Hash 在信息学竞赛中的一类应用

Hash在信息学竞赛中的一类应用 安徽师范大学附属中学杨弋

前言 Hash

前言 CRC32! Hash MD5! SHA-1! More…

例1.多维匹配 • 一维：在一个串中找另一个串第一次出现的位置 • 二维：在一个字符矩阵中找另一个字符矩阵第一次出现的位置 • 如果扩展到k(k≤10)维呢？

c a c c a b a b a b a 例1.多维匹配 • 一维的情况：Rabin-Karp算法 O(NM)? c a b

é ù mod q ê ú ë û ( ) len S å - = ( ) len S i f ( S ) S [ i ] p a b c = 1 i × × × × × × × 1 p2 p2 p p 1 1 b c [ ] 求和 = + + - M f ( S ) × pf × ( × S ) X [ i M ] p X [ i ] mod q + 1 i i p3 p2 p 例1.多维匹配 • 一维的情况：Rabin-Karp算法 O(NM)? O(N+M)! a a

×p2 q3 ×p2 q2 ×p2 q ×p2 ×p q3 ×p q2 ×p q ×p ×q3 ×q2 ×q 例1.多维匹配 • 扩展到二维的情况 a b a a c b b c a b a c

× × × × × × × × × p4 p3 p3 p2 p p2 1 1 p 例1.多维匹配 • 扩展到二维的情况

例1.多维匹配 • 更高维的情况……

传统算法 O(k(N+M)) 难以理解相对实现困难多维Rabin-Karp O(kN+M) 易于理解易于编写，不易出错例1.多维匹配

例1.多维匹配 回顾：我们是怎么计算出Hash值的？部分和？两端增加或者删除一位后的Hash值 O(1) 计算两个串连接后的串的Hash值 O(1) 线段树！分块！平衡树！ Sparse Table! 预处理！

例2.树和图的同构 有根树 = ≠

例2.树和图的同构 有根树

例2.树和图的同构 有根树对每一个子树计算一个Hash值…… 68 1234 × 131 = 1417 1417 1417 1417 (mod 2081) 1234 1417 1234 1234 1234 (( ×557)xor ×557)xor 1234 1234 (mod 2081) × 131 346 346 924 =

例2.树和图的同构 有根树 516 68 ≠ ≠

例2.树和图的同构 有根树 O(n log n) 可以使用Hash表在O(1)时间内查询可以给出具体对应方案

例2.树和图的同构 有根树，另一种办法树→串子树的顺序？字母序？ 0 1 0 0 1 0 2 3 按Hash值排序！

u v 例2.树和图的同构无根树 f(u,v)表示以u为v的父亲节点时以v为根的子树的Hash值

例2.树和图的同构 类似地，有根森林，甚至任意图的同构问题也是可以使用Hash函数解决的无根树

总结 Hash的本质信息量大不易比较 Hash “概括” 化繁为简方便高效地比较

总结正确性有所舍弃？优美性题目适合理想的算法效率自己简洁有所收获！扩展性

结束谢谢！

Hash 在信息学竞赛中的一类应用