخر آزمايش تغيير نكند .در حالي كه اينجا وضعيت در حال تغيير است. سه شرايط مجزا را در نظر مي گيريم ( تابع موج - شكاف1 باز و شكاف 2 بسته) = ( تابع موج - شكاف 2 باز و شكاف 1 بسته) = ( تابع موج - شكاف 1 باز و شكاف 2 باز) = در آزمايش مشاهده مي كنيم كه :

29. پراكندگي پراش و آزمايش : پراكندگي پراش ازساختارهاي دوره اي (معمولا شبكه هاي كريستالي)برايبسياري از ذراتمشاهده شده است

30. طول موج موثر به يك ذره مرتبط شد به صورت تجربي از 5-25 به دستمي آيد باp ذره مرتبط است به وسيله فرمول دوبرويكه ثابت پلانك است بنابراين آزمايشات پراش يك راه اندازه گيري ثابت جهاني را به وجود مي آورد را براي فوتونها با رابطه زير مشخص مي شود فركانسپرتو تابش , در طول يك انتقال بين دو سطح انرژي است. هرچند اندازه گيري پارامتر با اندازه گيري مستقيم كميت ها ممكن است,اما مقادير صحيح تر از تركيب يك اندازه گيري غير مستقيم مي تواند به دست آيد. از اين جا نشان داده شده است كه اختلاف نسبت و ازمقدار واحد كسرياز مرتبه است.

31. نتايج براي اتم هليم و مولكولهاي هيدروژن سازگار استزيرا كه پديده پراش مخصوص ذرات ساده نيست . يك ذره به جرم با سرعت حركت مي كند(درمقايسه با سرعت نور كوچك است) نشان مي دهدطول موج در يك آزمايش پراش است. اگر يك موج فيزيكي حقيقي در فضا در حال انتشار باشد با اين طول انتظار داريم كهيك تركيب از چند ذره كه باچندين طول موج در ارتباط است و همه طول موجها (‍‍‍‍‌ ), در الگوي پراش ظاهر مي شوند.اما اين اتفاق نمي افتد. فقط يك طول موج مرتبط با اندازه حركت كل در يك سيستم مركب مشاهده شدهاست . در پراكندگي پراش قرار است انتقال تكانه كوانتيزه باشد. سايز كوانتوم به دوره شبكه وابسته است. بنابراين نتايج مشاهده شده برايمجموعه اي از ذرات قابل پذيرش است.

32. مثال كلاسيكي , پراش نور به وسيله توري است كه يك پراكندگي دوره اي از ماده است. وارون اين پديده , پراش ماده به وسيله نور است كه با اثر ديراك نشان داده شده است. اتم هاي سديم خنثي به وسيله يك موج تخت ايستاده ميدان ليزر منحرف شده است .اتم ها به خاطر قطبش الكتريكي شان با ميدان برهم كنش دارند.انرژي برهم كنش با مربع ميدان الكتريكي متناسب است. از اين روتناوبفضايي وجود داردكه شدت (مربعدامنه) نصف طول موج ليزر مي شود . هم اكنون تداخل سنج اتمي يك رشته در حال رشد و پيشرفت است.اخيرا آزمايشاتي كه معادل اتمي تداخل الكترون هاست انجام گرفته است.

33. آزمايشات تداخل نوترونها با تداخل سنج تك كريستالي امكان پذير است. اين كريستال با شكل زيرازيك كريستال سيليكان در حدود 10سانتي مترساخته شده است. باريكه فرودي در A به باريكه عبوري AC و باريكه پراشيده AB تقسيم مي شود. تداخل دامنه هاي دو باريكه با دو آشكارساز در و مشاهده مي شود. دامنه درمجموع بخش هاي عبوري CD به اضافه بخش هاي پراشيده BD است

34. فرض مي كنيم كه ضرائب بازتاب و عبور در هر يك از رئوس A و BوC و D يكسان هستند. فقط دو راستاي انتشار متمايز مورد بحث است. شكل زيريك قله پراش كلي را شرح مي دهد تحول وانتشار با عملگرهاي واحد خطي مشخص مي شود. ارتباط بين دامنه هاي موج خروجي و ورودي به اين شكل است : عناصر t وu ضرائبعبورو عناصرr وs ضرائب بازتابند

35. چند رابطه بين درايه هاي U وجود دارد كه به دليل واحد بودن آن است. دترمينان ماتريس واحد بايد داراي قدر مطلق 1باشد. از رابطه داريم : از دورابطه آخر مي رسيم به: با استفاده ازنامساوي مثلثي:

36. بنابر روابط قبلي داريم: اين موضوع در صورتي با نامساوي سازگار است كه tu و -rs فاز مختلط يكساني داشته باشند حقيقي و منفي فراواني درB فراواني در c دامنه اي كه به سوي آشكارساز پيش مي آيد مجموع دامنه ها از مسيرهاي و است به همين ترتيب دامنه اي كه به سوي پيش مي آيد

37. كه در آن از روابط روبه رو استفاده كرديم هر اختلالي كه يك اثر نابرابر روي فازهاي مرتبط با دو مسيردارد روي شدت باريكه هاي رسيده به آشكارسازها موثر خواهد بود. چون فاز منفي است,مي فهميم كه اثر تداخل بين دو جمله در5-36 ويرانگر است و برعكس. تداخل كوانتومي گرانشي : تداخل سنج حول محور افقي موازي با پرتو فرودي چرخانده مي شود و باعث تفاوت درپتانسيل گرانشي در مسيرهاي AC و BD مي شود و از اين رو تغيير فاز در الگوي تداخل ايجاد مي شود.

38. تغيير فاز بين دو مسير از ثابت بودن مجموع انرژي جنبشي و انرژي پتانسيل گرانشي محاسبه مي شود. فاز در طول راه تغيير مي كند و با فرمول نشان داده مي شود. از آنجا كه انرژي پتانسيل در مقايسه با انرژي كل كوچك است داريم كه: اختلاف فاز بين دو مسير است كه تغييرات مربوط به z است

39. اكنون انتگرال حول يك مسير بسته فقط تصوير عمودي از مساحت محصور شده با مسير است. در دومين تساوي از رابطه زير استفاده كرديم:

40. حركت در ميدان يكنواخت نيرو اگريك سيستم فيزيكي تحت تبديل فضا ناوردا باشد بررسي آن در فضاي تكانه آسانتر از فضاي اندازه حركت است. مثال: حركت ذره آزاد را در يك بعد در فضاي مكان اين مسئله نيازمند حل يك معادله ديفرانسيلي جزئي مرتبه دوم است. درفضاي اندازه حركت بردارحالت شرح يك بعدي معادله 5-5 است. معادله شرودينگر:

41. جواب آن به اين صورت است: وبا يك تبديل فوريه به فضاي مكان مي رود. * مثال : كه تبديل فوريه آن به صورت روبه رو است: و وابستگي زماني تابع حالت از* به دست مي آيد

42. با تغيير متغير در نماداريم: اكنون به بررسي يك ذره در ميدان نيروي همگن مي پردازيم مولفه هاي اندازه حركت در راستاي عمود بر نيرو ثابت خواهد بود.فقط حركت كردن در راستاي نيرو را داريم و بنابراين مسئله به طوراساسي يك بعدي است . پتانسيل به صورت روبه رو است : W= -Fx اگر چه نيرو تحت تبديل ناوردا است اما هاميلتوني ناوردا نيست

43. معادله شرودينگر تحت مجموع دو تبديل ناوردا است: فقط به حساب كردن يك ويژه تابع انرژي نياز داريم اين يك معادله ي ديفرانسيلي درجه اول است در صورتي در نمايش مكان كه يك معادله ي درجه 2 به دست مي آيد حل آن به صورت زير است و با يك تبديل فوريه داريم:

44. حقيقي است چون بنابراين ويژه تابع براي انرژي هاي متفاوت با رابطه زير شرح داده مي شود : بدين ترتيب كافي است به بررسي براي E=0 بپردازيم تابع يك Ariy function است وحل ساده اي ندارد. اما مي توان رفتار مجانبي آن را درحد بررسي كرد.

45. با تشكر از: جناب آقاي دكتر جلالي و دوستان گرامي