Tema 1

1. Tema 1 Números reales Números complejos Función real de variable real Límite y continuidad Derivabilidad Concavidad-convexidad Gráficas de funciones Integral de Riemann. Integral impropia

2. Números reales • Los números mas usuales son los enteros: 0,±1,±2,±3,… • Llamamos números racionales a los que tienen la forma a/b, donde a y b son enteros con b≠0. Se caracterizan porque tienen una expresión decimal periódica. • Los números irracionales son aquellos cuya expresión decimal no es periódica. • Al conjunto que resulta de unir los racionales con los irracionales le llamamos conjunto de los números reales y lo representamos por R, se suelen representar en una recta, que llamarémos recta real, de tal forma que a cada número real le corresponde un punto de la recta y a la inversa.

3. Números reales • Podemos separar los números reales distintos de cero en dos conjuntos disjuntos: los números reales positivos y los números reales negativos. • Se definen en R las operaciones usuales: suma y producto. • Los números reales se pueden ordenar mediante la relación <, que se define de la forma:

4. Números reales Propiedades de la relación de orden: 1. Si a y b son números, una y solo una de las siguientes afirmaciones es cierta: 2. Si 3. 4. Si c es positivo, Si c es negativo

5. Números reales La relación de orden “≤” se define de forma análoga a “<“, poniendo: Las propiedades de la relación ≤ son las mismas que las de la relación “<“

6. Números reales Valor absoluto El valor absoluto de un número real es un concepto de frecuente utilización en cálculo. Si x es un número real, su valor absoluto |x| se define así:

7. Números reales Propiedades del valor absoluto 1. |xy| = |x| |y| 2. |x/y| = |x| / |y| 3. |x+y| ≤ |x| + |y| 4. |x-y| ≥ | |x| -|y| | 5. |x| < a -a < x < a 6. |x| > a  x <-a ó x >a 7. |x|=

8. Números reales Algunas de estas propiedades son útiles en la resolución de inecuaciones (desigualdades con incógnitas). Ejemplo. Un vaso cilíndrico de 500 centímetros cúbicos tiene un radio interno de 4 centímetros.¿Con qué precisión debemos medir la altura h del agua en el vaso para asegurar que tenemos ½ litro de agua con un error de menos de 5 centímetros cúbicos. Solución: El volumen V del agua en el vaso es V=16πh. Queremos que: |V-500|<5 o lo que es igual: |16h-500|<5|16(h-500/16)|<516|h-500/16|<5|h-500/16  |< 5/16  |h-9.947|< 0.0947≈0.1. Luego, se debe medir la altura con una precisión de un milímetro.

9. Números reales Intervalos Definición de intervalo: Un subconjunto I de números reales es un intervalo, si dados x, y  I con x < y; para todo z que verifica x < y < z, se tiene que z  I. Definición de intervalos acotados: Siendo a, b  R se define (a, b)={x Є R /a < x < b } intervalo abierto [a, b]={x Є R /a ≤ x ≤ b } intervalo cerrado (a, b]={x Є R /a < x ≤ b } intervalo semiabierto o semicerrado [a, b)={x Є R /a ≤ x < b } intervalo semiabierto o semicerrado

10. Números reales

11. Números reales Definición de intervalos no acotados o semirrectas: Si a  R definimos (a, ∞) = { x Є R / x > a } [a, ∞) = { x Є R / x ≥ a } (-∞, a) = { x Є R / x < a } (-∞, a] = { x Є R / x ≤ a } Luego se puede escribir R = (-∞, ∞)

12. Números reales Definición de conjuntos acotados • Un subconjunto A de R se dice que está acotado superiormente si para cualquier x de A se cumple x ≤ M, para algún M  R. Se dice que M es una cota superior de A. • Un subconjunto A de R se dice que está acotado inferiormentesi para cualquier x de A se cumple m ≤ x, para algún m  R. Se dice que m es una cota inferior de A. • Un subconjunto A de R se dice que estáacotado si para cualquier x de A se cumple |x| ≤ M, para algún M  R. Se dice que M es una cota de A. • Luego A está acotado sí y sólo sí lo está superior e inferiormente.

13. Números complejos

14. Y P ( a , b ) r b a o a X Números complejos Forma polar: 

15. Números complejos Paso de polar a binómica

16. Números complejos Paso de binómica a polar

17. Números complejos

18. Números complejos Igualdad entre complejos. Suma y producto

19. Números complejos Restar y dividir

20. Números complejos

21. Números complejos Conjugado de un número complejo

22. Números complejos Propiedades del módulo:

23. Números complejos Uso del conjugado para dividir

24. Números complejos Multiplicación y división en forma polar

25. Números complejos Potencias de números complejos

26. Números complejos

27. Números complejos Raíz cuadrada en forma binómica

28. Números complejos

29. Números complejos

30. Función real de una variable real Definición de: función, dominio e imagen

31. Función real de una variable real Gráfica Y y = f(x) Im f X Dom f

32. Función real de una variable real Monotonía: crecimiento, decrecimiento

33. Y B C Creciente Decreciente X en B en C Función real de una variable real Ejemplo de crecimiento-decrecimiento

34. Función real de una variable real Definición: función par e impar

35. Función real de una variable real Ejemplos Función impar Función par

36. Función real de una variable real Definicion de función acotada

37. Función real de una variable real Ejemplos Acotada inferiormente No acotada superiormente Función acotada

38. Función real de una variable real Definición de función periódica Función periódica El período es 2π

39. Función real de una variable real Definición de inversa de una función

40. y=ex y=x y=log x Función real de una variable real Gráficas de funciones inversas

41. Función real de una variable real Definición de función elemental: ejemplos

42. Función real de una variable real Ejemplos de funciones elementales

43. Función real de una variable real Gráficas de coseno y seno hiperbólicos y=cosh x y=senh x

44. Función real de una variable real Funciones inversas de las hiperbólicas

45. Límite y continuidad Definición de límite

46. Límite y continuidad Límite y l+ l y=f(x) l- a- a a+ x

47. Límite y continuidad Límites

48. Límite y continuidad Límites

49. Límite y continuidad Asíntotas

50. Límite y continuidad Asíntotas