Download
1 / 37
E N D
Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr 6.BÖLÜMBAŞARIM
Geri bildirimli sistemlerin geçici ve kalıcı durum yanıtlarını iyileştirme yetenekleri kontrol sistemlerinin tasarımında bize oldukça yararlı sonuçlar sağlar. Tasarım sürecindeki ilk adımlardan biri sistem başarımının ölçülebilmesidir. Peki nasıl, neye göre, ne cinsinden? Kontrol sistemlerini analiz etmek ve onları tasarlayabilmek için önce sistemin başarımını nesnel olarak tanımlayabilmeliyiz. Kontrol sistemleri doğası gereği dinamik sistemler olduğundan, başarımları hem geçici hem de sürekli yanıtlarının ikisi için de tanımlanmalıdır Şekil.6.1. Kapalı döngü sistem başarımının ölçülmesi ve düzeltilmesi Bu bölümde genel zaman düzlemi istenenlerine (specifications, şartname, koşullar, belirtimler, istenen özellikler) giriş yapacağız: Bunlar yüzde aşım, yatışma zamanı, tepe zamanı, yükselme zamanı, kalıcı durum hatası ve izleme hatası gibi sistemin zaman yanıtı üzerinden ölçebileceğimiz ve başarımı bunlar cinsinden inceleyebileceğimiz istenen bir takım özelliklerdir. Böylece başarım göz önüne alınarak parametreler, sistemden istenen cevabı verecek şekilde ayarlanabilir. Tasarım sırasında bir uzlaşma noktası bulmak için, tasarım özellikleri sık sık değiştirilebilir. Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr
Kontrol sistemleri yapısı gereği dinamik, bu nedenle de zamana bağlı olarak değişim gösteren sistemlerdir. Bu nedenle zaman düzlemi başarım ölçütleri kontrol sistemleri hakkında bize önemli bilgiler veren göstergelerdir. Zaman yanıtına bakarak, öncelikle kararlı sistemler olup olmadıklarını, kararlı iseler de yanıtlarının ne kadar hızlı ve kadar düzgün (salınımsız) olduğunu belirleyebiliriz. Sistemin başarımını iki adımda inceleyebiliriz: 1.Sistemin giriş işaretine yanıtı, istenen işarete ne kadar benzer 2.Sistemin giriş işaretine yanıtı, ne kadar hızlıdır (Geçici-Sürekli durum yanıtı) Eğer P1 parametresi çok küçük bir değer seçilirse, B1 başarımı çok yüksek çıkar, buna karşılık diğer alanda başarım düşer. Tersi durumda da B1 başarımı düşük, B2 başarımı yüksek çıkacaktır. Eğer başarım ölçümleri eşit derecede önemliyse, kesişme noktalarında seçilecek bir Pi parametre değeri tüm sistem için en optimum sonucu verecektir. Bu değere uzlaşma noktası adı verilir. Bu tür uzlaşmalarla, kontrol sistemlerinin ta Bir koşul değişirken diğerinin de değişmesi yüzünden,tasarımlarda belli bir uzlaşma noktası seçeriz. İstenenlerin başarım ölçütü cinsinden verilmesi tasarımcıya sistemin kalitesi hakkında bilgi verir. başarım ölçütleri şu soruya yanıt verir: Sistem tasarlandığı durum için görevini ne kadar iyi yapabilecek? Bundan yola çıkarak biz kontrol yöntemini kendi içinde veya başka bir kontrol yöntemiyle nesnel ölçütler doğrultusunda karşılaştırabilir ve içlerinden bizim ihtiyaçlarımıza cevap veren yöntemi veya uygun tasarımı seçebiliriz sarım süreci içinde sık sık karşılaşırız. Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr
Şekil.6.3. Standart test giriş işaretleri Günümüzde kullanılan standart test işaretleri, işaret üreteçleri tarafından üretimi kolay olan ve çoğunlukla da kontrol sistemlerinde kullanılan işaretlere benzeyen işaretlerdir. Örneğin kapalı çevrim bir sıcaklık kontrol sisteminde giriş işareti, yani istenen değer, t=0 anından itibaren başlayan ve değeri tüm kontrol zamanı boyunca hep aynı (örneğin 24oC) olan bir basamak işaretidir. Genelde kullanılan standart test işaretleri; impuls (dürtü), basamak, rampa ve parabolik girişlerdir. Bununla birlikte, sistemin gerçek girişi genelde bilinmediğinden veya kullanıldığı zamana ve mekana göre değişebildiğinden, onun yerine sisteme bilinen bazı standart test işaretlerinden biri girilir ve sistemin yanıtı buna vereceği cevaba göre yorumlanır. Bu yaklaşım oldukça kullanışlıdır çünkü standart bir giriş kullanmak tasarımcıya yaptığı tasarımları karşılaştırabilme olanağı sağlar. Sistemin standart bir test girişine cevabı ile sistemin normal çalışma koşulları altındaki başarım kabiliyeti arasında nedensel bir ilişki vardır Yukarıda bu işaretler, ve onları temsil eden denklemler verilmiştir. Bu işaretlerin elde edilmesi kolaydır. Birini elde edince, integral ya da türev alıcı devrelerle diğerlerini de elde etmek ve biri için bulduğumuz sonuçları, onun türevi veya integrali olan bir giriş için de matematiksel kurgulayıp yorumlamak zor olmayacaktır. Örneğin rampa, basamak işaretinin, parabol de rampa işaretinin integralidir (1/s) Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr
Burada birim impuls girişini biraz açıklayalım. Bu işaret alanı 1, genliği oldukça büyük (idealde , genişliği oldukça küçük (idealde 0) olan bir A= işarettir. Gerçek dinamik sistemlerde çok büyük genlikli, oldukça dar bir ene sahip alanı A olan bir darbe kullanılır. Burada alan Avantajı, Laplace’ı 1 olduğundan, R(s) girişi olarak kullanıdlğında çıkışı , Y(s)= G(s)*1=G(s) yani sistemin transfer fonksiyonunun kendisini vermesidir. Dolayısıyla y(t)=g(t)’dir. Standart test işaretlerinin genel şekli 6.1.1. Birinci Dereceden Sistem Yanıtı G(s)=9/s+10 R(s) Y(s) şeklindedir Basamak yanıtı r(t)=tn ve Laplace dönüşümü R(s)= Sistemin geçici durum yanıtı; y(t)=0.9(1-e-10t) y( ) = 0.9 A= =-0.9 B= =0.9 Hata; E(s)=R(s)-Y(s) , buradan kalıcı durum hatası ess= Birinci dereceden sistemlerde (kararlı ise) sol yarı düzlemde gerçel eksen üzerinde bir tane kök vardır. Bu nedenle 1. dereceden sistemlerde salınım olmaz. Kalıcı durum hatası ise olabilir. 6.1.2. İkinci Dereceden Sistemlerin Yanıtları Daha önceki bölümlerde gördüğümüz RLC, Kütle-yay-sönümlemeyici gibi gündelik hayatta karşımıza çıkan pek çok sistem davranış bakımından, salınım ve sönümleme özelliğinden oluşan ikinci dereceden sistem karakteristiği gösterir veya daha yüksek dereceli olsalar da baskın davranışları ikinci dereceden sistem davranışına benzer. Bu nedenle 2. dereden sistemler, bize en çok lazım olan ve ayrıcalıklı olarak ele alınması gereken sistemlerdir. G(s)= Özel durumundan ötürü bu sistemleri, aşırı sönümlü, eksik sönümlü, sönümsüz olmak üzere her açıdan ele almış ve doğal frekans ve sönümleme oranı ile ilişkilerini vermeye çalışmıştık. Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr
İkinci Dereceden Bir Sistemin İmpuls Girişine Yanıtı Laplace dönüşüm tablosuna bakarsak zaman düzleminde birim impuls yanıtı Sistemin impuls yanıtı (R(s)=1) için Y(s) = G(s)*R(s) = Bulunur. Bu yanıt basamak yanıtının karmaşık düzlemde s ile çarpılmış hali, zaman düzleminde ise türevidir. değerleri için basamak yanıtlarını Matlab’ta çizdirelim Sönümleme katsayısının yüksek değerlerinden düşük değerlerine doğru sönümlemenin azalması nedeniyle salınımının arttığını önceki konulardan biliyoruz. Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr
Şekil.6.6. Çeşitli Sönümleme Oranları için İkinci Dereceden Sistemin İmpuls Yanıtları İkinci Dereceden Bir Sistemin Basamak Girişine Yanıtı Y(s) = G(s)*R(s) Sistemin basamak yanıtı ( R(s)=1/s ) Zaman düzleminde basamak yanıtı Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr
değerleri için basamak yanıtlarını Matlab’ta çizdirelim =0 değerinde sürekli salınım yaptığını biliyoruz Diğer yanıtların 0-1 aralığında daha net görülebilmesi için geri kalan değerler çizilmiştir. Şekil.6.7. Çeşitli Sönümleme Oranları için İkinci Dereceden Sistemin Basamak Yanıtları Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr
6.2. Standart Başarım Ölçümleri Tasarımcı ister impuls, ister basamak, isterse başka bir geçici durum yanıtından yola çıkarak farklı pek çok başarım ölçümünü testlerinde kullanmak için seçebilir. Ama en çok kullanılan standart başarım ölçümleri, Şekil.’de görüldüğü gibi birim basamak yanıtı cinsinden tanımlanmaktadır. Başarım ölçümleri Yanıtın hızlılığı ve basamak girişi ile yanıt arasındaki benzerlik olmak üzere iki açıdan ele alınır • 6.2.1. Yanıtın hızlılığı (çabukluğu): Yükselme Tr , tepe Tp ve yatışma Ts zamanları ile ölçülür: • Yükselme Zamanı (Rise Time, Tr veya Tr1) • Aşma gösteren eksik sönümlü sistemler için Tr’nin %0 ile %100 arasında değişen bir indeks ile gösterilmesi kullanışlı olacaktır. Sistem aşırı sönümlü ise belirgin bir aşma olmadığından Tr %10 ile %90 arasında doğrusala yakın bölgede geçen zaman yükselme zamanı olarak tanımlanabilir (Tr1). Bu yeni yükselme zamanı tanımı Tr1, aşma gösteren sistemlerde de kullanılabilir. Hangi ölçütün kullanılacağı tanımlayana kalmıştır Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr
Şekil.6.9. Basamak Yanıtı Üzerinden Tanımlanan Standart Başarım Ölçümleri Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr
Bilgisayar aracılığıyla veya grafikten bakarak bu zamanı bulabiliriz. Örneğin : Yükselme zamanını matematiksel bir formüle dayandırarak yaklaşık olarak hesaplamak mümkün müdür? Bu konuda hem Tr hem de Tr1 için iki yaklaşım kullanılabilir I) yanıtı istenen değer r(t)=1’e yani %0 dan %100 e geldiğinde ( r(t)=1=y(t)-0 ) olması için sin (0) =0 olmalıdır. t değeri yükselme zamanını yaklaşık olarak verir. - II) Tr1 için de fonksiyonun doğrusal yaklaşığından yararlanılır Doğrusallaştırılmış formül ’nın %0.3 ile %0.7 değerleri arasında gerçeğe yakın çıkmakla birlikte, bu değerlerin üstünde ve altında geçerliliğini yitirmektedir. Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr
Her iki formülde de yükselme zamanının ile ters orantılıdır. wn büyükse yükselme zamanı kısa olur. Frekans küçük olursa yükselme zamanı daha büyük olur. Bu durumda genlikte bir değişiklik olmaz. Yanıtın wn’e göre değişimi küçük bir değerse aşma büyük olacaktır. Bu durumda y(t) ani bir çıkış yapar. Aksine büyükse yükselme zamanı daha büyük dolayısıyla yanıt daha geç olur. Yanıtın ‘e göre değişimi Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr
Tepe Zamanı (Peak Time, Tp) Denklem.6.3’teki gibi 2. dereceden bir sistemin basamak yanıtının türevi ekstremum noktalarda sıfır olacağından; geçici durumda ancak sinüs bu değeri sıfır yapabilir incelenirse Sönümlenen bir sistemde ilk aşma (bu nedenle de en büyük aşma) ilk periyotta olacağından ardıllarının genliği daha küçük olacaktır Bu denklemi sağlayan t zamanı da tepe zamanıdır. Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr
Yatışma Zamanı(Settling Time, Ts, yerleşme zamanı veya oturma zamanı olarak da bilinir) Sistemin yanıtı çoğunlukla istenen değeri tam olarak karşılamaz. Üç aşağı beş yukarı ona eşittir ama ara sıra bu değerin etrafında küçük salınımlar yapabilir. Ancak biz istediğimiz belirli bir tolerans bandının içine girdiği (örneğin istenen değerin %1’i, %2’si veya %5’i gibi) ve orada kaldığı sürece yanıtı istenen değere ulaşmış kabul ederiz. Bu bandın içine bir daha çıkmamak üzere girdiği zamana yanıtın yatışma zamanı ismini veriyoruz. Örneğin: ’lik bir tolerans bandını temsil etsin. yanıtının zarfı; istenen değeri yani %100’ü temsil eden %2’lik bir bandın içine üstten (%102’den) veya alttan (%98’den) girer. Başka bir deyişle birim basamakta istenen 1 değerinden 0.02 birim sapan bölgeye sürekli azalan bir zarf işareti (veya onun eşleniği) bir defa girebilir (Kesikli çizgiler). olmalıdır. Zarfın 0.02’lik banda alttan veya üstten (işaret fark etmez) girdiği t değeri; burada = Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr
Belirgin bir salınım ise aralığında olmaktadır. Bu aralıkta çeşitli değerleri için denklemin sağ tarafının aldığı değerlerin pek değişmediğini, ortalama olarak 4 civarında değerler aldığını görüyoruz. Bunu sağlayan en küçük t , zarfın banda ilk girdiği andaki değer olan yatışma zamanını verir. Bu üç zaman ölçütü ne kadar çabuk tamamlanırsa, sistem yanıtı da sistemin başarımı açısından o kadar hızlı kabul edilir. En Büyük Tepe (Maximum peak, Mp): Denklem.6.4’deki tepe zamanı değerini y(t) yanıtında yerine yazarsak en büyük tepe, Mpdeğerini buluruz. = olduğundan yazılabilir. Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr
ve olduğunu göstermiştik. Bu durumda sinüslü ifade yerine de yazılabilir. Bir önceki MP ‘formülünde sin yerine yazılırsa istenen değer. en büyük aşma En Büyük Yüzde Aşma (Maximum percent overshoot,MP) En büyük tepe değerini bulursak, istenen değerin en fazla ne kadar aşıldığını da bulabiliriz. Burada bir ayrıntıya dikkat etmek gerekir. Bazen sistem kalıcı durumda bile istenen değere ulaşamayabilir. Bu durumda istenen değer yerine elimizde ona en yakın olabilecek değer olan son değeri (final value, fv) kullanmak daha gerçekçi olacaktır. (Yüzde aşma) Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr
Kalıcı durum hatası (ess) Bölüm 5’te birim geribildirimli sistemlerde E(s)= olarak bulunmuştu ve R(s)’e göre kalıcı durum hatasının değişeceğinden söz etmiştik. Bu genel denklem kullanılarak tüm girişler için tüm sistemlerin kalıcı durum hataları hesaplanabilir.Yaygın olarak kullandığımız birim geri bildirimli sistemler için, sistemin derecesi ve R(s) test girişinin tipine bağlı olarak bir genelleme çıkarabilir ve ess’nin ne olacağı hakkında bir ön görüde bulunabilir miyiz? Bunun için ikinci bir etken olan sistem derecesini de bilmeliyiz. G(s) en genel haliyle çarpanlarına ayrılmış olarak şu şekilde yazılabilir; K: sabit kazancı s=0’daki N tane kutbu, zi ve pklar da sırasıyla bu noktalarda bulunan sıfırları ve kutupları temsil etmektedir. Kalıcı durumda s’ler sıfıra gittiğinde ’ler , zi ; ’lar pk gibi sabitler haline gelecektir. K’da zaten sabittir. Geriye kalıcı durum yanıtını belirleyecek bir tek sN’ler kalmaktadır. N’nin derecesi sistemin tipini belirlemektedir ve giriş işareti R(s)= ’nin paydasındaki s’ler bunlardan kaç tanesini götürüyorsa kalıcı durum yanıtı da buna göre sıfır olabilmekte, sabit bir değerde kalabilmekte veya sonsuza (kararsızlığa) gidebilmektedir. Tip sistemin derecesinden farklıdır. N , n’den büyükse, kalıcı durum hatasının sıfır olur. Basamak girişlerinde oluşabilecek kalıcı durum hataları Genliği A olan bir basamak girişinde ess= e( ) = = = Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr
G(0); DC kazancını akılda kalması için özel bir simgeyle tekrar ifade edelim, bu sabite konum hatası sabiti anlamına gelen Kkonum diyelim; olmak üzere kalıcı durum hatası ess= e( )= tanımlanır = gibi sabit bir değerdir. Kalıcı durum hatası da ess= gibi sabit değerdir. I) N=0 ise (Sistem: 0. Tip) II) N=1 ise (Sistem: 1. Tip) == =ess= = 0 Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr Daha yüksek tipteki sistemler (N>1)için de sonuç aynı olacaktır
Rampa girişlerinde oluşabilecek kalıcı durum hataları Genliği A olan bir rampa girişinde Khız = dersek kalıcı durum hatası ess= e( )= = = ess= e( )= olarak tanımlanır. I) N=0 ise (Sistem: 0. Tip) ==s = 0 =0 Kalıcı durum hatası da ess = A/0 = Rampa girişinde 0. tip geribildirimli sistemlerin kalıcı durum hatası denetleyici (K) ne yaparsa yapsın büyüyerek sistemi kararsızlığa sokuyor Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr
II) N=1 ise (Sistem: 1. Tip) =s= gibi sabit bir değer olur. Kalıcı durum hatası da ess = sabit bir değerdir. III) N=2 ise (Sistem: 2. Tip) = s = = = kalıcı durum hatası da ess = 0 Demek ki (N>2) tipteki sistemler için de sonuç aynı olacaktır Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr
Parabolik girişlerde oluşabilecek kalıcı durum hataları Genliği A olan bir parabolik girişte kalıcı durum hatası ess= e( )= = = = Kivme = dersek kalıcı durum hatası ess=e( ) = olarak tanımlanır İ)N=0 ise (Sistem: 0. Tip) = s2 = 0 ess= = ii) N=1 ise (Sistem: 1. Tip) = s2 =s = 0 = iii)N=2 ise (Sistem: 2. Tip) ess= Genel olarak, kalıcı durum tanımındaki s çarpanından dolayı ( sE(s) ), giriş işaretinin paydasındaki bir s tolore edilir. Bu nedenle test girişi R(s) = , n kaçıncı dereceden ise, sistem tipi N= n-1 olduğu sürece sabit bir kalıcı durum hatası olur. N>n-1 olduğu sürece kalıcı durum hatası 0 ‘dır. Ancak sistem tipi N n-1 olduğunda kalıcı durum hatası olur. Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr
Örnek.6.2. Mobil Robotun Yön Kontrolü Günümüzde mobil robotların kullanım amaçlarından biri de engellilerin hayatını kolaylaştırmaktır. Böyle bir robotun yön kontrol sistemi aşağıdaki blok şemasıyla verilmiştir. Denetleyicinin transfer fonksiyonu (Sonraki konularda bu gibi oransal ve integral bileşeninin toplamından oluşan yapılara PI denetleyicisi adını vereceğiz). Aracın transfer fonksiyonu ise ( =0.1 , K=1 ) Şekil6.13. Mobil araç yön kontrol sisteminin blok şeması (Dorf & Bishop, 2005) Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr
Aracın istenen açı değerinin yol boyunca zamana bağlı olarak değiştiğini, zaman zaman benzer köşe, konum dönüşlerinde tekrar aynı açıya geri dönüp aynı açıyla döndüğünü düşünürsek, bu tür bir isteğe sistemin yanıtını görmek için zamana göre değişen uygun bir test girişi kullanmak gerekir. Bu da açı değeri artan veya azalan, zaman içinde tekrarlanan rampa girişleriyle temsil edilebilir. Artan ve azalan (üçgen şeklinde) rampa işaretleri yardımıyla zamanla değiştirerek robotun istenen bütün doğrultu açılarını test için kontrol sistemine verebiliriz. Kalıcı durum hatasını düşük tutarak istenen açıları takip edebilmek için kazanç değerleri ne seçilmelidir? (Rampa işaretlerinin genliği A= 2 olsun) Çözüm: Sistemin açık çevrim transfer fonksiyonu G(s) = = = = Rampa girişinde kalıcı durum hatası Sistemin kalıcı durum hatası K1’den bağımsızdır (Bu geçici durum hatasını etkilemediği anlamına gelmiyor). K2 büyük seçilirse kalıcı durum hatası azalmaktadır. Ancak K2 çok büyük seçilirse de aşmalar artacaktır. ess= idi. Khız = = ess= Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr
lsim komutu bir giriş işaretini girişe verir ve çıkışa gözler. Burada ; u: bizim istediğimiz giriş işareti , sistem: transfer fonksiyonu, t: benzetim süresi Şekil6.14. (a) K2=2 (b) K2=10, ( --: istenen açı , -: çıkış açısı ) Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr
6.3. Ek Bir Kutbun 2. Derece Sistem Yanıtlarına Etkisi Başarımı ağırlıklı olarak 2. dereceden sistemler üzerine kurduk. Çünkü en çok karşılaştığımız ve modellediğimiz sistem biçimlerindendi. Peki daha yüksek dereceli örneğin 3. dereceden bir sistemi ele aldığımızda tüm bu ölçütleri çöpe mi atacağız. Bazı koşullar altında, belirli dönüşümler yardımıyla yüksek dereceli sistemler 2. dereceden sistemlere indirgenerek, 2. dereceden sistemler için geliştirdiğimiz ölçütler, bunlar için de kullanılabilir. Bunlar konumuzun sınırlarını aşmaktadır. Ancak temel bazı bilgileri bilmek çözümlerimizi kolaylaştıracaktır. Örneğin diğer kutuplar zaman yanıtında fazla etkili değilken, 2. dereceden olan kısmının eşlenik kökleri daha baskın ise (baskın kutuplar) sistem 2. dereceden olarak kabul edilebilir. Aşağıdaki gibi sıfırı bulunmayan, iki eşlenik kutup ve bir gerçel kutuptan oluşan 3. dereceden sistemler sık sık karşımıza çıkar, olsun. Deneysel gözlemlerde gerçel kutbun, karmaşık kutupların, s1,s2= gerçel kısmından 10 kat veya daha fazla uzaktaysa zaman yanıtını ağırlıklı olarak eşlenik kutup çiftinin belirlediği ve sistemin 2. dereceden sistemmiş gibi çalıştığı görülmüştür. 10* Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr
+ • Örnek.6.3: Tasarımda uygun parametrelerin seçimi • Şekildeki gibi birim geri bildirimli bir sistemde K kazancını ve p parametresini aşağıdaki zaman düzlemi belirtimlerini sağlayacak şekilde uygun seçin. Belirtimler: • En büyük aşma M.O., %5’i geçmeyecektir. • Buna karşılık sistemin geçici durum yanıtı mümkün olduğu kadar hızlı olacak, yatışma zamanı Ts , 4sn.’den kısa olacaktır. Y (s) R (s) K = G ( s ) + s ( s p ) - Şekil.6.16 Birim geri bildirimlisistem Çözüm: Sistemin kapalı çevrim trans. fonksiyonu: İkinci dereceden sistemlerin doğal frekans ve sönümleme oranıyla temsil edilen genel denklemi Bu durumda K= ve Görüldüğü gibi, istenen şartları sağlan K ve p’yi bulmak, istenen şartları sağlayacak wn ve değerlerini bulmak gerekir. i) Yüzde aşma <0.05 < ln(0.05) Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr
< -2.99 >2.99 >0.952 ve PO arasındaki ilişkiyi veren genel bir tabloyu şu Matlab satırlarıyla kolayca oluşturabiliriz (Tablo.6.2); Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr
Yukarıdaki eşitsizliği 0.7 değerleri sağlıyor. Biz bunu bildiğimiz bir sayı olan 0.707 olarak alalım. Çünkü; = cos-1(0.707) = 45odir. Zaten cos-1(0.7) de 45.57o yapıyor. 0.707 değerini sağlayan bölge şekilde verilmiştir. θ, 0‘a yaklaştıkça olur. 0.707 ve daha büyük değerler için (0.707< <1) aşma %5 den küçük (taralı bölge) olur. II)Diğer yandan ikinci koşulumuz: 4sn Karmaşık kutup çiftinin gerçel kısmı -1 den daha küçük Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr
III) Her iki koşulu da sağlayan kök değerlerinin seçilebileceği bölge bu iki bölgenin kesişimidir. Bu bölgeden eşlenik bir kutup çifti seçelim. Örneğin sınırdaki kutupları bu koşulları sağlamaktadır. Gerçel kısımları -1’dir. Açıları θ=45o’dir dolayısıyla sönümleme oranları 0.707 ‘dir. =1 = =2 K= =2 Köklerin yeriyle sistemin yanıtı arasındaki ilişkinin yorumlanması sistem analistleri ve tasarımcıları için çok önemlidir. Bu konuya ileride daha kapsamlı olarak değinilecektir. Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr
Örnek.6.4. Simulink’te Kontrol Uygulaması Yandaki uçağın otomatik pilotu, dönüşlerde uçağın düşey eksenle yaptığı açıyı denetlemek için işletici eleman olarak kanatçık motorlarını kullanmaktadır. Aşağıda açı kontrol sisteminin doğrusallaştırılmış blok şeması verilmiştir. Simulinkte sistemin blok şema modelini kurun ve çeşitli K değerleri için sistemin yanıtını inceleyin. Şekil.6.17.b. İki kanatçık arasındaki açıklık farkına göre, uçağın yatış açısını belirleyen otopilot sistemi (Dorf&Bishop (2005) Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr
Çözüm: Sistemin blok şeması simulinkte oluşturuldu. Sisteme istenen açı değeri olarak 1 radyanlık bir basamak işareti uygulandı Benzetim sonunda gecikme zamanı az, en büyük aşmanın da %20 gibi diğer denetleyici kazançlarına göre görece küçük olduğu K değeri denemeler sonucunda 0.17 olarak bulundu. Kaynaklar: 1) Dorf, R.,C., Bishop, R.,H., Modern Control Systems, Tenth Edition, Pearson Prentice Hall, 2005 Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr
Ek6.1. Çözümlü Sorular ÇS.6.1) Vücuda verilen insülin miktarının etkin bir şekilde kontrol edilmesi diyabet hastalarının yaşam kalitesini arttırmaktadır. Kontrol işlemi kandaki şeker seviyesinin bir duyargayla ölçülmesi ve buna göre bir pompayla uygun miktarda insülin enjekte edilmesi şeklinde olmaktadır. R(s) istenen kan şekeri seviyesidir ve gün içinde istenen seviye değişmektedir. Birim basamak şeklindeki bir girişe sistemin yanıtında en büyük aşmanın (P.O.), %8 civarında olması isteniyor. a) Bunun için K kazancını kaça ayarlamamız gerekir? b) Bulduğunuz K değeri için yatışma zamanı, Ts kaç sn. olur? Ts = Hesaplamalarda birden fazla K değeri bulunabilir. Yandaki tablo içlerinden büyük olan K değerine göre hazırlanmıştır. Siz de büyük olan K değerini seçin Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr
Çözüm: Açık çevrim transfer fonksiyonu biz sistemin karakteristik denklemiyle yani paydayla ilgileniyoruz. Çünkü en büyük aşma, yükselme zamanı gibi geçici durum yanıtları karmaşık düzlemde karakteristik denklemin köklerinin yerleriyle belirleniyordu. Pay’ı sembollerle değil, doğrudan “Pay” yazarak temsil ettik. Bu durumda P.O. %8’ civarında olabilmesi için tabloya göre ‘nın yaklaşık olarak 0.73 seçilmesi gerekir Denklemi sağlayan 2 tane K değeri vardır. K=1.61 ve K=0.6 . Tabloya göre istediğimiz aşmayı sağlayan büyük K değeri, yani K=1.61 Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr
b) Buna göre wn = Ts= = ÇS.6.2) Yanda Hubble uzay teleskopunun hedef seçme sisteminin öbek şeması verilmiştir. Hedef seçme sistemi iyi kontrol edilebilirse teleskop 400 mil öteden 50 Kuruş büyüklüğündeki bir hedefi seçip ona odaklanabilmektedir. Basamak şeklindeki bir r(t) komutuna sistemin yanıtında en büyük aşma,P.O.<%10 olması isteniyor. Tepe Zamanının ise Tp > 0.73 sn. olması isteniyor. K kazancı için yukarıdaki tasarım koşullarını sağlayacak aralığı belirleyin. Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr
Çözüm: H(s)=6s, içerideki geribildirimli sistem = Kontrol sisteminin açık çevrim transfer fonksiyonu; Geribildirimli kontrol sistemi; 2. dereceden denkleme göre ; P.O. <%10 olabilmesi için tabloya göre seçilmesi gerekir. ‘nın ’nın K cinsinden değerini eşitsizlikte yerine koyarsak bulunur. Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr
Ek6.2. Bu Bölümde Kullanılan Diğer Matlab Kodları: Şekil.6.9. Basamak Yanıtı Üzerinden Tanımlanan Standart Başarım Ölçümleri) Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr
Kaynaklar • 1) Dorf, R.,C., Bishop, R.,H., Modern Control Systems, Tenth Edition, Pearson Prentice Hall, 2005 • 5)Selçuk,H.A.,KOÜ. Mü .Fak. Elo ve Hab. Blm,Otomatik Kontrol Dersi Ödevi Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr
