William J. Stevenson

1 / 21

# William J. Stevenson - PowerPoint PPT Presentation

OPERATIONS RESEARCH. Operations Management. Enos. William J. Stevenson. 8 th edition. ELIMINASI GAUSS. Kamis, 20 April 2006. Solusi Numerik untuk persamaan- persamaan linier: a. Metode Langsung 1. Eliminasi Gauss 2. Eliminasi Gauss-Jordan 3. Dekomposisi 4. Sistim Tridiagonal.

I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.

## PowerPoint Slideshow about 'William J. Stevenson' - mei

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript

OPERATIONSRESEARCH

Operations Management

Enos

William J. Stevenson

8th edition

### ELIMINASI GAUSS

Kamis, 20 April 2006

Solusi Numerik untuk persamaan- persamaan linier:

a. Metode Langsung

1. Eliminasi Gauss

2. Eliminasi Gauss-Jordan

3. Dekomposisi

4. Sistim Tridiagonal

b. Metode Tak Langsung (Iterasi)

1. Metode Jacobi

2. Metode Gauss-Seidel

3. Metode Newton-Raphson

4. Successive overRelaxation

Metode tak langsung biasanya memerlukan waktu yang sangat lama.

Matriks

A.x = b

Vektor

Solusi sistem persamaan aljabar linier dapat ditentukan jika memenuhi syarat-syarat:

• A.x = b mempunyai jawab unik x V untuk setiap b  V
• A.x =b hanya mempunyai satu solusi x  V untuk setiap b  V
• Jika A.x = 0, berarti x = 0
• A-1 atau inversi matriks A ada,
• Determinan A  0
• Rank (A) = n, (matriks A berorde n)

Algoritma Eliminasi Gauss

Menyatakan persamaan linier sebagai n buah persamaan simultan

Tentukan faktor pengali

(1)

(2)

(3)

Persamaan (1) dikali m2:

m2 a11x1 + m2a12x2 + m2a13x3 =m2b1

• Hasil perkalian diperkurangkan dari persamaan (2)

(4)

a’22 = a22 – m2a12

a’23 = a23 – m2a13

b’2 = b2 – m2b1

maka:

a’22x2 + a’23x3 = b’2……………(5)

Persamaan (2) disubtitusi dgn persamaan (5).

Tentukan faktor pengali untuk persamaan ketiga:

Persamaan pertama dikali dengan m3, persamaan ketiga dikurangi persamaan pertama.

a’32x2 + a’33x3 = b’3…………………………(6)

dimana

a’32 = a32 – m3a12

a’33 = a33 – m3a13

b’3 = b3 – m3b1

Persamaan (3) disubtitusi dgn persamaan (6):

a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1 ……….(1)

a’22x2 + a’23x3 = b’2 ………(5)

a’32x2 + a’33x3 = b’3……….(6)

Faktor pengali m’3 = a’32/a’22

a’32 – m’3a’22 = 0

a’’33 = a’33 – m’3a’23

b’’3 = b’3 – m’3b’2

a’33x3 = b’3 ………….. (7)

Jika persamaan (7) disubtitusi ke persamaan (6),

a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1 ……..(1)

a’22x2 + a’23x3 = b’2……..(5)

a’’33x3 = b’3 …….(7)

Contoh 1:

Diberikan sistim persamaan linier:

2x1 + x2 + 3x3 = 11………….(1)

4x1 + 3x2 + 10x3 = 28………….(2)

2x1 + 4x2 + 17x3 = 31………….(3)

Tentukan nilai-nilai x1, x2, dan x3:

Penyelesaian:

• Faktor pengali m2 = 4/2 = 2
• Eliminasi x1 dari persamaan kedua dan ketiga.

Persamaan pertama dikali 2 untuk mengeliminasi x1 pada persamaan kedua, persamaan pertama dikali 2 untuk mengeliminasi x1 pada persamaan ketiga

2x1 + x2 + 3x3 = 11

x2 + 4x3 = 6

3x2 + 14x3 = 20

Eliminasi x2 dari persamaan ketiga (persamaan kedua menjadi persamaan pivot sedangkan koefisien x2 menjadi elemen pivot.

Persamaan kedua dikali 3 untuk mengeliminasi x2 pada persamaan kedua:

2x1 + x2 + 3x3 = 11

x2 + 4x3 = 6

2x3 = 2

Langkah II: subtitusi balik.

x3 = 2/2 = 1

x2 + 4.1 = 6  x2 = 2

2x1 + 2 + 3.1 = 11  x1 = 3

Contoh 2:

w + x + y + z = 10

2w + 3x + y + 5z = 31

-w + x - 5y + 3z = -2

3w + x + 7y - 2z = 18

Matriks augmented

II – 2(I)

III + 1(I)

IV -3(I)

III-2(II)

IV+2(II)

x - ½

x4 = 4

x3 + x4 = 7; x3 + 4 = 7; x3 = 3

x2 – x3 + 3x4 = 11; x2 – 3 + 12 = 11; x2 = 2

x1 + x2 + x3 + x4 = 10; x1 + 2 +3 + 4 = 10; x1 = 1