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2014.3.14 S. Kusafusa

3 月 14 日は、パイ (π 、円周率 ) の日. Π 　円周率 と e ネピア数の秘密を電卓と Excel でのぞいてみよう！. 2014.3.14 S. Kusafusa. Π の模様. ⚫️⚫️ .⚪️⚪️⚫️⚪️⚪️⚫️⚪️⚪️⚪️⚪️⚫️⚫️⚫️⚫️⚫️⚪️⚫️⚫️⚪️⚫️⚪️⚫️⚪️⚫️⚪️⚪️⚪️⚫️⚪️⚪️⚪️⚫️⚪️⚪️⚪️⚪️⚫️⚪️⚫️⚫️⚪️⚫️⚪️⚪️⚪️⚫️⚫️. . .  11.001001000011111101101010100010001000010110100011 ....

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Presentation Transcript

  1. 3月14日は、パイ(π、円周率)の日 Π　円周率と e ネピア数の秘密を電卓とExcel でのぞいてみよう！ 2014.3.14 S. Kusafusa

  2. Πの模様 • ⚫️⚫️.⚪️⚪️⚫️⚪️⚪️⚫️⚪️⚪️⚪️⚪️⚫️⚫️⚫️⚫️⚫️⚪️⚫️⚫️⚪️⚫️⚪️⚫️⚪️⚫️⚪️⚪️⚪️⚫️⚪️⚪️⚪️⚫️⚪️⚪️⚪️⚪️⚫️⚪️⚫️⚫️⚪️⚫️⚪️⚪️⚪️⚫️⚫️. . .  • 11.001001000011111101101010100010001000010110100011 .... • 3.243F6A8885A308D31319. . . 

  3. 円周率は３、それとも3.14？ 円周の長さ =直径x 円周率 円周率を3とすると、円周は67mm x 3 = 201 mm、約9mm短くなってしまう

  4. 電卓でΠの近似値を求めてみよう πは超越数で、小数点以下が無限に続く. . . . 27 / 7 = 3.14285714 223 /71 = 3.14084507 355 / 113 = 3.14159292 52163/ 16604 = 3.141781605733904 103993 / 33102 = 3.141592653011903 245850922 / 78256779 = 3.141592653589793 計算には十分だが、さらに近似式を見るけてみよう

  5. 円周率を電卓、Excelで計算してみよう アルキメデス法 円に内接する正96角形と外接する正96角形の周の長さを計算 小中学生でも理解できるアルゴリズム べき級数展開による方法 π/4 = 4 (arctan1/2 + arctan 1/3)

  6. アルキメデス法でπを求めてみよう 面倒臭いが、普通の電卓でも計算できる！ ここでは、Excelで計算してみよう bn=2*SQRT(3)　 bn+1=2/(1/an+1/bn) an+1=SQRT(an)*SQRT(bn+1) . . .

  7. アルキメデス法をExcelで計算 =2*SQRT(3) =2/(1/B2+1/C2) SQRT(B2)*SQRT(c3)

  8. ベキ級数でπを求める π/4 = 4 (arctan1/2 + arctan 1/3)  = 4 {(1/2 + 1/3) - 1/3(1/ 2^3 + 1/3^3) + 1/5(1/2^5 + 1/3^5)  - .....} 収束が速い、電卓でも計算できる ここでは、Excelを使って計算してみよう A=(-1)^(n+1)/(2n-1) B=1/2^(2n-1) C=1/3^(2n-1) => A*(B+C) N= 1 〜 14 までコーピー・ペーストし、C列の総和をとる -> 3.1415926534 =(-1)^(A4+1)/(2*A4-1) =1/2^(2*A4-1) =1/3^(2*A4-1) =B4*(C4+D4)

  9. ベキ級数展開 (Excel)

  10. Πを関数電卓で計算 関数電卓で直接πを計算する π/4 = (arctan1/2 + arctan1/3)   => 3.141592653589793 ベキ級数で求めた結果と比べてみる

  11. 3.141592653589793. . . . . . - - - - 有名な公式 = ※4とπに秘密の関係 4 = (実数世界での円の長さ) x (2進整数の世界での円の長さ) x (3進整数の世界での円の長さ) x (5進整数の世界での円の長さ) x (7進整数の世界での円の長さ) x . . . . 素数の世界とつながっている

  12. Πとeは超越数、一緒に現れる ezは (1 + z/N)^Nの N が無限に大きくなるときの極限、　e^iπ は、(1+iπ/N)^Nの極限

  13. (1+iπ/N)^NのNを増やして行くとe^iπ へ = -1 ※iを掛けることは回転すること

  14. eネピア数を計算してみよう （極限値の定義式から） e = lim (1 + 1/n)^n= 2.718281828459045. . . . n →∞ 通常の電卓の＝キーの連打で計算 n= 10 から10000で検証してみよう n=10の場合 MC、AC、 1.1 X 1.1 = = = = = = = = = = -> 2.59374246. . . = を10-1回 N =100の場合 1.01 x 1.01 = = = = = = = = = . . . . . .. = = = = -> 2.704814. . . . = を100 -1回押す　

  15. 無限級数からeネピア数を求める e=1+ 1 /1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! +…  メモリをクリアし、ゼロを確認してスタート MC、AC、1、M+、 1 = M+、 ÷ 2 =M+、 ÷ 3 =M+、 ÷ 4 =M+、 ÷ 5 =M+、 . . . . .  MR

  16. 数学体験教室 問い合わせ S. kusafusa Email: galois@imetrics.co.jp

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