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Rekursion vs. Iteration

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Anforderung: Zusicherung: Das Ergebnis ist. Rekursion vs. Iteration. sum_rek(n){ if (n == 0) then return 0; fi return ( n + summe_rek( n-1 ) ); }. sum_iter(n){ k := n; erg := 0; while ( k >= 0 ) do { erg := k + erg; k := k - 1; } od return erg; }.

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Presentation Transcript
rekursion vs iteration

Anforderung:

Zusicherung: Das Ergebnis ist

Rekursion vs. Iteration

sum_rek(n){

if (n == 0) then return 0; fi

return ( n + summe_rek( n-1 ) );

}

sum_iter(n){

k := n; erg := 0;

while ( k >= 0 ) do {

erg := k + erg;

k := k - 1;

} od

return erg;

}

W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java -1- Springer-Verlag, ISBN 3-540-20958-1

ablauf der rekursion
Ablauf der Rekursion

sum_rek(n){

if (n == 0) then return 0; fi

return ( n + summe_rek( n-1 ) );

}

return: In Folge eines Aufrufs des return-statements wird der Rest des Codes nicht mehr ausgeführt.

Betrachten wir den Ablauf der Rekursion bei Eingabe n=3:

sum_rek( 3 ) => return ( 3 + sum_rek( 2 ) )

=> return ( 3 + (return ( 2 +sum_rek( 1 )) ) )

=> return ( 3 + (return ( 2 +(return (1 + sum_rek( 0 ) ) )) ) )

=> return ( 3 + (return ( 2 +(return (1 + (return 0) ) )) ) )

=> return ( 3 + (return ( 2 +(return (1 + 0 ) )) ) )

=> return ( 3 + (return ( 2 + 1) ) )

=> return ( 3 + 3 )

=> 6

W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java -2- Springer-Verlag, ISBN 3-540-20958-1

ablauf der iteration
Ablauf der Iteration

sum_iter(n){

k := n; erg := 0;

while ( k >= 0 ) do { erg := k + erg; k := k - 1; } od

return erg;

}

Betrachten wir den Ablauf der Iteration bei Eingabe n=3:

sum_iter( 3 ) => [erg = 0; k = 3;]

=> < (k >= 0)? > Ja =>=> [erg = 3; k =2;]

=> < (k >= 0)? > Ja =>=> [erg = 5; k =1;]

=> < (k >= 0)? > Ja =>=> [erg = 6; k =0;]

=> < (k >= 0)? > Ja =>=> [erg = 6; k =-1;]

=> < (k >= 0)? > Nein => return erg;

=> 6

W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java -3- Springer-Verlag, ISBN 3-540-20958-1

slide4

Korrektheitsbeweis der Rekursion (vollst. Induktion)

sum_rek(k){

if (k == 0) then return 0; fi

return ( k + summe_rek( k-1 ) );

}

Vollständige Induktion:

InduktionsAnfang:

InduktionsVoraussetzung:

InduktionsSchritt:

¨

Mit n > (n-1) > ... > 0 folgt die Terminierung des Verfahrens.

W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java -4- Springer-Verlag, ISBN 3-540-20958-1

slide5

...

0

n-1

n

Was haben wir mit der Induktion gezeigt?

...

Es gibt ein Element am Anfang, für welches die Behauptung gilt (InduktionsAnfang).

Wenn die Behauptung für irgendein Element gilt (InduktionsVoraussetzung),

so folgt daraus, dass sie auch für das Nachfolgeelement gilt (InduktionsSchritt; zu zeigen!).

Daraus folgt, das die Behauptung für alle Elemente gilt, denn:

Aus dem ersten Element kann ich mit der Behauptung das zweite bestimmen und daraus das dritte u.s.w.

Dass die Behauptung für das Nachfolgeelement gilt haben wir bewiesen!

W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java -5- Springer-Verlag, ISBN 3-540-20958-1

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erg

Korrektheitsbeweis der Iteration (Floyd)

sum_iter(n){

k := n; erg := 0;

while ( k >= 0 ) do {

erg := k + erg; k := k - 1;

} od

return erg;

}

Finden der Invarianten, die hier gelten muss:

„Was wollen wir?“ = „getan“ + „zu tun“

W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java -6- Springer-Verlag, ISBN 3-540-20958-1

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Korrektheitsbeweis der Iteration (Floyd)

Invariante:

erg

(n-k gibt an, wie oft die Schleife schon durchlaufen worden ist)

Beispiel:

Wir suchen sum_iter(3) und haben die Schleife genau einmal durch-laufen:

W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java -7- Springer-Verlag, ISBN 3-540-20958-1

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Korrektheitsbeweis der Iteration (Floyd)

[=INV( (erg, k) )]

Invariante:

erg

  • Gilt die Invariante vor dem ersten Schleifendurchlauf?
  • Gilt die Invariante auch nach einem beliebigen Schleifendurchlauf noch?

W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java -8- Springer-Verlag, ISBN 3-540-20958-1

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Korrektheitsbeweis der Iteration (Floyd)

2. Gilt die Invariante auch nach einem beliebigen Schleifendurchlauf noch?

Vorher:

Nachher:

Invariante:

W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java -9- Springer-Verlag, ISBN 3-540-20958-1

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Korrektheitsbeweis der Iteration (Floyd)

[=INV( (erg, k) )]

Invariante:

erg

  • Gilt die Invariante vor dem ersten Schleifendurchlauf?
  • Gilt die Invariante auch nach einem beliebigen Schleifendurchlauf noch?
  • Stimmt das Ergebnis, wenn die Invariante nach dem letzten Schleifendurch-lauf gilt?
  • Die Terminierung folgt wieder aus n > n-1 > 0 > -1.

W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java -10- Springer-Verlag, ISBN 3-540-20958-1