DSP 5 The Discrete Fourier Transform ( DFT ) การแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่อง

DSP 5The Discrete Fourier Transform (DFT)การแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่อง ผศ.ดร. พีระพล ยุวภูษิตานนท์ ภาควิชา วิศวกรรมอิเล็กทรอนิกส์ EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

เป้าหมาย • นศ รู้จักความหมายของ อนุกรมฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่อง (Discrete Fourier Series :DFS) และผลการแปลงจากสัญญาณในโดเมนเวลา • นศ เข้าใจความสัมพันธ์ของ การแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่อง (Discrete Fourier Transform: DFT) และ DFS • นศ สามารถทำการแปลง DFT กับสัญญาณเชิงเวลาใดๆได้ EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

ทำไมต้อง DFT ? หากต้องการใช้คอมพิวเตอร์หรือตัวประมวลผลมาช่วยคำนวณผลเราต้องการจำนวนลำดับที่จำกัด แต่จากเรื่องของ DTFT สังเกตว่า n มีค่าไม่จำกัด แต่ หากจะคำนวณ DTFT ด้วย โปรเซสเซอร์ หรือ คอมพิวเตอร์ จะต้องจัดการให้ลำดับ n มีค่าที่จำกัด ดังนั้นจึงต้องใช้ การแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่อง Discrete Fourier Transform (DFT) EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

อนุกรมฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่องThe Discrete Fourier Series (DFS) ให้สัญญาณที่เป็นรายคาบ ความถี่มูลฐาน เป็น เรเดียน แสดง ได้เป็น ความถี่ฮาร์มอนิก เป็น คือ ค่าสัมประสิทธิ์ ฟูริเยร์ไม่ต่อเนื่อง โดยที่ EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

ก็เป็นสัญญาณรายคาบ เราแทน Analysis (DFS) equation: Synthesis (IDFS) equation: EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

ตัวอย่าง หา DFS ของสัญญาณรายคาบ ดูจากลักษณะสัญญาณ จะได้ คาบเวลา= 4 (N=4 ) วิธีทำ k=0 k=1 k=2 k=3 EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

ตัวอย่าง มีสัญญาณพัลส์ (pulse) เป็น รายคาบดังรูป จงหาอนุกรม DFS วิธีทำ L N dsp_5_1.eps EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

แปลง DFT เราจะนั่งคำนวณด้วยมือก็ได้… หรือใช้ตัวช่วยจาก ผลรวมเรขาคณิตแบบจำกัดจะดีกว่าไหม? ทำให้ได้ แต่เฉพาะที่ EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

ช่วงพัลส์บวก L=5 และคาบเป็น N=20 EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

ข้อสังเกตุ • ช่วงระยะพัลส์บวก สัมพันธ์กับ คาบเวลาและขนาดของผลการแปลง DFS ดังนี้ EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

DFS กับ z-transform และ DTFT สำหรับสัญญาณจำนวนจำกัดใดๆ N=6 0 5 จัดให้เป็น สัญญาณที่เป็นคาบได้โดยใช้สัญญาณเฉพาะ n = 0 ถึง N-1 … และบวกรวม 0 5 EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

DFS กับ z-transform และ DTFT (ต่อ) ความสัมพันธ์ DFS และ z-transform ความสัมพันธ์ DFS และ DTFT EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

DFT กับ DFS • DFS เป็นการแปลงสัญญาณเชิงเวลาไม่ต่อเนื่องและเป็นคาบ ให้เป็นสัญญาณเชิงความถี่แบบไม่ต่อเนื่องและเป็นคาบ • แต่สัญญาณบางอย่างทั่วๆไป อาจจะไม่เป็นคาบก็ได้ • ในการวิเคราะห์จึงต้องตัดสัญญาณนั้นมาหนึ่งช่วงและหา DFS ของช่วงสัญญาณนั้น ซึ่งเราสมมติให้เป็นช่วงหนึ่งคาบ • และเราเรียกการแปลง DFS กับสัญญาณเพียงหนึ่งคาบนั้นว่าการแปลง DFT DFT เป็นการแปลงที่ ใช้การหา DFS ของสัญญาณเพียงหนึ่งคาบ EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

CTFT DTFT 1 คาบ DFS k 0 N-1 0 N-1 DFT k 0 N-1 0 N-1 EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

การเพิ่มจำนวนศูนย์ (zero padding) ตัวอย่าง เป็นสัญญาณที่มีค่าเป็นหนึ่งเฉพาะย่าน นั่นคือ ตัวอย่างเมื่อเพิ่มศูนย์ 4 ตัว EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

ผลการแปลง DTFT ของ x(n) dsp_5_6.eps EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

หา DFT ของ x(n) k=0 k=1 k=2 k=3 EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

N=4 dsp_5_7.eps EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

ความละเอียด (Resolution) ของการคำนวณสเปคตรัม • การเพิ่มศูนย์ Zero padding เป็นการเติมจุดคำนวณให้มากขึ้น เพื่อช่วยในการเพิ่ม ความหนาแน่น (density) ของการแสดงสเปคตรัม • แต่ไม่ได้เป็นการเพิ่มความละเอียด (resolution) ในการวิเคราะห์สเปคตรัมต้องเพิ่มจำนวนจุด (point) ในการคำนวณ DFT ตัวอย่าง ลำดับ x(n) มีองค์ประกอบความถี่ อยู่สองความถี่ EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

สำหรับสัญญาณ x(n) n=0 ถึง 9 EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

เพิ่มศูนย์อีก 40 ตัว EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

แม้เพิ่มศูนย์อีก 90 ตัว ก็ไม่เพิ่มความละเอียด EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

ใช้สัญญาณ x(n) จำนวน 100 ลำดับ จะเห็นรายละเอียดของสองความถี่ EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

ขนาด และ เฟสของ x(n)=[ … 0 1 0 … ] EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

สรุป • DFT ใช้ในการคำนวณการแปลงฟูริเยร์ ด้วยตัวประมวลผล (คอมพิวเตอร์ หรือ โปรเซสเซอร์) • DFT ก็คือ DFS สำหรับสัญญาณเพียงหนึ่งคาบ • DFT (DFS) มีความเชื่อมโยงกับการแปลงแซด และ DTFT • การเพิ่มศูนย์ Zero padding เป็นการเติมจุดคำนวณให้หนาแน่นมากขึ้นแต่ไม่ช่วยเรื่องความละเอียดของสเปคตรัม EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

DSP 5 The Discrete Fourier Transform ( DFT ) การแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่อง