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工程数学 《 积分变换 》 教案. 学院： 物理学与电子信息工程学院 专业： 电子信息工程、应用电子技术 层次： 本科、专科 学时： 10 学时. 教材及主要参考书 教材： 《 积分变换 》( 第四版 ) 东南大学数学系 张元林 编 参考书： 《 复变函数 . 积分变换 全析精解 》 西北工业大学出版社. 积分变换. 第一章 Fourier 变换. 第一节 傅里叶 (Fourier) 积分. 一、引言. 工程中常见的周期函数. t. f T ( t + T )= f T ( t ) T -- 周期.
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工程数学《积分变换》教案 学院： 物理学与电子信息工程学院 专业： 电子信息工程、应用电子技术 层次： 本科、专科 学时： 10学时
教材及主要参考书 教材：《 积分变换》(第四版)东南大学数学系 张元林 编 参考书：《复变函数.积分变换 全析精解》西北工业大学出版社
积分变换 第一章 Fourier变换 第一节 傅里叶(Fourier)积分 一、引言
工程中常见的周期函数 t • fT(t+T)=fT(t) T--周期
最常用的一种周期函数是三角函数fT(t)=Asin(ωt +φ)其中ω=2π/T t • 而A sin(ωt+φ)又可以看作是两个周期函数 • sinωt 和 cosωt 的线性组合 • A sin(ωt+φ) = a sinωt + b cosωt
Basics of Light Electromagnetic Wave c = 299,792,458 m / s in a vacuum
用三角函数的线性组合--逼近周期函数 方波 4个正弦波的逼近 100个正弦波的逼近
different Propagating Electromagnetic Waves: Group Velocity Lowest-order statement of propagation without distortion group velocity
Phase and Group Velocity 参考文献：L. J. Wang, A. Kuzmich, and A. Dogariu, “Gain-assisted superluminal light propagation,” Nature 406, 277- 279 (2000)
1、波包的时空演化示意图 2、波震动由两种不同频率的波叠加在一起而产生的波在某一区域内的周期振动
光通信中解决波形展宽的方法 length FBG: Period 1、光纤光栅 2、波包以孤子传播 (1) 单孤子传输时波形保持不变 (2)双孤子相互作用后各自的波形保持不变 参考文献： Snyder A W and Mitcher D J “Accessible Solitons” 1997 Science 276 1538
二、Fourier 级数的三角形式 • 1、 连续或只有有限个第一类间断点 以周期为T的函数fT(t)在区间[-T/2,T/2]上满足(Dirichlet)条件： 2、 只有有限个极值点 那么fT(t)就可以在[-T/2,T/2]上展开成Fourier级数。 说明： 这两个条件实际上就是要保证函数fT(t)是可积函数.
在fT(t)在连续点处，级数的三角形式为: 在fT(t)的间断点t0处，式(1.1)的左端代之为
利用Euler公式 二、Fourier 级数的复指数形式 可得
如令ωn= nω (n = 0,1,2,...) 所以 Fourier级数的复指数形式 请记住!
三、非周期函数的Fourier 级数 • 1、非周期函数 f (t)的表示 对任何一个非周期函数f(t)都可以看成是由某个周期函数fT(t)当T+时转化而来的. 下面我们来构造一个周期为T的函数fT(t), 使其在[-T/2,T/2]之内等于f(t), 在[-T/2,T/2]之外按周期T延拓到整个数轴上, T越大,则fT(t)与f(t)相等的范围也越大, 当T+时, 周期函数fT(t)便可转化为f(t).
f(t) O t f*(t) O t fT2(t) O t 下面，利用非周期f (t)来构造周期为T的函数 说明 fT1(t) O t
如下图所示 2、推导非周期函数 f (t)的Fourier公式 { { { { { w -w1 Ow1w2w3wn-1 wn
称为函数 f(t)的傅里叶积分公式,简称傅氏积分公式。 应该指出，上式只是形式上上的推导，是不严格的。至于一个非周期函数f(t)在什么条件下，可以用Fourier积分公式 来表示，有后面的傅氏积分定理来回答。 下面先来画出周期函数fT(t) 的cn在T时的图形的变化情况及在信号表示中意义。
例 定义方波函数为 f(t) 1 o 1 -1 t 四、周期函数fT(t) 在T时系数cn的演化 如图所示:
现以f(t)为基础构造一周期为T的周期函数fT(t), 令T=4, 则 f4(t) 1 -1 1 3 t T=4
其系数 这里 是离散的
sinc函数的图形 sinc(x) 1 x o π 2π -2π -π 用绘图函数 可得
画周期函数的频谱图 • 可将cn以竖线标在频率图上，每根竖线称为相应频率的的谱线，其高度代表第n阶谐波的振幅(强度)。 下面注意观察谱线分布的三个特点： 每根谱线代表一个谐波分量，谱线是离散的； (1)离散性 (2)谐波性 谱线只是基波频率的整数倍； (3)收敛性 谱线的强度(高度)，随谐波次数的增高而逐渐减小。当谐波的次数无限增多时，谐波分量的强度(振幅) 变为无穷小。
因 系数为 o cn n=0 1/2 n=1 n= 2 wn -π 2π -2π π
现在将周期扩大一倍, 令T=8, 以f(t)为基础构造一周期为8的周期函数f8(t) f8(t) 1 -1 1 7 t T=8
则在T=8时, cn n=0 n=1 1/4 n=2 n=3 n= 4 wn o -2π 2π -π π
如果再将周期增加一倍, 令T=16, 可计算出 cn n=0 1/16 n= 8 wn o -2π 2π -π π
当周期T越来越大时, 各个频率的正弦波的频率间隔 越来越小, 而它们的强度在各个 一般地, 对于周期T，脉冲宽度为2，强度为1的波形，其双边频谱为 频率的轮廓(包络线)则总是sinc函数的形状,谱线越来越密，但频谱包络线过零点的坐标并没有改变. 因此, 如果将方波函数f(t)看作是周期无穷大的周期函数,则它也可以看作是由无穷多个无穷小的正弦波构成, 将那个频率上的轮廓即sinc函数的形状看作是f(t)的各个频率成份上强度的分布, 称作f(t)的傅里叶变换.
傅氏积分定理 若f(t)在(-, +)上满足条件: 五、傅氏积分定理 1、 f(t)在任一有限区间上满足Dirichlet条件; 2、 f(t)在无限区间(-, +)上绝对可积, 则在f(t)的连续点有
小结1.周期函数的Fourier级数的三角形式(T为周期)小结1.周期函数的Fourier级数的三角形式(T为周期)
3.非周期Fourier级数表达式Fourier 公式 傅氏积分定理 若f(t)在(-, +)上满足条件: 1, f(t)在任一有限区间上满足狄氏条件; 2, f(t)在无限区间(-, +)上绝对可积, 则有
作业 习题一 第10页 第1, 2.1, 3.1, 4题
cos nωt和sin nωt都可以看作是复指数函数ejnωt的线性组合 返回
线性组合 L a + a + + a k k k L k k , k ， ， 称为这 1 1 2 2 m m 1 2 m 称为向量组的一个 ， . 个线性组合的系数 线性组合 返回
三角展开 返回
定义：设V为n维向量的集合，如果集合V非空，且集合V对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称集合V为向量空间。定义：设V为n维向量的集合，如果集合V非空，且集合V对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称集合V为向量空间。 所谓封闭:是指在集合V中可以进行加法及乘数两种运算，即 若a∈V，b ∈V,则 a+b ∈V;若a∈V，λ ∈R,则 λa ∈V; 返回17页
参考书籍 • 《光波导与光纤通信基础》 • 作 者: 丁么明 • 出 版 社: 高等教育出版社ISBN : 704016453原 价: ￥31.4
Dirichlet （1805～1859） 德国数学家 生於德国Duren 卒於哥廷根 师从Gauss，是解 析数论的奠基者， 也是现代函数观念 的定义者。 数学家 Dirichlet return
关於 Fourier 级数的严格性这一笔烂帐（Fourier、Poisson、Cauchy），也要到 Dirichlet 才解决，黎曼尊称他为 Fourier 级数理论的真正奠基者。另外在代数数论中他启发Kummer与Dedekind，他的著作《Vorlesungen uber Zahlentheorie》（数论教程），经Dedekind补释後，成为代数数论的经典。 狄利克雷跟從高斯 (Gauss) 學習。他主要對代數、數論及二次型感興趣。他是第一個提出現代函數概念的人，也研究過邊值問題及傅立葉級數，並給出了傅立葉級數收歛的充分條件(1829)。
说明 f*(t) O t
