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Métodos de Demonstração. Método de Redução ao Absurdo Método de Indução Matemática. Método de Redução ao Absurdo. Um saco contém bolas do mesmo tamanho e do mesmo material, mas de três cores diferentes (brancas, pretas e vermelhas). Sabe-se que: - Existe, pelo menos, uma bola de cada cor;
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Métodos de Demonstração Método de Redução ao Absurdo Método de Indução Matemática
Método de Redução ao Absurdo Um saco contém bolas do mesmo tamanho e do mesmo material, mas de três cores diferentes (brancas, pretas e vermelhas). Sabe-se que: - Existe, pelo menos, uma bola de cada cor; - O número de bolas brancas é 5; - O número de bolas pretas é par. Extraindo ao acaso uma bola do saco, a probabilidade de ela ser branca é . Utilizando o método de redução ao absurdo, prove que, no saco, há, pelo menos, duas bolas vermelhas.
Método de Redução ao Absurdo Comecemos por indicar a hipótese e a tese. Hipótese: - Um saco contém bolas do mesmo tamanho e do mesmo material, mas de três cores diferentes (brancas, pretas e vermelhas). - Existe, pelo menos, uma bola de cada cor ; - O número de bolas brancas é 5; - O número de bolas pretas é par. - Extraindo ao acaso uma bola do saco, a probabilidade de ela ser branca é Tese: No saco, há, pelo menos, duas bolas vermelhas.
Método de Redução ao Absurdo • Queremos provar que: • se a hipótese é verdadeira então verifica-se a tese. • Vamos ver o que acontece se a tese for falsa, ou seja: “não existem pelo menos duas bolas vermelhas”. • Isso significa que existe uma bola vermelha (porque sabemos, por hipótese, que é uma das cores das bolas do saco). • Suponhamos então que existe uma única bola vermelha.
Método de Redução ao Absurdo Por hipótese, sabemos que: - O número de bolas brancas é 5; - Extraindo ao acaso uma bola do saco, a probabilidade de ela ser branca é Com estas duas informações podemos afirmar que o número de bolas no saco é 15 e que o número de bolas vermelhas e bolas pretas é 10. Sabemos que o número de bolas pretas é par (por hipótese). Se o número de bolas vermelhas for 1 então o número de bolas pretas seria 9, o que contradiz a hipótese. Assim, nas condições da hipótese, nunca poderíamos ter apenas uma bola vermelha no saco.
Método de Redução ao Absurdo • Num Teorema (propriedade que queremos demonstrar) temos Hipótese Tese (o que admitimos ser verdade) (o que queremos provar) Demonstrar um teorema é demonstrar que esta implicação é válida. O método de redução ao absurdo consiste em admitir que a tese é falsa e que a hipótese é verdadeira e, através de um raciocínio lógico, chegar a uma contradição (absurdo) com a hipótese, concluindo, então que a tese só pode ser verdadeira.
Método de Indução Matemática http://www.e-escola.pt/topico.asp?topico=5&ordem=6&canal=4 Mostrar que: • A propriedade se verifica para n=1 • Que a propriedade é hereditária.
Método de Indução Matemática Mostre por indução matemática que Para n=1 temos que Vamos provar agora que é hereditária: Admitindo que a propriedade se verifica para um certo nº natural igual a p, ou seja Vamos mostrar que a propriedade também se verifica para p+1, ou seja
Método de Indução Matemática Queremos mostrar que Então:
