1 / 18

อินทิกรัลของฟังก์ชันตรี โ กณมิติ แบบแน่นอน (Certain Trigonometric Integrals)

1. 2. หรือ. 3. และ. อินทิกรัลของฟังก์ชันตรี โ กณมิติ แบบแน่นอน (Certain Trigonometric Integrals). 1. sin m x cos n x dx จะหาค่าของอินทิกรัลได้โดยแยกพิจารณา เป็น3 กรณี. กรณี1 m หรือ n เป็นจำนวนเต็มบวกคี่.

michi
Download Presentation

อินทิกรัลของฟังก์ชันตรี โ กณมิติ แบบแน่นอน (Certain Trigonometric Integrals)

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. 1 2 หรือ 3 และ อินทิกรัลของฟังก์ชันตรีโกณมิติแบบแน่นอน (Certain Trigonometric Integrals)

  2. 1. sin m x cosn x dx จะหาค่าของอินทิกรัลได้โดยแยกพิจารณา เป็น3 กรณี กรณี1 m หรือ n เป็นจำนวนเต็มบวกคี่ ถ้า m เป็นจำนวนเต็มบวกคี่ จะใช้วิธีการเปลี่ยนตัวแปร โดยกำหนดให้ u = cos x , du = - sin x dx ถ้า nเป็นจำนวนเต็มบวกคี่ ในทำนองเดียวกันจะใช้การปลี่ยนตัวแปรกำหนดให้ u = sin x, du = cos x dx และใช้เอกลักษณ์ sin 2x + cos2x = 1

  3. ตัวอย่าง 12

  4. กรณี 2. ทั้ง m และ nเป็นจำนวนเต็มบวกคู่จะใช้วิธีลด กำลังของพจน์ cos x และ sin x ลงโดยใช้เอกลักษณ์ (หรือบางทีอาจใช้ sin 2x = 2 sin x cos x)

  5. ตัวอย่างที่ 13

  6. แล้วจะใช้วิธีการเปลี่ยนตัวแปรโดยให้ tan x = t หรือ cot x = t กรณี 3. m + n เป็นจำนวนเต็มลบคู่ หรือทั้ง m และ n เป็นจำนวน เต็มคู่ จำนวนหนึ่งจำนวนใดต้องเป็นจำนวนเต็มลบ ตัวอย่างที่ 14

  7. 2. tanm x secn x dx หรือ cotm x cscn x dx กรณี n เป็นจำนวนเต็มบวกคู่ จะให้ u = tan x , du = sec2 x dx และ sec2 x = 1 + tan2 x ตัวอย่างที่ 15

  8. กรณี m เป็นจำนวนเต็มบวกคี่ แทนค่า u = sec x , du = sec x tan x dx ตัวอย่างที่ 16

  9. กรณี m เป็นจำนวนเต็มบวกคู่และ n เป็นจำนวนเต็มบวกคี่ จะหาค่า tanm x secn x dx ได้โดยการอินทิเกรตทีละส่วน (Integration by parts) ซึ่งจะได้เรียนต่อไป กรณี n = 0 และ m Z+ จะเป็นการหา tanm x dx และ cotm x dx จะหาค่าอินทิกรัลได้มากกว่า 1 วิธี

  10. วิธีที่ 1 โดยการสร้างสูตรลดทอน (Reduction formula) ได้ดังนี้

  11. วิธีที่ 2 อาจหาค่า tanm x dx โดย คูณด้วย ดังนี้ เมื่อให้ u = tan x แล้วหารยาวตัวถูกอินทิเกรต เพื่อแปลงตัวถูกอินทิเกรตให้อยู่ในรูปที่ง่ายต่อการหาค่าต่อไป

  12. วิธีที่ 3 เปลี่ยนค่า แล้วหาค่าอินทิกรัลต่อไปในรูปของ sinm x cosn x dx ในกรณีต่างๆ แล้วแต่ค่าของ m และ n ตัวอย่างที่ 17

  13. 3. sin mx cos nx dx, sin mx sin nx dx และ cos mx cos nx dx จะหาค่าอินทิกรัลทั้ง 3 ได้ โดยใช้เอกลักษณ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติต่อไปนี้

  14. ตัวอย่างที่ 18

  15. หรือ หรือ หรือ การอินทิเกรตโดยการแทนค่าด้วยฟังก์ชันตรีโกณมิติหรือ ไฮเพอร์โบลิก (Trigonometric or Hyperbolic Substitutions) ถ้าตัวถูกอินทิเกรต มีตัวประกอบเป็นพจน์ ในรูปแบบต่อไปนี้

  16. พจน์ การแทนค่า ผลลัพธ์ หรือ หรือ หรือ หรือ หรือ หรือ หรือ หรือ หรือ การหาค่าของอินทิกรัลโดยแทนค่าด้วยฟังก์ชันตรีโกณมิติหรือฟังก์ชัน ไฮเพอร์โบลิก ดังในตารางต่อไปนี้

  17. ตัวอย่างที่ 19

  18. ถ้าตัวถูกอินทิเกรตมีตัวประกอบเป็น หรือ ax2 + bx + c จะต้องแปลงรูปของ ax2+bx+c ให้เป็นรูปกำลังสองสัมบูรณ์แล้วหาค่า อินทิกรัลต่อไปโดยการแทนค่าด้วยฟังก์ชันตรีโกณมิติหรือไฮเพอร์ โบลิก ตัวอย่างที่ 20

More Related