Estimation ensembliste ellisoïdale : formulation factorisée

Estimation ensembliste ellisoïdale :formulation factorisée Groupe Calcul Ensembliste 01/02/2002 Paris Suzanne Lesecq Laboratoire d’Automatique de Grenoble suzanne.lesecq@inpg.fr

Plan • Introduction • Moindres carrés et forme factorisée • Moindres carrés récursifs • Ellipsoïde englobant • Reformulation • Problème d’optimisation quadratique • Mise sous forme factorisée • Extension aux équations d’état • Exemple numérique • Remarques et conclusion S. Lesecq, 01/02/2002, groupe ensembliste

Introduction • Diagnostic de la machine asynchrone • Différentes techniques explorées • Thèse C. Combastel (2000) • Identification paramètres modèle de Park • Méthodes « classiques » • PNL • Méthodes ellipsoïdales • Thèse Th. Clément (1987) • Bibliographie + récente Formulation factorisée de ces algorithmes S. Lesecq, 01/02/2002, groupe ensembliste

U 0 A H = Moindres carrés et forme factorisée • Prérequis • Factorisation orthogonale S. Lesecq, 01/02/2002, groupe ensembliste

M L LT = Moindres carrés et forme factorisée • Factorisation d’un produit de matrices • Problème de moindres carrés S. Lesecq, 01/02/2002, groupe ensembliste

Moindres carrés et forme factorisée • Factorisation d’une somme de matrices Démonstration S. Lesecq, 01/02/2002, groupe ensembliste

Moindres carrés et forme factorisée • Analyse de sensibilité Équations normales Forme factorisée S. Lesecq, 01/02/2002, groupe ensembliste

Xt+1 0 Xt H = Moindres carrés récursifs • Avec mise à jour de la matrice d’information I • Forme standard • Forme factorisée S. Lesecq, 01/02/2002, groupe ensembliste

Moindres carrés récursifs • Avec mise à jour de la matrice de Covariance P • Forme standard • Forme factorisée P = XTX gain des moindres carrés : g/e S. Lesecq, 01/02/2002, groupe ensembliste

Ellipsoïdes 1 • Algorithme de Fogel et Huang • Forme standard • Forme factorisée P = XTX, Z = YTY S. Lesecq, 01/02/2002, groupe ensembliste

t t+1 Ellipsoïdes 2 • Notations et Hypothèses • yt ,et scalaires • Estimation courante • Nouvelle mesure • yt+1 mesure cohérente • Paramètre • Critère : Trace (pas d’incidence sur la formulation factorisée) S. Lesecq, 01/02/2002, groupe ensembliste

Ellipsoïdes : reformulation 3 • Algorithmes de mise à jour des ellipsoïdes • Formes factorisées • Stabilité numérique • Démonstrations simples des propriétés théoriques • Garantie numérique des propriétés théoriques • Détermination de t+1 Problème d’optimisation quadratique Connaissance a priori Nouvelle mesure Moindres carrés pondérés S. Lesecq, 01/02/2002, groupe ensembliste

Ellipsoïdes 4 • Algorithme • Forme standard (Durieux & Al., 1996) • Ellipsoïde englobant S. Lesecq, 01/02/2002, groupe ensembliste

= = Ellipsoïdes : forme factorisée 5 • Forme factorisée • alors Problème de moindres carrés S. Lesecq, 01/02/2002, groupe ensembliste

Ellipsoïdes : forme factorisée 6 • D’où … • Algorithme …On peut démontrer ct+1 et Mt+1 obtenus indépendamment S. Lesecq, 01/02/2002, groupe ensembliste

Ellipsoïdes : forme factorisée 7 • Amélioration de l’algorithme • Indépendance de c et M S. Lesecq, 01/02/2002, groupe ensembliste

EllipsoïdesExtension aux équations d’état 1 • Forme « Information » factorisée CORRECTION S. Lesecq, 01/02/2002, groupe ensembliste PREDICTION

EllipsoïdesExtension aux équations d’état 2 • Forme « Covariance » factorisée P • Formulation factorisée pour P = M-1 • Résultat à paraître (JESA) • Exemple S. Lesecq, 01/02/2002, groupe ensembliste

Remarques et Conclusion • Réécriture du problème • Optimisation quadratique • Factorisation • Garantie numérique de propriétés théoriques • Stabilité numérique • Choix libre P ou M • Intersection ou sommation d’ellipsoïdes • Pas d’inversion • Approche applicable à toute démarche similaire • Filtre de Kalman classique et étendu S. Lesecq, 01/02/2002, groupe ensembliste

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