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多 目 标 决 策 ----Multi-criteria Decision Analysis

多 目 标 决 策 ----Multi-criteria Decision Analysis. 第一节 多目标决策问题. 一、 管理决策中的多目标特性 在许多决策问题中，都会遇到多个决策目标和对目标的度量不一致的情况。 例 1 毕业生选择工作问题 这些目标可能是相互矛盾的 。. 例 2 排水系统规划设计 这些目标既相互矛盾，又不可公度 例 3 投资方案的选择. 由此总结出多目标决策问题的三个特点 (1) 决策问题有多个目标 (2) 目标之间相互矛盾 (3) 目标的度量可能不一致 目标之间若相互一致，则不成为多目标决策问题。.

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多 目 标 决 策 ----Multi-criteria Decision Analysis

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  1. 多 目 标 决 策----Multi-criteria Decision Analysis

  2. 第一节 多目标决策问题 一、 管理决策中的多目标特性 • 在许多决策问题中，都会遇到多个决策目标和对目标的度量不一致的情况。 例1 毕业生选择工作问题 这些目标可能是相互矛盾的。

  3. 例2 排水系统规划设计 这些目标既相互矛盾，又不可公度 例3 投资方案的选择

  4. 由此总结出多目标决策问题的三个特点 (1)决策问题有多个目标 (2)目标之间相互矛盾 (3)目标的度量可能不一致 • 目标之间若相互一致，则不成为多目标决策问题。

  5. 第二节 目标规划(目的规划) ------Goal Programming 一、 目标规划问题及其基本概念 1 目标规划问题 • 举例(P512) Nicolo投资咨询公司面临的投资问题是: 一个客户有80000美元用于投资, 计划投资于两种股票: 现在客户要求: (1) 风险指数不大于700; (2) 年收益不小于9000美元.

  6. 问题的数学描述如下: 设x1=购买美国石油的股票数; x2=购买Hub Properties的股票数; 则问题的目标为: (1) Z1(X)=0.5x1+0.25x2 ≤700 (2) Z2(X)=3x1+5x2 ≥9000 约束条件为: 25x1+50x2 ≤80000 • 这里 700 和 9000只是决策者的理想值或者目标值, 一旦确定，决策者当然希望能达到所有目标. 但由于上述两各目标是相互矛盾的, 满足一个可能满足不了另外一个, 这时我们可以说这个没有被满足的目标发生了偏差.

  7. 对于多目标决策问题，每个目标都应有个理想值或决策者对每个目标都有一个期望值，即目标值；对决策者来说，每个目标应尽可能的达到其目标值，但由于目标之间的矛盾性，这些目标值很难都得到满足。但决策者希望它们能得到最大限度地满足，即对于多目标决策问题，每个目标都应有个理想值或决策者对每个目标都有一个期望值，即目标值；对决策者来说，每个目标应尽可能的达到其目标值，但由于目标之间的矛盾性，这些目标值很难都得到满足。但决策者希望它们能得到最大限度地满足，即 式中 Ti 为第 i个目标 Zi(X) 的目的值或“靶值”。 实际上表示 Zi(X) 偏离靶值Ti的大小，移之为偏差。

  8. 2 基本概念 (1)正、负偏差 • 令 d+ = Zi(X) -TiZi(X) >Ti正偏差，即超过靶值的部分。 d- = Ti －Zi (X) Zi(X) <Ti负偏差，即未达到靶值的部分。 • 例如 • 若要求利润指标为Ti=100万元 • 当Zi (X) =110万元， 则 d+ = 10， 同时 d－= 0 • 若Zi(X) =90万元 ， 则 d－=10 ，同时d＋=0

  9. (2)目标函数(达成函数) • 决策者将目标值或靶值确定以后，当然希望目标函数尽量满足目标值，即要求正的或负的偏差越小越好。故目标函数的形式一般为： minZ= f (d+，d -) • 一般有下列形式： ①当要求某目标超过某值时：minZ= f(d -) ②当要求某目标小于某值时：minZ= f(d+) ③当要求某目标等于某值时：minZ= f(d+ + d -) ④要求某目标超过某目标值时，超过值不限： minZ= f (d --d+) ⑤当要求某目标函数小于某值时，小于值不限， minZ= f( d+ -d -)

  10. (3)约束条件与优先级(优先因子) • 现设有三个目标，第一个目标Z1要求大于T1，第二个目标要求正好等于T2，第三个目标要求小于T3，则目标规划的目标函数为： minZ=p1 d -1 + p2(d +2 + d -2) + p3 d3+ • 若没有任何限制条件当然，d1-，d2+，d2-，d3+= 0，但作为规划问题一定要有约束条件：

  11. ①绝对约束——系统中必须严格满足的约束条件；①绝对约束——系统中必须严格满足的约束条件； ②目标约束 • 对于上述给定的问题有： • 若上述所有条件都能满足，则d1-，d2+，d2-，d3+=0，但很可能不存在X同时满足所有条件，这样就允许各目标在尽量满足其靶值时，发生正的或负的偏差，故上述目标规划的约束条件于表示为：

  12. ③优先因子 • 在上述问题的目标函数minZ = p1 d-1 + p2(d+2 + d-2) + p3 d3+中， • p1，p2，p3——优先因子，且认为p1>>p2>>p3， • 更一般地有p1>>p2>>p3…>>pm。 • 因此，要实现上述目标函数极小化，必须首先满足d -1最小，其次是(d +2 + d -2)，…。 • 这里的pi区别于权数，主要有两种考虑： a：将目标划分成若干级，上一级目标优先考虑； b：不需要考虑各目标的单位是否统一。 另外，在同一优先级内，可能有多个目标，而这些目标也有个相对重要性的问题，此时引入权系数W 以示它们的相对重要性。

  13. 3 目标规划数学模型 • 根据以上分析可将目标规划数学模描述如下： • 式中 wij——第i优先级中第j个目标的权数。

  14. 二、 目标规划应用举例（生产计划问题） • 某厂拟生产Ⅰ，Ⅱ两种产品，有关资料如下。 单位产品财会表

  15. 另外，产品造成的污染为：单位产品Ⅰ为3个单位，单位产品Ⅱ为2个单位。现工厂的主管部门考虑如下目标：另外，产品造成的污染为：单位产品Ⅰ为3个单位，单位产品Ⅱ为2个单位。现工厂的主管部门考虑如下目标： P1：取得利润33； P2：把污染限制在36单位； P3： • 问工厂应如何制定生产计划。

  16. 解：设x1，x2为品Ⅰ，Ⅱ的生产量(决策变量) • 则各目标函数可表示为： Z1(X) = x1 + 3x2 (利润) Z2(X) = 3x1 + 2x2 (污染量) Z3(X) = x1，Z4(X) = x2 (销量) • 约束条件为： 5x1 + 2.5x2 ≤8 2x1 + 2x2 ≤4 x1 + 5x2 ≤ 72 • 现要求： Z1(X) ≥33 Z2(X) ≤36 Z3(X) ≥5 Z4(X) ≥12

  17. 故该问题的目标规划数量模型为： • minZ = p1 d-1 + p2 d+2 + p3(2 d3- + d-4)

  18. 三、目标规划的解法 • 图解法 • 计算机求解 显然，目标规划是一类特殊形式的线性规划，因此可用线性规划方法求解，但目标规划的计算机求解要先确定优先级Pi； 上述案例的计算机求解；（考虑绝对约束不满足）

  19. 3. 阳光海岸办公用品问题 （1）问题描述P518 （2）基本数据： 计划联系的客户：老：200人；新：120人 单位接洽所用时间：老：2h；新：3h 每位客户接洽后利润：老：$250; 新:$125 可用接洽时间: 4 ×160=640h; 另加班时间:40h. （3）公司目标 第一级目标P1： 目标1：销售时间不超过680h；目标1：销售时间不小于600h； 第二级目标P2： 目标3：产生的销售额不少于70000美元 ； 第三级目标P2： 目标4：老客户不少于200人；目标5：新客户不少于120人 ；

  20. minZ = p1 d 1+ + p2 d2- + p2 d3-+ p3( d4- + 2d5-) （4）建立问题的目标规划模型 设接洽的老客户数为P，新顾客的人数为N，则问题的目标规划数学模型为： 计算机求解

  21. 第三节 层次分析法 • 层次分析法（The Analytic Hierarchy Process，AHP）是美国人T . L . Saaty于20世纪70年代中期创立的一种评价（多目标决策）方法 • 基本思想——使分析决策条理化、层次化，利用人的经验判断对决策方案排序。 • 特点——实用、简洁，定性分析于定量分析相结合。 • 应用范围——社会、经济、技术相系统，特别是对缺乏必要的数据资料的情况，AHP法尤为实用。

  22. 一、AHP法原理与步骤 （1）建立问题的递阶层次结构模型（建模）； （2）构造两两比较矩阵； （3）进行层次但排序，并进行一致性检验； （4）进行层次总排序，并进行总排序的一致性检验。

  23. 决策目标 目标层 准则层 准则1 准则2 准则3 子准则层 子准则1 子准则2 子准则3 方案层 方案1 方案2 方案3 （一）建立问题的递阶层次结构模型 • 模型的一般形式如下：

  24. 增强学校综合实力 目标层A B1 B2 B3 加强师资队伍建设 提高教学质量 提高科研水平 准则层B C11 C12 C13 C21 C22 C23 C31 C32 C33 子准则层C 教师进修 师资结构 稳定师资 课程建设 教材建设 教学获奖 纵向课题 横向课题 科研获奖 P1 方案1 方案2 P2 方案3 P3 方案层 • 例如：对某学校发展计划（方案）进行评价 • （以下模型为一假设）

  25. C33 C11 P1 P1 P2 P2 P3 P3 B1 A B1 C11 B2 C12 B3 C13 P1 P2 P3 P1 P2 P3 1 P2/P1 P3/P1 1 P2/P1 P3/P1 P1/P2 1 P3/P2 P1/P2 1 P3/P2 P1/P3 P2/P3 1 P1/P3 P2/P3 1 C11 C12 C13 B1 B2 B3 1 B2/B1 B3/B1 1 C12/C11 C13/C11 B1/B2 1 B3/B2 C11/C12 1 C13/C12 B1/B3 B2/B3 1 C11/C13 C12/C13 1 （二）构造两两比较矩阵 • 比较矩阵是下层指标对上层指标的相对重要性的比较，或各方案对某指标的效用矩阵。 • 以上例为例，具体形式为： 等等

  26. 为量化比较矩阵，Saaty给出了如下标度：

  27. （三）进行层次单排序，并进行一致性检验 （方根法、特征向量法） ——方根法 （1）计算判断矩阵每行元素的乘积，即： （2）计算： （3）归一化： • W=（W1，W2，…，Wn）T即为判断矩阵的特征向量的近似值，也是各元素的相对权重值（下层准则（或目标）对上层准则的相对重要性）

  28. N 3 4 5 6 7 8 9 RI 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 （4）计算判断矩阵的最大特征根 AW——判断矩阵A与向量W的乘积； （AW）i——向量AW的第i个元素； （5）一致性检验 • 当CR≤0.1时，判断矩阵A的一致性是可以接受的。其中，RI按下表取值：

  29. 所谓一致性： • 当λmax=n时，这时矩阵称为一致性矩阵。然而，人们在进行两两比较时，不可能做到完全一致，从而存在着估计误差。如I与j比：标度为3，j与k比：标度为5，若I与k比，标度为6，则不太一致。因此要进行一致性检验。上面指标中，CR越大，一致性越差，相反则越好。n=2时，则完全一致。

  30. 教师进修C11 P1 P2 P3 WC11 P1 P2 P3 1 1/3 1/7 3 1 1/5 7 5 1 0.649 0.278 0.073 • 如上例中： • 归一化得：

  31. C11 稳定C13 P1 P1 P2 P2 P3 P3 WC11 WC13 结构C12 课程C21 P1 P1 P2 P2 P3 P3 WC12 WC21 P1 P2 P3 P1 P2 P3 1 1/3 1/7 3 1 1/5 7 5 1 0.649 0.278 0.073 0.1 0.25 0.65 P1 P2 P3 P1 P2 P3 0.2 0.4 0.4 0.25 0.45 0.3 同理有：

  32. C22 C31 C33 P1 P1 P1 P2 P2 P2 P3 P3 P3 WC22 WC22 WC33 C23 C32 师资B1 P1 P1 C11 P2 P2 C12 P3 P3 C13 WC23 WC33 WB1 P1 P2 P3 0.4 0.3 0.3 C11 C12 C13 0.2 0.7 0.1 P1 P2 P3 P1 P2 P3 0.4 0.3 0.3 0.2 0.7 0.1 P1 P2 P3 P1 P2 P3 0.5 0.3 0.2 0.2 0.5 0.3

  33. 教学B2 综合A C21 B1 C22 B2 C23 B3 WB2 WA 科研B3 C31 C32 C33 WB3 C21 C22 C23 B1 B2 B3 0.6 0.2 0.2 0.3 0.4 0.3 C31 C32 C33 0.3 0.3 0.4

  34. （四）进行层次总排序，并进行总排序的一致性检验（四）进行层次总排序，并进行总排序的一致性检验 • 过程是从下向上进行。 • 例如：在上例中： • 令：

  35. 则方案层对准则B1的权向量（各方案对准则B1的相对重要性、或者说用准则B1对各方案进行评价时各方案的相对重要性）为：则方案层对准则B1的权向量（各方案对准则B1的相对重要性、或者说用准则B1对各方案进行评价时各方案的相对重要性）为： • 则方案层对准则B2的权向量（各方案对准则B2的相对重要性、或者说用准则B2对各方案进行评价时各方案的相对重要性）为： • 则方案层对准则B3的权向量（各方案对准则B3的相对重要性、或者说用准则B3对各方案进行评价时各方案的相对重要性）为：

  36. 令： • 则方案层对总准则A的权向量（各方案对总准则A的相对重要性、或者说用总准则A对各方案进行评价时各方案的相对重要性）为： • 即方案2为相对较好方案。

  37. 总排序的一致性检验：

  38. 数据模型与决策案例(P525) Diane 遇到购买轿车的问题. 经过多次调查分析，Diane锁定如下三种品牌的二手车进行选择 Diane的选车准则有四个: (1) 价格; (2) 油耗 (3) 舒适性; (4) 式样

  39. 选最好的车 价格 油耗 舒适性 式样 雅 阁 土 星 雪佛兰 雅 阁 土 星 雪佛兰 雅 阁 土 星 雪佛兰 雅 阁 土 星 雪佛兰 1.建立问题的递阶层次结构模型

  40. 2. 构造两两比较矩阵及单排序

  41. 3. 层次总排序 土星是Diane的最佳选择

  42. 例 • 某企业需要就先进制造系统的开发应用作投资决策。有三种被选方案，方案综合效益评价的指标体系如下图所示。假定各被选方案的实施费用现值、直接财务收益现值以及对应于各战略效益指标的无量纲效用值如下表所示，试对各方案进行综合评价比选。 • 评价指标体系：

  43. 项目 符号 方案1 方案2 方案3 财务净现值 B -1000 -600 100 设计制造周期缩短 C1 0.83 0.61 0.35 生产柔性提高 C2 0.68 0.90 0.55 产品质量提高 C3 0.72 0.66 0.54 信心处理能力增强 C4 0.48 0.92 0.32 • 各被选方案的效益值表

  44. 综合效益最大 目标层A B1 B2 战略效益 直接财务效益 准则层B C11 C12 C13 C14 设计制造周期缩短 生产柔性提高 产品质量提高 信心处理能力增强 子准则层C P1 方案1 P2 方案2 P3 方案3 方案层 1．建立递阶结构层次模型

  45. C11 C13 P1 P1 P2 P2 P3 P3 WC11 WC13 C12 C14 P1 P1 P2 P2 P3 P3 WC12 WC14 P1 P2 P3 P1 P2 P3 1 1/3 1/5 1 1/2 1/3 3 1 1/4 2 1 1/3 5 4 1 3 3 1 0.627 0.28 0.093 0.528 0.332 0.140 P1 P2 P3 P1 P2 P3 1 3 1/2 1 5 1/3 1/3 1 1/5 1/5 1 1/7 2 5 1 3 7 1 0.23 0.648 0.122 0.188 0.731 0.081 2．子准则层对方案的排序 周期排序判断矩阵 柔性排序判断矩阵 • 质量排序判断矩阵 信息排序判断矩阵

  46. B2 B2 P1 C11 P2 C12 P3 C13 WB2 C14 WB2 A B1 B2 WC14 P1 P2 P3 C11 C12 C13 C14 1 5 9 1 2 3 1/2 1/5 1 6 1/2 1 2 1/3 1/9 1/6 1 1/3 1/2 1 1/4 0.056 0.188 0.756 2 3 4 1 0.16 0.278 0.467 0.095 B1 B2 1 1/2 2 1 0.667 0.333 净现值排序判断矩阵 • 战略效益排序判断矩阵 综合效益排序判断矩阵 • 当只有两个指标时可直接给出相对重要性。

  47. 3．层次总排序 战略效益总排序（战略效益对方案总排序）：

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