Riflessioni sulla logica

1. Riflessioni sulla logica Castelmaggiore 6 marzo 2014

2. Di che cosa ci occuperemo noi? della LOGICA FORMALE intesa come studio delle inferenze deduttive con una mentalità e un simbolismo matematici

3. Compiti della logica • STUDIARE il nesso di conseguenza logica tra proposizioni, predisponendo delle tecniche per determinare quando la verità di una conclusione consegue necessariamente dalla verità delle premesse 2. DETERMINARE, date certe premesse, altre proposizioni che sono loro conseguenza logica.

4. LA DEDUZIONE un potente strumento di verifica della correttezza dei ragionamenti MA ANCHE un potente mezzo di ricerca come dimostrano le innumerevoli applicazioni alle scienze del ragionamento matematico

5. La logica si propone di realizzare il sogno leibniziano Un suo obiettivo come disciplina è quindi stabilire quali ragionamenti sono corretti e quali no e individuare dei “calcoli logici” che consentano di meccanizzare l’attività deduttiva e di “dominare” l’insieme delle conseguenze di un insieme di premesse, in modo da poter ragionare sulle teorie assiomatiche nel loro complesso

6. Una sola logica? Attualmente sono state sviluppate molteplici “logiche” che si propongono di studiare aspetti sempre più ampi dell’attività inferenziale

7. Le Caratteristiche dei Teste in particolare di quelli logica • Sono composti da • una sezione verbale, che verifica la comprensione linguistica • una parte matematica che verifica la capacità di risolvere problemiche richiedano ragionamento logico-matematico • Molto spesso vogliono verificare la capacità di utilizzare abilità acquisite per risolvere problemi nuovi cioè valutano la capacità di: • comprendere il significato preciso dei termini, di cogliere termini simili e analogie etimologiche • capire quale categoria mentale (causa – effetto, contrapposizione …) stabilisce il rapporto tra le coppie di parole • ritenere le informazioni appena lette, interpretarle • trarre delle conclusioni conseguenti e scartare conclusioni errate, arbitrarie o non rigorosamente giustificate Luca Mari (Ordinario scienza della misurazione alla LIUC)

8. QUALI CAPACITÀ PER I TEST DI LOGICA? La soluzione dei test di capacità logica richiede capacità di • concentrazione • analisi • sintesi • vagliare i dati forniti e di distinguere ciò che è possibile, necessario o logicamente inammissibile

9. ARGOMENTI • I INCONTRO: Uso dei connettivi Implicazioni logiche • II INCONTRO • Quantificatori • Negazione • III INCONTRO • Schemi di ragionamento • Successioni numeriche • IV INCONTRO • Sillogismi • Condizione necessaria e sufficiente

10. UN ESEMPIO EMBLEMATICO DI LOGICA PROPOSIZIONALE • Il beffardo mago Atlante ha rinchiuso in un castello fatato Angelica, l’intelligente principessa cinese. • Angelica è confinata in una stanza con cinque porte contrassegnate UNO, DUE, TRE, QUATTRO, CINQUE • davanti a ciascuna porta sta un aiutante di Atlante, con il contrassegno della porta ricamato sul cappello. • La principessa sa che quattro mentono sempre e uno solo dice la verità. • Dietro la porta dei mentitori c’è un drago, dietro la porta di chi dice la verità c’è la via di fuga. • Angelica riceve queste informazioni: • UNO dice che TRE, QUATTRO e CINQUE mentono • TRE dice che UNO O DUE dicono il vero • QUATTRO dice che TRE dice il vero Da quale porta deve uscire Angelica: UNO, DUE, TRE, QUATTROO CINQUE?

11. Come procedere? La prima cosa da fare è individuare la STRUTTURA DEL QUESITO Tralasciando tutti gli orpelli inutili il problema può diventare: DATE CINQUE PROPOSIZIONI, QUATTRO FALSE E UNA VERA, INDIVIDUARE QUELLA VERA Le tre indicazioni precedenti si possono rappresentare simbolicamente così • 1 = ¬ 3Λ ¬4Λ ¬5 (tre, quatto e cinque mentono) • 3 = 1 V 2 (uno o due dicono il vero) • 4 = 3 (tre dice la verità ) La simbologia che avvicina la logica alla matematica presenta vari vantaggi: • Riduce le ambiguità delle espressioni • Consente di “ calcolare la verità” di proposizioni composte a partire dalla verità delle proposizioni componenti

12. Risoluzione q.1 • La verità della 4 implicherebbe la verità della 3 , impossibile perché due proposizioni sarebbero vere • Quindi ¬4 e perciò ¬ 3 allora ¬ (1 V 2) = (per la prima legge di De Morgan) ¬ 1 Λ¬ 2 • Poiché ¬ 1 allora ¬ (¬ 3 Λ ¬4 Λ¬5 ) = per la 2° legge di De Morgan ¬(¬ 3) V ¬(¬ 4 )V ¬(¬5)= 3V4V5 • Per la tavola di verità la disgiunzione inclusiva lè vera se almeno una delle proposizioni è vera • 3 è falsa, 4 è falsa, allora 5 sarà vera.

13. Un quesito della prova d’ingresso della facoltà di Medicina del 1999 • Marco: ”Giorgio suona il sassofono meglio di tutti, è lui il campione del nostro gruppo” • Giorgio: ”Alessandro suona il sassofono meglio di tutti, è lui il campione del nostro gruppo” • Alessandro: ”Io non suono il sassofono meglio di tutti, non sono io il campione del gruppo” • Matteo: ”Io non suono il sassofono meglio di tutti, non sono io il campione del gruppo” • SE solo UNA di queste affermazioni è VERA, chi è il campione nel suonare il sassofono? A)  Marco B)  Giorgio C)  Alessandro D)  Matteo

14. Come procedere? In primo luogo proviamo a riscrivere le “frasi” nel modo seguente, del tutto equivalente a prima, ma molto più maneggevole: • “Giorgio èil campione” • “Alessandro èil campione” • “Alessandro non è il campione” • “Matteo non è il campione”

15. Che cosa è stato fatto? Per ciascuna affermazione è stato eliminato il nome di chi la pronuncia INFATTI sapere chi pronuncia una data affermazione non è un elemento rilevante per decidere se tale affermazione sia VERA o FALSA.

16. RISOLUZIONE q.2( principio di non contraddizione ) A questo punto, è essenziale notare la peculiarità logica dei 2 enunciati centrali evidenziati in rosso: Giorgio è il campione Alessandro è il campione Alessandro non è il campione Matteo non è il campione In che rapporto sono tra loro questi due enunciati? A condizione di riconoscerne la caratteristica fondamentale, la soluzione del quesito non è lontana. I due enunciati, infatti, sono contraddittori. • Il principio di non contraddizione prescrive che necessariamente uno deve essere VERO e l’altro FALSO (tertium non datur, cioè non è ammessa alcuna terza possibilità). In altre parole, delle due l’una:o Alessandro è il campione, o non lo è!

17. Risoluzioneq.2 • A questo stadio del ragionamento, noi in realtà non siamo in grado di dire con certezza quale dei due enunciati sia vero e quale falso, ma sappiamo con assoluta certezza che uno dei due enunciati è VERO. Sarà pertanto sufficiente risalire alla domanda all’inizio, che ci informa che dei 4 enunciati UNO SOLO è VERO… e ora noi sappiamo che è necessariamente uno dei due enunciati centrali. • Dunque, non sappiamo quale dei 2 enunciati centrali sia l’unico VERO dei 4, in compenso però la conclusione logica che possiamo trarne è che sono certamente FALSI il primo e l’ultimo enunciato, perché un solo enunciato dei 4 è vero ed è uno dei 2 centrali aventi Alessandro come soggetto.

18. SOLUZIONE • Dalla falsità del primo enunciato (“Giorgio è il campione”), segue chiaramente che Giorgio non è il campione. • Dalla falsità dell’ultimo enunciato, segue che Matteo è il campione (infatti è falso che non lo sia!).

19. UN ALTRO ESEMPIO Nel diario del giovane Andrea è scritto: “ Nonno Giorgio dice che quando era giovane ha attraversato l‘Oceano Atlantico a nuoto e che riusciva a battere in velocità le balene. Secondo me è una bugia “ Si dica che cosa si può dedurre correttamente dalla convinzione di Andrea. • Se nonno Giorgio riusciva a battere in velocità le balene, allora non ha attraversato l’Oceano Atlantico a nuoto. • Nonno Giorgio ha attraversato l’Oceano Atlantico a nuoto, ma non riusciva a battere in velocità le balene • Nonno Giorgio non ha attraversato l’Oceano Atlantico a nuoto, ma riusciva comunque a battere in velocità le balene • Nonno Giorgio non ha attraversato l’Oceano Atlantico a nuoto e non riusciva a battere in velocità le balene

20. RISOLUZIONE q.3 Ponendo p = ha attraversato a nuoto l’Oceano Atlantico q = batte in velocità il testo può essere rappresentato così ¬ ( p Λ q) = ¬ p V ¬ q per la legge di De Morgan, QUINDI

21. Risoluzione q.3 le quattro possibilità di risposta diventano q → ¬ p p Λ¬ q ¬ pΛq ¬ pΛ¬q ¬ p V ¬ q è sempre vera tranne quando entrambe le proposizioni sono false, quindi la proposizione che si può correttamente dedurre deve essere una tautologia SOLUZIONE: la risposta corretta è la a

22. Soluzione q.3

23. Quarto esempio( I legge delle inverse L’affermazione “ quando bevo troppo mi si gonfia lo stomaco” implica che A ) Non mi si gonfia lo stomaco pur avendo bevuto troppo B) A volte capita che non mi si gonfi lo stomaco pur avendo bevuto troppo C ) Se non mi si gonfia lo stomaco allora non ho bevuto troppo D) Se mi si gonfia lo stomaco allora vuol dire che ho bevuto troppo E) o bevo troppo o mi si gonfia lo stomaco.

24. RISOLUZIONE Ponendo p = bevo troppo e q = mi si gonfia lo stomaco Il testo del problema è : p → q • La soluzione si può certamente “ ricercare intuitivamente “ e forse questa, per chi ne è capace, risulta la strada più efficace. • Si può seguire la strada algoritmica, tradurre ogni risposta usando i relativi connettivi e ricercare attraverso le tavole di verità la tautologia • Consigliabile è applicare la prima legge delle inverse: se una proposizione è vera è vera anche la contro nominale cioè p → q allora ¬ q →¬p La risposta corretta è la C

25. Quinto esempio Da “ Chi dorme non piglia pesci = p →¬q dove P= dorme q = prende pesci quindi ¬ q = non prende pesci segue logicamente • Chi piglia pesci dorme . q→p • Chi piglia pesci non dorme q →¬p • Chi non piglia pesci non dorme ¬q→¬p • Chi non piglia pesci dorme ¬q → p • Nessuna delle altre alternative proposte

26. Sesto esempio( principio di non contraddizione • In un sacchetto ci sono alcune biglie: • Maria dice : nel sacchetto ci sono in tutto tre biglie e sono nere • Luca dice: Nel sacchetto ci sono due biglie nere e due biglie rosse • Giorgio dice: Nel sacchetto ci sono solo biglie nere. • Sapendo che uno solo dei tre ha mentito, quante biglie ci sono nel sacchetto? • A ) una • B ) due • C ) tre • D ) quattro • E ) non si possono determinare

27. Settimo esempio • In questa pagina c’è esattamente una affermazione falsa • In questa pagina ci sono esattamente due affermazioni false • In questa pagina ci sono esattamente tre affermazioni false • In questa pagina ci sono esattamente quattro affermazioni false • Quante affermazioni vere ci sono nella pagina? • A ) 0 • B ) 1 • C ) 2 • D ) 3 • E ) 4

28. Ottavo esempio • “Quando prende il treno, Carlo arriva sempre in ritardo a destinazione”. Quale delle seguenti affermazioni può essere dedotta dalla frase precedente? • Carlo non ha preso il treno, quindi è arrivato in ritardo • Carlo è arrivato in ritardo, quindi ha preso il treno • Carlo è arrivato in orario, quindi non ha preso il treno • Carlo è arrivato in orario, quindi ha preso il treno • Carlo non ha preso il treno, quindi è arrivato in orario

29. Nono esempio • Sara non piange di notte solo se Grazia la culla prima di dormire. Se questa affermazione è vera allora è sicuramente vera anche: • A) Se Sara piange di notte è perché Grazia non l’ha cullata prima di dormire • B ) Se Sara non piange di notte è perché Grazia non l’ha cullata prima di dormire • Se Grazia non culla prima di dormire Sara allora questa piange di notte • Se Grazia culla Sara prima di dormire allora Sara non piange di notte

30. Decimo esempio • Maria rimane a casa se Lorenzo va a ballare . Se è vera la precedente affermazione allora è sicuramente vera: • A) Se Maria è rimasta a casa , Lorenzo è andata a ballare • B ) Maria rimane a casa solo se Lorenzo va a ballare • C ) Se Maria non è rimasta a casa Lorenzo non è andato a ballare. • D) Se Lorenzo non va a ballare , Maria non rimane a casa