FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů

1. FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů APLIKOVANÁ MECHANIKA S T A T I K A Prof. Ing. Josef Jíra, CSc. Fakulta dopravní ČVUT Praha Na Florenci 25, Praha 1 Tel. 224 214 605 E-mail jira@fd.cvut.cz Prof. Ing. Josef Jíra, CSc. Přednáška 1.

2. FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika Přednáška 1.

3. Mechanika klasická ( Newtonova ) relativistická ( Einsteinova ) kvantová ( Planckova ) FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika Pro technika je důležité: ● umět problém dobře fyzikálně formulovat do matematického tvaru ● výsledek dobře fyzikálně vyložit, rozpoznat podstatné vlivy a tomu uzpůsobit řešení daného problému. Přednáška 1.

4. FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika 1. ZÁKLADNÍ POJMY Kontinuum je spojité prostředí, jehož vlastnosti lze popsat matematickými funkcemi. Těleso je souvislá množina geometrických bodů v trojrozměrném Euklidovském prostoru, tzn., že každé dva body tělesa lze spojit čarou, jejichž všechny body patří do tělesa. Těleso má vnitřní body (tzn., že existuje okolí, jehož všechny body patří do tělesa) a hraniční body (jakékoli okolí má body patřící do tělesa a body, které do tělesa nepatří ). Přednáška 1.

5. FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika Prostor je geometrické kontinuum, v němž hmota existuje. Lze v něm definovat délky [ m ] a jejich součiny. Euklidovský prostor prostor, kde metrika je definována jako vzdálenost dvou libovolných bodů A a B: kde jsou souřadnice bodů v trojrozměrném prostoru. Přednáška 1.

6. z z x y pravotočivý souřadnicový systém ( obvyklý ) levotočivý souřadnicový systém y x Kartézský souřadnicový systém FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika Poloha a pohyb hmotného objektu jsou vztaženy k souřadnicovému systému (SS). Obvyklý souřadnicový systém používaný v mechaniceje pravoúhlý, přímočarý, tzv. kartézský. Přednáška 1.

7. Hmotný objekt Hmotný bod bod s přiřazenou hmotností Hmotná křivka geometrické body křivky nahrazeny hmotnými body Hmotné těleso geometrické těleso, jehož objem je vyplněn hmotou FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika Hmota je ve fyzikálním smyslu všechno, co podléhá základním zákonům mechaniky. V klasické ( Newtonově ) mechanice se hmota řídí Newtonovými zákony. Mírou množství hmoty je hmotnost ( skalár ) [ kg ]. Hmotný objekt je geometrický objekt s přiřazenou hmotností. Podle velikosti a tvaru lze rozdělit hmotné objekty takto: Přednáška 1.

8. FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika Dokonale tuhé těleso je hmotné těleso, které se účinkem sil nedeformuje. Tuhá deska je hmotné těleso, jehož jeden rozměr je podstatně menší než druhé dva rozměry. tento rozměr je tloušťka desky t<a,b. Je zvláštním případem tuhého tělesa. b t a Čas je negeometrické kontinuum, v němž se vyskytuje hmota [ 1s ]. Přednáška 1.

9. FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika SÍLA = VEKTOR VEKTOR • Uspořádaná trojice reálných čísel, pro kterou je definována rovnost, součet a součin se skalárem. Značíme ho např. A nebo . • Vektor se znázorňujeúsečkou určité délky a určitého (orientovaného) směru. • Délkou (modulem) vektoru nazýváme jeho absolutní hodnotu • Nulové vektory mají absolutní hodnotu rovnou nule a směr neurčitý. • Radiusvektory jsou vektory s počátečním bodem v počátku souřadnic. • Jednotkové vektory mají absolutní hodnotu rovnou jedné. • Kolineární vektoryjsou rovnoběžné a touž přímkou. • Opačné vektory jsou si rovny, mají-li stejné délky a stejné (orientované) směry. Doc.Ing. Michal Micka, CSc. Přednáška 1.

10. z Az A Ay y Ax x FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika VYJÁDŘENÍ VEKTORU POMOCÍ SLOŽEK Průměty vektoru A do tří os soustavy souřadnic x,y,z dávají vektorové složky vektoru A, které se označují Ax, Ay, Az. Má-li počáteční, resp. koncový bod vektoru A souřadnice x1, y1,z1, resp. x2, y2, z2, platí Čísla Ax, Ay, Az se nazývají souřadnice vektoru A. Píšeme také Obdobně pro jednotkové vektory Vektor A můžeme tedy zapsat těmito způsoby: Absolutní hodnota (Pythagorova věta v prostoru) Přednáška 1.

11. z Az g b Ay y a Ax x FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika SMĚROVÉ KOSINY Úhly, které svírá vektor A s kladnými směry os souřadnic, dostaneme z tzv. směrových kosinů vektoru A Práce s vektory – viz vektorový počet Přednáška 1.

12. FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika Axiomy statiky A.1. Axiom o rovnováze sil Dvě síly a , které působí na tuhé těleso v jednom paprsku, mají stejnou velikost, ale jsou opačně orientovány, jsou navzájem v rovnováze (jejich účinek se ruší). Z axiomu o rovnováze sil plyne pro tuhá tělesa 1. Věta o posunu působiště síly: Účinek síly na tuhé těleso se nezmění, posune-li se její působiště po paprsku, v němž síla působí. !Tato věta neplatí pro netuhá ( tvárná ) tělesa! Stejně velké opačné síly působící v jednom paprsku Přednáška 1.

13. FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika A.2. Axiom o rovnoběžníku sil Výslednicí dvou různoběžných sil a je síla , jejíž vektor je určen úhlopříčkou rovnoběžníku, jehož stranami jsou vektor sil a . Grafickým znázorněním vektorového součtu sil je tzv. složkový obrazec. Složkový obrazec - nezáleží na pořadí skládaných vektorů Rovnoběžník sil Přednáška 1.

14. FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika 2. ÚČINKY SÍLY A DVOJICE SIL 2.1. Statický moment síly Definice statického momentu síly k bodu ( k momentovému středu): Vektorový součin polohového vektoru s počátkem v bodu S a koncem v působišti síly a vektoru síly nazveme moment síly k bodu S. Složky vektoru vyjádříme pomocí rozvoje determinantu Přednáška 1.

15. FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika kde jsou jednotkové vektory ve směru souřadných os, tedy Velikost momentu je Vektor směřuje na tu stranu, z níž se otáčení jeví kladné. Jednotkou je [ Nm, kNm ]. Dřívější definice:Statickým momentem síly F k libovolnému bodu A nazýváme součin velikosti síly F a kolmé vzdálenosti r0 paprsku síly od bodu A. Pravidlo pravé ruky (k určení směru a smyslu momentu) Přednáška 1.

16. O ( momentová osa ) Ms M0 e FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika Moment síly k ose(mimoběžné přímce ). Momentová osa je mimoběžná přímka, k níž moment vztahujeme. Velikost momentu síly k ose je skalár, daný smíšeným součinem jednotkového vektoru ve směru osy otáčení polohového vektoru , který má počátek kdekoli na ose otáčení a vektoru síly . [ Nm, kNm ] Přednáška 1.

17. FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika je-li jednotkový vektor, pak Velmi často bývá výhodné vypočítat statický moment síly k bodu nebo k ose tak, že vektor síly rozložíme na složky a sečteme jejich momenty k ose. Přednáška 1.

18. S FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika Momentová věta ( Varignonova ) Statický moment soustavy sil k bodu ( k ose ) je dán statickým momentem výslednice k témuž bodu ( k téže ose ). Důkaz: jsou 2 různoběžné síly v rovině ( mohou mít stejný průvodič ). Podle axiomu o rovnoběžníku sil Dle momentové věty platí proto musí platit Přednáška 1.

19. FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika 2.2. Dvojice sil Dvě stejně veliké rovnoběžné síly opačně orientované tvoří dvojici sil. Její moment k libovolnému bodu roviny je konstantní: ( h = rameno sil ) Důkaz: vyjádříme moment dvojice sil k bodu S Přednáška 1.

20. Smysl a směr vektoru dvojice sil FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika • Silové dvojici lze přiřadit • vektor umístěný v libovolném bodě roviny   (tzv. volný vektor ) • kolmý na rovinu dvojice sil • který má velikost • směřuje na tu stranu roviny, z níž se jeho otáčení jeví kladné Dvojici sil lze přemístit do libovolné jiné roviny, která je s původní rovinou silové dvojice rovnoběžná. Přednáška 1.

21. FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika 2.3. Redukce síly k bodu Redukcí síly rozumíme úlohu, která vyjadřuje statický účinek síly na daný bod tělesa. Výsledný účinek síly na bod( který neleží na paprsku této síly) je silový a momentový. Vedeme bodem S paprsek rovnoběžný s paprskem síly a na tento paprsek umístíme dvě síly - a . Obě síly splňují axiom o rovnováze dvou sil a původní silová soustava se vlastně nezměnila, neboť jsme přidali nulovou sílu. Potom síly - a tvoří silovou dvojici a zbývá síla + s působištěm v bodu S . Přednáška 1.

22. FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika • Účinek síly na bod S je pak • silový (posuvný) vyjádřený vektorem s působištěm v bodě S • momentový ( otáčivý ) určený statickým momentem • síly k bodu S Přednáška 1.

23. FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika Klasifikace silových soustav • Při vyšetřování silových účinků se používají následující termíny: • Soustava sil - rozumíme tím seskupení sil působících na hmotný objekt. • Svazek sil - síly působí v paprscích, které procházejí jedním bodem. • Obecná soustava sil - síly leží na paprscích, které neprocházejí jedním bodem (v prostoru např. mimoběžky). • Soustava rovnoběžných sil - paprsky sil jsou rovnoběžné, společný bod mají v nekonečnu. • Rovinná soustava sil - paprsky působících sil leží v jedné rovině. Přednáška 1.

24. FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika Základní úlohy řešení silových soustav Určení výsledného účinku soustavy sil Jedná se o nahrazení obecné soustavy sil soustavou sil s nejmenším počtem členů. Výsledkem skládání sil (proces nahrazování) je jediná síla, nazýváme ji výslednicí. Výsledkem je větší počet členů (2 mimoběžné síly), nazýváme jej výsledný účinek soustavy. Přednáška 1.

25. FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika Stanovení podmínek ekvivalence Znamená to nalezení takových 2 silových soustav, které mají při působení na totéž těleso stejný (ekvivalentní) účinek. Stanovení podmínek rovnováhy Znamená to nalezení takových 2 soustav sil, jejichž výsledný účinek je nulový. Tyto 3 základní úlohy se nazývají také geometrie sil. Přednáška 1.

26. F1 y F2 F3 0 x F4 0 F4 F2 F3 F1 FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů GEOMETRIE SIL ROVINNÁ SOUSTAVA SIL SVAZEK SIL V ROVINĚ OBECNÁ SOUSTAVA SIL V ROVINĚ Přednáška 1.

27. y Fy F b a x 0 Fx FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika SVAZEK SIL V ROVINĚ Výslednice rovinného svazku sil Svazek sil v rovině je soustava sil, které leží ve společné rovině a protínají se v jednom bodě. Proto nevyvozují řádný momentový účinek. Každá síla se rozloží pomocí směrových kosinů do složek ve směru souřadnicových os. V rovině platí Přednáška 1.

28. F2 F3 F1 y F4 F1 F2 Fr 0 x 0 F4 F3 FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika Složkový obrazec Přednáška 1.

29. FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika Určení výslednice Složky výslednice ve směru souřadnicových os dostaneme jako součet složek jednotlivých sil ve směru těchto os. velikost výslednice směrové kosiny výslednice Přednáška 1.

30. FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika Ekvivalence v rovinném svazku sil V případě rovinného svazku sil se jedná o nahrazení známé soustavy sil v rovině (resp. její výslednice) dvěma silami působícími v daných paprscích protínajících se v jednom bodu. Za počátek souřadnicového systému lze opět zvolit průsečík těchto paprsků a řešíme proto pouze rovnost výslednic sil. V případě rovinného svazku lze sílu rozložit jednoznačně jen do dvou směrů. Přednáška 1.

31. FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika Rovnováha v rovinném svazku Rovinný svazek sil je v rovnováze, když její výsledný silový účinek je nulový. Dostačují dvě součtové podmínky rovnováhy: Svazek sil, který není v rovnováze, uvedeme do rovnováhy přidáním maximálně dvou sil. Opět v případě svazku sil pouze součtové podmínky rovnováhy. V rovnováze sil musí být výsledný silový účinek nulový, tedy i složky výslednice musí se rovnat nule. Přednáška 1.

32. bi ai x y FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika OBECNÁ ROVINNÁ SOUSTAVA SIL Paprsky všech sil leží v jedné rovině, avšak obecně netvoří svazek sil, tj. nemají společný průsečík. Za souřadnicovou rovinu zvolíme xy. Provede se redukce síly v rovině k počátku souřadnic. Výsledkem je rovnoběžně posunutá síla tak, aby statický moment síly k bodu 0 byl roven Pro jednu sílu vyjádříme statický moment ve složkách síly takto Přednáška 1.

33. FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika Určení výslednice v rovinné soustavě sil Složky výslednice se dostanou opět jako součet složek všech sil v soustavě a výsledný moment jako součet momentových účinků všech sil k počátku souřadnic. Rozepsáno ve složkách • Výslednicí je • jediná síla v rovině xy • jediná silová dvojice , přičemž je vektor je kolmý na rovinu xy . Přednáška 1.

34. y Fr y0 x 0 x0 FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika Poloha výslednice se určí ze vztahu což odpovídá rovnici přímky Můžeme tedy určit dva body na osách x a y , kterými prochází přímka, na které výslednice leží: na ose x na ose y Přednáška 1.

35. FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika Rovnice pro výpočet výsledného účinku můžeme zapsat v maticovém tvaru kde Přednáška 1.

36. FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika Ekvivalence v obecné rovinné soustavě sil Hledáme velikosti sil v daných paprscích, které jsou ekvivalentní s výslednicí rovinné soustavy sil . Jsou jen 3 nezávislé podmínky ekvivalence a proto počet neznámých je 3 a matice je typu (3,3). kde a inverzí s podmínkou řešitelnosti Rozepsáno ve složkách Přednáška 1.

37. FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika Sílu v rovině lze rozložit nejvýše do 3 různoběžných směrů, které se neprotínají v jednom bodě. Lze zvětšovat počet momentových podmínek ekvivalence na úkor podmínek součtových, lze tedy napsat 3 momentové podmínky, které však musí být napsány ke 3 bodům neležícím na jedné přímce. Přednáška 1.

38. FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika Rovnováha v obecné rovinné soustavě sil Soustava rovinných obecných sil je v rovnováze, když její výsledný silový a momentový účinek je nulový. To je splněno za podmínky, že nulové jsou složky výslednice ve směru souřadnicových os a také výsledný moment k počátku souřadnic je nulový. V maticovém zápisu Jsou pouze 3 podmínky rovnováhy: 2 součtové ( lze je nahradit momentovými podmínkami ) a 1 momentová: Přednáška 1.