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Tema 1. NÚMEROS REALES. Tema 1.3 * 1º BCT. ORDENACIÓN EN R DESIGUALDADES. ORDENACIÓN EN R. Dados dos números reales a y b, se dice que a ≤ b si y sólo si b – a es positivo o cero. La relación es una relación de orden en R, ya que cumple las siguientes propiedades:

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- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
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tema 1

Tema 1

NÚMEROS REALES

Matemáticas 1º Bachillerato CT

tema 1 3 1 bct

Tema 1.3 * 1º BCT

ORDENACIÓN EN RDESIGUALDADES

Matemáticas 1º Bachillerato CT

ordenaci n en r
ORDENACIÓN EN R
  • Dados dos números reales a y b, se dice que a ≤ b si y sólo si b – a es positivo o cero.
  • La relación es una relación de orden en R, ya que cumple las siguientes propiedades:
  • Reflexiva: a ≤ a
  • Ejemplo: 5 ≤ 5
  • Antisimétrica: si a ≤ b y b ≤ a a = b
  • Ejemplo: 5 ≤ a y a≤ 5  a=5
  • Transitiva: si a ≤ b y b ≤ c a ≤ c
  • Ejemplo: e ≤ 3 y 3 ≤ π e ≤π

Matemáticas 1º Bachillerato CT

desigualdades
DESIGUALDADES
  • La relación de orden en R, <, permite utilizar las siguientes expresiones entre desigualdades:
  • Signo: Se lee:
  • a < b a es siempre MENOR que b
  • 2 < 5 2 es siempre MENOR que 5
  • a ≤ 7 a es MENOR o IGUAL que 7
  • a ≤ b a es MENOR o IGUAL que b
  • a > b a es siempre MAYOR que b
  • 0 > – 3 0 es siempre MAYOR que – 3
  • a ≥ b a es MAYOR o IGUAL que b
  • 5 ≥ b 5 es MAYOR o IGUAL que b

Matemáticas 1º Bachillerato CT

slide5

PROPIEDADES

  • Si a los dos miembros de una desigualdad se les suma o resta un mismo número, no varía el sentido de la misma.
  • Si – 3 > 1  – 3 + 4 > 1 + 4  1 > 5
  • Si 3 > – 2  3 – 4 > – 2 – 4  – 1 > – 6
  • Si a los dos miembros de una desigualdad se les multiplica por un número real positivo, no cambia el signo.
  • Si – 2 < 5  3.(– 2) < 3.5  – 6 < 15 
  • Si 2 > – 1  5.2 > 5.(– 1)  10 > – 5
  • Si a los dos miembros de una desigualdad se les multiplica por un número real negativo, la desigualdad cambia el signo.
  • Si 2 > (– 1)  (– 2).2 ? (– 2).(– 1) – 4 < 2
  • Si – 3 < – 1  (– 5).(– 3) ? (– 5).(– 1)  15> 5

Matemáticas 1º Bachillerato CT

tema 1 4 1 bct

Tema 1.4 * 1º BCT

REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS REALES

Matemáticas 1º Bachillerato CT

gr fica de racionales
Gráfica de Racionales

REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES ( Q )

NÚMEROS NATURALES ( N )

0 1 2 3 4 R

Mediante un punto negro representamos el 1, el 3 y el 4

NÚMEROS ENTEROS ( Z )

- 2 - 1 0 1 2 R

Mediante un punto negro representamos el - 1, el 1 y el 2

Matemáticas 1º Bachillerato CT

slide8

NÚMEROS FRACCIONARIOS

Sea el número 2 / 3 , que es un número fraccionario puro ( menor que la unidad).

d d d

0 2 / 3 1 R

Matemáticas 1º Bachillerato CT

m todo de representaci n
Método de representación.
  • Sobre el eje real, R, se señala la unidad de medida, el 1.
  • Desde el origen, el O, se traza una recta cualquiera.
  • Se divide dicha recta en tres segmentos iguales de medida cualquiera, d.
  • Se une el estremo final de los tres segmentos con el 1 de la recta real.
  • Se trazan paralelas a la última línea trazada desde las divisiones de los segmentos a la recta real R.
  • La unidad de medida, del O al 1, de la recta real ha quedado dividido en tres segmentos iguales.
  • Como queremos representar el número racional 2/3, tomamos dos de los tres segmentos ocasionados.
  • Tenemos ya el punto que representa la medida exacta del número racional 2/3.

Matemáticas 1º Bachillerato CT

slide10

OTRO EJEMPLO

Sea el número 7 / 4 , que es un número fraccionario mixto

7 / 4 = 4 / 4 + 3 / 4 = 1 + 3 / 4.

d d d d

0 1 7/4 2

Matemáticas 1º Bachillerato CT

m todo de representaci n1
Método de representación.
  • Sobre el eje real, R, se señala la unidad de medida, el 1 y la 2.
  • A partir del 1 hay que llevar 3 / 4 sobre la recta real.
  • Desde el 1 se traza una recta cualquiera.
  • Se divide dicha recta en cuatro segmentos iguales de medida cualquiera, d.
  • Se une el extremo final de los cuatro segmentos con el 2 de la recta real.
  • Se trazan paralelas a la última línea trazada desde las divisiones de los segmentos a la recta real R.
  • La unidad de medida, del 1 al 2, de la recta real ha quedado dividido en cuatro segmentos iguales.
  • Como queremos representar el número racional 3/4, tomamos tres de los cuatro segmentos ocasionados.
  • Tenemos ya el punto que representa la medida exacta del número irracional 7/4 = 1 + 3 / 4

Matemáticas 1º Bachillerato CT

gr fica de irracionales

1

1

Gráfica de Irracionales

NÚMEROS IRRACIONALES DE LA FORMA √N

Sea el número √2

Por Pitágoras: Hipotenusa = √ [(1)2 + (√1)2 ] = √ [1+1] = √2

√2

0 1 √2 2

Matemáticas 1º Bachillerato CT

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√2

1

1

Sea el número √3

Por Pitágoras: Hipotenusa = √ [(1)2 + (√2)2 ] = √ [1+2] = √3

√3

√2

0 1 √3 2

Matemáticas 1º Bachillerato CT

slide14

√2

1

1

Sea el número √13

Por Pitágoras: Hipotenusa = √ [(2)2 + (√3)2 ] = √ [4+9] = √13

√13

3

2

0 1 2 3 √13

Matemáticas 1º Bachillerato CT

representaci n de n meros irracionales
REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS IRRACIONALES
  • INTERVALOS ENCAJADOS
  • Los números irracionales, salvo √N , no se pueden representar de forma exacta sobre el eje real.
  • Para representarlos de forma aproximada utilizamos los INTERVALOS ENCAJADOS.
  • Sea el número irracional x = 2,123703…
  • Como su valor está entre el 2 y el 3  2 < x < 3
  • Como su valor está entre 2,1 y 2,2  2,1 < x < 2,2
  • Como su valor está entre 2,12 y 2,13  2,12 < x < 2,13
  • Y así podríamos seguir indefinidamente, cada vez con intervalos más pequeños, encajados, dentro de los intervalos anteriores.
  • Con ello, por aproximación, nos iríamos acercando al valor real del número.

Matemáticas 1º Bachillerato CT

slide16
En el ejemplo anterior:
  • Sea el número irracional x = 2,123703…

2,123 2,124

2,12 2,13

2,1 2,2

2 3

Matemáticas 1º Bachillerato CT