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Integrazione di funzioni

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Integrazione di funzioni. Il problema della quadratura. Data una funzione f(x) definita in un intervallo [a,b], si vuole valutare l’integrale: a partire dai valori della funzione integranda f(x) in un insieme di punti compresi nell’intervallo di integrazione

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Presentation Transcript
il problema della quadratura
Il problema della quadratura
  • Data una funzione f(x) definita in un intervallo [a,b], si vuole valutare l’integrale:

a partire dai valori della funzione integranda f(x) in un insieme di punti compresi nell’intervallo di integrazione

  • In tutti i metodi di quadratura si effettua una somma di valori della funzione integranda
  • Un buon metodo di quadratura deve:
    • valutare l’integrale con la maggior precisione possibile
    • sfruttare il minor numero possibile di valori della funzione integranda
notazioni
Notazioni
  • Supponiamo di avere una serie di N ascisse equispaziate x1, x2, ... , xN :
    • x1=a; xN=b
    • h = distanza tra ciascuna coppia di ascisse
    • (b-a) = (N-1)h
    • xk=xk+(k-1)h con k=1,...,N
    • poniamo f(xi)=fi
  • Formule chiuse:
    • utilizzano nel calcolo i valori di f1 e fN
  • Formule aperte:
    • non utilizzano nel calcolo uno o entrambi i valori di f1 e fN
    • possono essere utili se il valore di f in uno degli estremi di integrazione è infinito (purché la singolarità sia integrabile)

y

fi=f(xi)

h

x

x1=a

x2

xi

xN=b

regola del trapezio
Regola del trapezio
  • Consiste nell’approssimare l’integrale nell’intervallo tra xj e xj+1 nel modo seguente:
    • Se f(x)≥0, tale valore rappresenta l’area del trapezio di basi fj e fj+1 e altezza h
    • in sostanza, nell’intervallo tra xj e xj+1 la f(x) viene approssimata da un polinomio di primo grado
  • Il valore dell’integrale calcolato con la regola del trapezio differisce dal valore vero per un termine che è dell’ordine di h3 per la derivata seconda della funzione calcolata in un punto (non noto) dell’intervallo [xj,xj+1]
  • La formula del trapezio è esatta per polinomi fino al primo grado
regola del trapezio estesa
Regola del trapezio estesa
  • Utilizziamo la regola del trapezio N-1 volte negli intervalli [x1,x2], [x2,x3], ..., [xN-1,xN]:
    • nel calcolo precedente si è assunto N-1≈N, il che è vero per N grande
  • La precisione migliora con il quadrato del numero di punti utilizzati per il calcolo
    • raddoppiando i punti l’errore diminuisce di un fattore 4
applicazione della regola del trapezio
Applicazione della regola del trapezio
  • Si procede per approssimazioni successive:
    • nella prima iterazione si utilizzano i valori di f(x) negli estremi di integrazione
    • nella n-esima iterazione vengono aggiunti 2n-2 valori di f(x) in corrispondenza dei punti medi degli intervalli elementari definiti dall’iterazione precedente
    • alla n-esima iterazione l’intervallo di integrazione risulta diviso in 2n-1 intervalli elementari

1

2

3

iterazioni

4

...

implementazione dell algoritmo 1
Implementazione dell’algoritmo (1)
  • Poniamo b-a=Δ e indichiamo con In l’integrale calcolato nella n-esima iterazione.
  • Alla prima iterazione si ha:
  • Alla seconda iterazione avremo:
  • Alla terza iterazione si avrà:
implementazione dell algoritmo 2
Implementazione dell’algoritmo (2)
  • Generalizzando il risultato trovato in precedenza possiamo concludere che:
  • Poiché nel passare da un’iterazione alla successiva il numero di punti utilizzati per il calcolo raddoppia, la precisione del calcolo migliora di un fattore 4.
  • In generale, la procedura iterativa viene fermata quando:

dove ε è la precisione richiesta per il calcolo

esempi 1
Esempi (1)
  • Supponiamo di voler calcolare l’integrale

con una precisione ε=10-6. Si ha:

esempi 2
Esempi (2)
  • Supponiamo di voler calcolare l’integrale

con una precisione ε=10-6. Si ha:

regola di simpson 1
Regola di Simpson (1)
  • Consideriamo l’intervallo tra xj-1 e xj+1
  • Usiamo la seguente notazione:
    • xj-1=xj-h; f(xj-1)=fj-1
    • f(xj)=fj
    • xj+1=xj+h; f(xj+1)=fj+1
  • Nell’intervallo in esame approssimiamo la f(x) con una parabola passante per i tre punti (xj-1,fj-1), (xj,fj), (xj+1,fj+1):
    • scrivendo l’equazione della parabola in questa forma è automaticamente rispettata la condizione f(xj)=fj
  • I coefficienti a e b si determinano imponendo le condizioni;
    • f(xj-h)=fj-1
    • f(xj+h)=fj+1
regola di simpson 2
Regola di Simpson (2)

y

  • L’integrale tra xj-1 e xj+1 della f(x) è dato da:

fj

fj+1

fj-1

h

h

x

xj-1

xj

xj+1

regola di simpson 3
Regola di Simpson (3)
  • Calcoliamo quindi il coefficiente b:
  • Sommando membro a membro le due equazioni si ha:
  • Sostituendo il valore di b nella formula dell’integrale:
  • Il valore dell’integrale calcolato con la formula di Simpson differisce dal valore vero per un termine che è dell’ordine di h5 per la derivata quarta della funzione calcolata in un punto (non noto) dell’intervallo [xj,xj+1]
  • La formula di Simpson è esatta per polinomi fino al terzo grado
formula di simpson estesa
Formula di Simpson estesa

2h

2h

2h

  • Dividiamo l’intervallo [a,b] negli (N-1)/2 intervalli:
    • [x1,x3], [x3,x5], ..., [xN-2,xN]
    • a=x1; b=xN
    • h=(b-a)/(N-1)
  • Si ha:

x

a=x1

x2

x3

xN=b

x4

x5

...

xN-2

xN-1

applicazione della regola di simpson
Applicazione della regola di Simpson
  • L’algoritmo è molto simile a quello usato per la regola del trapezio
  • Anche in questo caso si procede per approssimazioni successive:
    • nella n-esima iterazione vengono aggiunti 2n-2 valori di f(x) in corrispondenza dei punti medi degli intervalli elementari definiti dall’iterazione precedente
    • alla n-esima iterazione l’intervallo di integrazione risulta diviso in 2n-1 intervalli elementari
    • nella n-esima iterazione si sfrutta il risultato ottenuto con la regola del trapezio nell’iterazione precedente

1

2

3

iterazioni

4

...

implementazione dell algoritmo 11
Implementazione dell’algoritmo (1)
  • Poniamo ancora b-a=Δ
  • Per la n-esima iterazione poniamo:
    • Sn = integrale calcolato con la regola di Simpson
    • Tn = integrale calcolato con la regola del trapezio
  • Alla prima iterazione si ha:
    • notare che S1=0 perché nella prima iterazione si considerano solo due punti, mentre per applicare la regola di Simpson ne occorrono tre
implementazione dell algoritmo 21
Implementazione dell’algoritmo (2)
  • Alla seconda iterazione si ha:
  • Alla terza iterazione si ha:
implementazione dell algoritmo 3
Implementazione dell’algoritmo (3)
  • Alla n-esima iterazione si avrà:
  • Poiché nel passare da un’iterazione alla successiva il numero di punti utilizzati per il calcolo raddoppia, la precisione del calcolo migliora di un fattore 16.
  • Come nel caso precedente, la procedura iterativa viene fermata quando:

dove ε è la precisione richiesta per il calcolo

esempi 11
Esempi (1)
  • Supponiamo di voler calcolare l’integrale

con una precisione ε=10-6. Si ha:

esempi 21
Esempi (2)
  • Supponiamo di voler calcolare l’integrale

con una precisione ε=10-6. Si ha:

calcolo di integrali impropri
Calcolo di integrali impropri
  • Casi di integrali impropri estesi ad intervalli finiti:
    • la funzione integranda ha limite finito in uno degli estremi di integrazione, ma non può essere calcolata (esempio sinx/x per x0)
    • la funzione ha limite superiore + e/o limite inferiore -
    • la funzione ha una singolarità integrabile in uno dei due estremi di integrazione (esempio x-1/2 per x 0)
    • la funzione ha una singolarità integrabile in un punto noto dell’intervallo di integrazione (ci si può ricondurre al caso precedente)
    • la funzione ha una singolarità integrabile in un punto non noto dell’intervallo di integrazione (questo caso non verrà studiato)
  • In tutti i casi in esame, per poter effettuare il calcolo, è necessario che l’integrale esista e sia finito
    • se l’integrale non esiste oppure è infinito, qualunque procedura di calcolo sarà priva di senso e darà risultati errati!
  • Studieremo il calcolo di integrali impropri con una singolarità in corrispondenza di uno degli estremi di integrazione (o di entrambi)
    • in tal caso non è possibile usare una formula chiusa, perché implicherebbe il calcolo del valore della funzione integranda in corrispondenza della singolarità
regola del punto medio
Regola del punto medio
  • La regola del punto medio consiste nell’approssimare l’integrale tra xj e xj+1 nel modo seguente:

ove fj+1/2 è il valore della funzione nel punto medio dell’intervallo [xj,xj+1]

  • se f(x)>0, l’integrale viene approssimato con l’area del rettangolo di base h=xj+1-xj e altezza fj+1/2

y

fj

fj+1/2

fj+1

xj

xj+1/2

xj+1

x

regola estesa del punto medio
Regola estesa del punto medio
  • Dividiamo l’intervallo [a,b] negli N-1 intervalli:
    • [x1,x2], [x2,x3], ... , [xN-1,xN]
    • a=x1; b=xN
    • h=(b-a)/(N-1)
  • Si ha:

h

h

h

x

a=x1

x3/2

x2

xN=b

x5/2

x3

...

xN-1

xN-1/2

applicazione della regola del punto medio 1
Applicazione della regola del punto medio (1)
  • L’algoritmo è simile a quelli visti per la regola del trapezio e per la regola di Simpson
  • In questo caso, però, per poter usare il risultato ottenuto dopo ogni iterazione come punto di partenza per l’iterazione successiva, in ciascuna iterazione occorrerà suddividere gli intervalli di partenza in 3 parti invece che in 2
    • questa complicazione nasce dal fatto che si utilizzano i valori della funzione nei punti medi di ciascun intervallo invece che negli estremi
applicazione della regola del punto medio 2
Applicazione della regola del punto medio (2)
  • nella n-esima iterazione vengono aggiunti 23n-2 valori di f(x) in corrispondenza dei punti medi dei nuovi intervalli
  • alla n-esima iterazione l’intervallo di integrazione risulta diviso in 3n-1 intervalli elementari
  • in ciascuna iterazione si sfrutta il risultato ottenuto nell’iterazione precedente

1

2

iterazioni

3

...

implementazione dell algoritmo 12
Implementazione dell’algoritmo (1)
  • L’integrale calcolato nella n-esima iterazione è:

dove Δ=b-a

  • Occorre cercare una formula ricorsiva che permetta di legare In+1 a In
  • Applicando la definizione precedente si ha:
implementazione dell algoritmo 22
Implementazione dell’algoritmo (2)
  • La sommatoria con l’indice k che varia da 1 a 3n può essere spezzata in 3 sommatorie distinte:
    • nella prima raggruppiamo i termini con k=1,4,7,...,3n-2
      • in tali termini k=3k1-2 con k1=1,2,...,3n-1
    • nella seconda raggruppiamo i termini con k=2,5,8,...,3n-1
      • in tali termini k=3k2-1 con k2=1,2,...,3n-1
    • nella terza raggruppiamo i termini con k=3,6,9,...,3n
      • in tali termini k=3k3 con k3=1,2,...,3n-1
implementazione dell algoritmo 31
Implementazione dell’algoritmo (3)
  • Nel passare da un’iterazione alla successiva il numero di punti utilizzati per il calcolo viene triplicato, e dunque la precisione del calcolo migliora di un fattore 9.
  • Come negli altri casi, la procedura iterativa viene fermata quando:

dove ε è la precisione richiesta per il calcolo

  • L’algoritmo sviluppato per il calcolo di integrali impropri può essere usato anche per il calcolo di integrali “normali”
  • Il tempo di calcolo richiesto per un integrale improprio è in genere maggiore rispetto a quello richiesto per un integrale “normale” per via della singolarità
esempio
Esempio
  • Supponiamo di voler calcolare l’integrale improprio

con una precisione ε=10-6. Si ha:

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