PERNYATAAN, NILAI KEBENARAN, DAN KALIMAT TERBUKA

1. PERNYATAAN, NILAI KEBENARAN, DAN KALIMAT TERBUKA Pernyataan Lambang dan nilai kebenaran suatu pernyataan

2. Pernyataan Pernyataan adalah kalimat yang hanya benar saja atau salah saja, tetapi dapat sekaligus benar dan salah. • Contoh : • 4 adalah bilangan genap • Besi adalah benda padat

3. Lambang dan nilai kebenaran suatu pernyataan • Suatu pernyataan biasanya dilambangkan dengan memakai huruf kecil, seperti a, b, c, d, ........., p, q, r, s, .........dan seterusnya. • Benar atau salah dari suatu pernyataan dapat ditentukan memakai dasar empiris dan dasar tak-empiris.

4. Dasar Empiris yaitu menentukan benar atau salah dari sebuah pernyataan berdasarkan Contoh : • “Ibukota jawa timur adalah surabaya”, merupakan pernyataan benar. • “Air adalah benda padat”, merupakan pernyataan salah. Dasar Tak Empiris Contoh : “Akar persamaan 3x - 1 = 5 adalah 2”, merupakan pernyataan benar

5. Kalimat Terbuka Kalimat terbuka adalah kalimat yang memuat peubah/variabel, sehingga belum dapat ditentukan nilai kebenarannya (benar atau salah). Contoh : • Jika x diganti 3, diperoleh “2(3) + 3 = 11”,merupakan pernyataan salah • Jika x diganti 4, diperoleh “2(4) + 3 = 11”, merupakan pernyataan benar.

6. Ingkaran atau negasi • Ingkaran atau negasi ialah sebuah pernyataan yang dibentuk dengan membubuhkan kata tidak benar di depan pernyataan semula atau dengan menyisipkan kata tidak atau bukan dalam pernyataan semula. • Jika p adalah pernyatan yang diketahui, maka ingkaran atau negasi dari p dapat ditulis dengan memakai lambang ~p. Contoh : Tentukan ingkaran dari q:7 adalah bilangan prima. Jawab : ~q: Tidak benar 7 adalah bilangan prima, atau ~q: 7 bukan bilangan prima

7. Disjungsi • Disjungsi adalah pernyataan yang dibentuk dari dua pernyataan p dan q yang dirangkai dengan menggunakan kata hubung atau. • Disjungsi pernyataan p dan q ditulis dengan lambang sebagai berikut : p v q. • p v q benar, jika salah satu diantara p dan q benar dan p dan q dua-duanya benar. • P v q salah, jika p dan q dua-duanya salah.

8. Konjungsi • Konjungsi adalah pernyataan yang dibentuk dari dua pernyataan p dan q yang dirangkai dengan menggunakan kata hubung dan. • Konjungsi pernyataanp dan q ditulis dengan lambang sebagai berikut : p٨q dibaca p dan q. • P ٨ q benar, jika p dan q benar. • p ٨ q salah, jika salah satu p atau q salah atau p salah dan q salah.

9. Implikasi • Implikasi adalah pernyataan majemuk yang disusun dari dua buah pernyataan p da q dalam bentuk jika p maka q. • Implikasi “jika p maka q” dapat ditulis dengan lambang sebagai berikut : p => q. • Nilai kebenaran implikasi p => q dapat ditentukan dengan menggunakan definisi berikit : p => q dinyatakan salah, jika p benar dan q salah. Dalam kemungkinan yang lainnya p => q dinyatakan benar.

10. Biimplikasi atau Implikasi Dwiarah • Pernyataan p dan q dapat dirangkai dengan menggunakan kata hubung “jika dan hanya jika” sehingga diperoleh pernyataan baru yang dibentuk “p jika dan hanya jika q”. Pernyataan yang dirangkai dengan cara seperti itu disebut biimplikasi atau implikasi dwiarah. Biimplikasi “p jika dan hanya jika q” dapat ditulis dengan lambang p <=> q, dibaca p jika dan hanya jika q.

11. Pernyataan Majemuk dan Nilai Kebenarannya. • Pernyataan majemuk adalah pernyataan yang dibentuk dari beberapa pernyataan tunggal (komponen) yang dirangkai dengan menggunakan kata hubung logika. • Di samping pernyataan majemuk sederhana di atas, seringkali dijumpai pernyataan majemuk yang lebih rumit. Pernyataan majemuk yang rumit terdiri dari pernyataan p, q r, .....dan seterusnya, disertai gabungan operasi ingkaran, disjungsi, konjungsi, implikasi, dan biimplikasi. • Secara umum dapat disimpulkan “jika sebuah majemuk terdiri dari n buah pernyataan tunggal yang berlainan, maka banyak baris pada tabel kebenaran yang memuat nilai kebenaran adalah 2n

12. Tautologi • Tautologi adalah sebuah pernyataan majemuk yang selalu benar untuk semua kemungkinan dari pernyataan komponennya. • Implikasi logis adalah sebuah tautologi yang memuat pernyataan implikasi.

13. Dua buah pernyataan majemuk yang ekuivalen • Untuk memahami pengartian dua buah pernyataan majemuk yang ekuivalen, perhatikan dua buah pernyaan berikut : a = (p v q ) dan b = ( q v p ) • Dari pernyataan a dan b itu dapat dibentuk biimplikasi. a <=> b atau (p v q) <=> (q v p) • Nilai kebenaran biimplikasi (p v q) <=> (q v p)

14. Secara umum dapat disimpulkan : • Tautologi yang berbentuk a <=> b dinamakan ekuivalen logis dan dituliskan dengan lambang a Ξ b. • Dua buah pernyataan majemuk dikatakan ekuivalen, jika kedua pernyataan majemuk itu mempunyai nilai kebenaran yang sama untuk semua kemungkinan nilai kebenaran pernyataan –pernyataan komponennya.

15. Sifat komutatif a) p v q Ξ q v p b) p ٨ q Ξ q ٨ p .................. (4-2) • Sifat asosiatif a. (p v q) v r Ξ p v (q v r) b. (p ٨ q) ٨ r Ξ p ٨ (q ٨ r) ..................(4-3) • Sifat distributif a) Distributif disjungsi terhadap konjungsi. p v (q ٨ r) Ξ (p v q) ٨ (p v r) b) Distributif konjungsi terhadap dijungsi. p ٨ (q v r) Ξ (p ٨ q) v (p ٨ r) ............(4-4)

16. Ingkaran dari pernyataan Berkuantor • Kita telah membahas ingkaran dari sebuah pernyataan. Paling tidak ada 3 hal yang perlu diingat kembali, yaitu: 1. Ingkaran atau negasi dari pernyataan p, dilambangkan dengan ~p. 2. Jika p pernyataan yang bernilai benar, maka ~p bernilai salah. 3. Jika p pernyataan yang bernilai salah, maka ~p bernilai benar.

17. SILOGISME, MODUS PONENS, DAN MODUS TOLLENS • Penarikan kesimpulan yang diturunkan dari premis-premis semula disebut argumentasi