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Tema 10. Expresiones algebraicas (fraccionarias y radicales ). 1ª Parte. Fracciones algebraicas. Fracciones algebraicas. Valor numérico.

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tema 10
Tema 10

Expresionesalgebraicas (fraccionarias y radicales)

fracciones algebraicas valor num rico
Fracciones algebraicas. Valor numérico

El valor numérico de cualquier expresión algébrica se obtiene al sustituir las “letras” (indeterminadas en lenguaje matemático) por valores numéricos y efectuar las operaciones indicadas, y esta es una operación corriente en matemáticas:

Una expresión algebraica no es más que una combinación de números y letras ligados polos símbolos de operaciones matemáticas, como:

Cálculo de la superficie del círculo de radio 1

Solución de

x2+ 2x -3=0

Expresión

Valores de las indeterminadas

Valor numérico final

slide4

FRACCIONES ALGEBRAICAS

Como para cualquier expresión algebraica, el valor numérico de una expresión algebraica es el número que se obtiene cuando se sustituye cada una de las indeterminadas por un valor numérico, y se efectúan las operaciones.

Una fracción algebraica es un cociente de polinomios

EXEMPLOS:

Expresión

Valor de la indeterminada

Valor numérico final

Los tipos de fracciones algebraicas están ligados a los tipos de polinomios: en los no vamos a estudiar más que los cocientes de polinomios enteros, y preferentemente con una sola indeterminada.

Ejemplo 2

slide5

EJEMPLO 3:

Expresión

Valor de la indeterminada

Valor numérico final

Debe recordarse que el valor numérico de una expresión cambiará se cambiamos los valores asignados a las indeterminadas..

Tomemos por ejemplo

cambiemos los valores asignados a las “letras” y calculemos valores numéricos.

En ocasiones no es posible calcular este valor

No puede calcularse el resultado de una fracción de denominador nulo!

SUGERENCIA: Comprueba los resultados de la tabla utilizando una calculadora.

slide6

EXPRESIÓNS INDETERMINADAS.

Una raíz de índice par y radicando negativo como:

Se dice de una expresión que es indeterminada cuando su cálculo no es posible.

Contrariamente a lo que pudiera pensarse, no es una expresión indeterminada.

La raíz citada sí puede calcularse. De hecho, el problema de cálculo de las raíces cuadradas de números negativos ha originado una nueva clase de números, los números complejos, con los cuáles es posible calcular la raíz de cualquier índice de cualquier número.

Los matemáticos decidieron que las siguientes expresiones son expresiones indeterminadas:

La indeterminación 0/0 es en realidad un caso particular de la primera (k/0) y es la única con la que hemos de tratar aquí

Los números complejos, intuidos ya por Herón de Alejandría en el siglo I antes de Cristo, y popularizados por Gauss en el XVIII, originaron una rama especial de las matemáticas conocida cómo análisis complejo.

fracciones algebraicas equivalentes
Fracciones algebraicas equivalentes

La definición corriente de fracciones numéricas equivalentes establece que lo son aquellas cuyo valor coincide.

En general los valores coinciden, con todo existen valores que ofrecen discrepancias, ya que no se puede calcular el valor numérico de la fracción en ese caso.

En el caso de fracciones algebraicas eso significaría que su valor numérico debe ser lo incluso, para cualquier valor por el que se sustituya la indeterminada.

Consideremos las fracciones:

Si consideramos los valores numéricos de estas fracciones en distintos casos observamos

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Para evitar este problema se define la equivalencia de fracciones algebraicas como:

Obtención de fraccións equivalentes

El procedimiento para obtener fracciones algebraicas equivalentes es similar al procedimiento para obtener fracciones numéricas equivalentes: se multiplicamos o dividimos numerador y denominador de una fracción algebraicas por un mismo polinomio, obtendremos una fracción algebraica equivalente:

Entonces:

Multiplicando en cruz en:

UN EJEMPLO SENCILLO

Para obtener una fracción equivalente a:

Se tiene:

Comprobándose que efectivamente son equivalentes

Simplemente multiplicamos numerador y denominador por el mismo polinomio

slide9

Al efectuar las operaciones indicadas obtenemos::

SOLUCIÓN:

Factorizamosnumerador y denominador por el procedimiento más simple:

a) Resolviendo la ecuación:

Fracciones equivalentes

Simplificación de fracciones algebraicas

b) Utilizando la factorización de polinomios

La simplificación de fracciones consiste en lo contrario: en factorizarlas expresiones complejas, y suprimir los factores comunes a numerador y denominador

EJEMPLO:

Simplifiquemos la fracción:

slide10

Hacemos lo mismo con el denominador:

METODO 1

METODO II

Factores de

1 5 6

X+3

-3

-3

-6

1 2 0

X+2

-2

-2

1

0

Obtenemos:

Claro no es necesario factorizar empleando ambos métodos: con uno es suficiente.

En ocasiones podremos factorizar de forma aun más sencilla, si podemos utilizar igualdades notables

Fracciones equivalentes

Fracción simplificada

suma y diferencia de fracciones algebraicas
Suma y diferencia de fracciones algebraicas

SUMA

1.- Factorizamos denominadores:

Para efectuar una suma de fracciones algébricas procederemos básicamente al igual que para efectuar una suma de fracciones corrientes

1.- Factorizamos denominadores:

2.- Mínimo común múltiplo de los denominadores:

3.- Transformamos la expresión.

4.- Efectuamos la suma

Ejemplo:

slide12

2.- Mínimo común múltiplo de los denominadores:

Mínimo=(x-1)(x+2)(x+3)

Factores no comunes

Factores comunes elevados al mayor exponente

3.- Transformamos la expresión.

4.- Efectuamos la suma

slide13

DIFERENCIA (RESTA)

Dado que la diferencia no es sino la suma del opuesto, el procedimiento para efectuar una resta es el mismo que para efectuar una suma, igual que ocurría con las fracciones numéricas.

1.- Factorizamos denominadores:

2.- Mínimo común múltiplo de los denominadores:

3.- Transformamos la expresión.

4.- Efectuamos la resta

EJEMPLO:

1

2

4

3

producto y cociente
Producto y cociente

La regla para multiplicar fracciones algébricas es la misma que la regla del producto fracciones numéricas. Se multiplican los numeradores, que formarán el nuevo numerador, y por otra parte el denominador será el producto de los denominadores.

Análogamente al caso anterior, la división de fracciones algébricas es también idéntica a la división de fracciones numéricas. Se multiplican los dos extremos para obtener el nuevo numerador, y el producto de los medios los darán el denominador.

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Una expresión radical es una expresión que incluye una raíz. La raíz pode englobar varios términos o pode encontrarse en medio de la expresión.

Como podemos apreciar, esta definición es formalmente idéntica la todas las definiciones de valor numérico, con todo en el caso de las raíces, presenta una ambigüedad, ya que las raíces de índice par, con un valor numérico del radicando positivo ofrecerán dos resultados: un positivo y otro negativo.

Valor numérico de una expresión radical es lo que se obtiene cuando se sustituyen las indeterminadas por valores numéricos

Valor numérico cuando x=1 e y=2.

Cuando se nos pida el valor numérico de una raíz indicaremos el valor positivo, salvo petición explícita.

Sustituimos las indeterminadas los pones sus valores, efectuamos las operaciones y obtenemos:

Ejemplo:

Valor numérico cuando x=2 e y=3.

x=1

y=2.

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Obtención de expresiones radicales equivalentes.

La obtención de expresiones radicales equivalentes se rige por el incluso procedimiento que la obtención a obtención de radicales numéricos

RADICALES EQUIVALENTES

La equivalencia de radicales se vincula al valor numérico: podríamos decir que dos expresiones radicales son equivalentes se ambas tienen el mismo valor numérico

Ejemplo:

Esta definición presenta la ambigüedad anteriormente citada con respeto a los valores que se obtienen en raíces de índice par e impar.

Igualmente válida para expresiones radicales.

Debe tenerse en cuenta que al decir exponente del radicando nos referimos a este en su conjunto.

Abordaremos a continuación el problema de determinar la equivalencia de expresiones radicales y ver en que casos se presenta esta ambigüedad y como se resuelve..

En el caso de radicales complejos:

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Valor numérico y equivalencia

Con esto en cuenta podemos definir las expresiones radicales equivalentes cómo:

Formalmente:

Ambas son raíces equivalentes, como explicamos. Con todo la raíz de índice par siempre nos ofrecerá dos valores como resultado, mientras que la de índice impar solamente nos ha dar uno. A pesar de esto, mantenemos la definición de equivalencia, ya que uno de los resultados de la raíz par siempre coincide con el resultado del índice impar:

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Simplificación y redución de radicales

A simplificación y reducción son procedimientos para obtener radicales equivalentes más simple

Si se multiplican o dividen el índice y el exponente del radicando de una expresión radical por un mismo número se obtienen radicales equivalentes

Se basan en la propiedad:

Que pode escribirse igualmente:

EXEMPLOS:

Radicales equivalentes a

La obtención de radicales equivalentes pode hacerse de las dos maneras: multiplicando obtenemos una más compleja, dividiendo una más simple.

Simplificar radicales es obtener una expresión radical equivalente de menor índice.

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SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES

Exemplo:

La simplificación de radicales consiste en reducir al máximo mediante este procedimiento los exponentes del radicando y el índice de la raíz, dividiendo todos estos entre su máximo común divisor, de la misma forma que se hace con números.

MCD (12,6,8,2)=2

se realiza tomando cómo índice común el mínimo común múltiplo de los índices considerados, este se divide entre el índice de cada raíz y el resultado es el exponente del radicando:

REDUCIÓN A ÍNDICE COMÚN

Es un procedimiento previo a operaciones como la suma o la diferencia, o a la aplicación de propiedades que permiten la realización de operaciones como el producto o el cociente..

slide23

Introducir factores en una expresión radical

Explicaremos simplemente el procedimiento sin justificarlo:

En el ejemplo queremos introducir x2 dentro de la raíz

Para hacerlo debemos elevar el factor al índice de la raíz

Operamos las potencias

slide24

Extraer factores de una expresión radical

Explicaremos simplemente el procedimiento sin justificarlo:

Solo se pueden extraer factores elevados a exponentes mayores que el índice de la raíz

Se dividimos el exponente interior entre el radicando, el cociente nos dará el exponente que sale de la raíz, y el resto lo que queda en el interior

Podremos extraer factores x e y porque 5 y 7 son >3

No podemos extraer factores z: 2<3

7

3

5

3

1

2

2

1

Que escribiremos realmente

slide26

Las operaciones aritméticas con expresiones radicales son formalmente idénticas a las operaciones numéricas: las reglas que estudiamos para los números siguen siendo válidas para las operaciones con expresiones algébricas

1

El producto de las raíces es la raíz del producto

2

Recordemos estas reglas:

El cociente de las raíces es la raíz del cociente

Las estudiaremos con más detalle y veremos algunos casos particulares

3

La potencia de una raíz es igual a la raíz de la potencia

4

La raíz de una raíz es igual a la raíz de índice igual al producto de los índices

slide27

El resultado obtenido debe expresarse extrayendo todos los factores que se pueda:

1

El producto de las raíces es la raíz del producto

Ejemplo:

En ocasiones se nos presentará el producto de radicales de distinto índice

En este caso:

a=x3y

b=xy2

En estos casos habremos de reducir a índice común ambos radicales para efectuar luego el producto

Aplicando:

(n=2, que se omite)

Reordenando:

slide28

2

El cociente de expresiones radicales se realiza de la misma forma que el cociente de expresiones numérica

El cociente de las raíces es la raíz del cociente

EjEMPLO:

El resultado obtenido debe expresarse extrayendo todos los factores que se pueda, si es necesario debe racionalizarse la expresión

También aquí puede darse el caso de cociente de radicales con diferente índice, Procederemos de la misma forma: reduciremos a índice común y simplificaremos, a ser posible, la expresión resultante:

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3

Elevar una expresión radical la una potencia es el incluso que elevar el radicando al mismo exponente

La potencia de una raíz es igual a la raíz de la potencia

EJEMPLO:

aplicamos

Una vez introducida la potencia en el radicando operamos siguiendo las reglas de las potencias

y simplificamos la expresión radical extrayendo todos los factores posibles:

slide30

4

Igual que en los casos anteriores, es suficiente con aplicar la regla y simplificar la expresión resultante siempre que sea posible

La raíz de una raíz es igual a la raíz de índice igual al producto de los índices

Aplicamos:

EJEMPLO:

Estes cálculos pueden complicarse si los radicandos no son consecutivos,

En estos casos hemos de ir introduciendo todos los elementos intermedios bajo el último radical, para obtener finalmente el índice resultante:

Para introducir factores en la raíz deben elevarse al índice: la siete en este caso

slide32

La racionalización en expresiones radicales se realiza de la misma forma que en las expresiones numéricas. Su objeto es facilitar el cálculo de los valores numéricos en las expresiones radicales que incluyan cocientes

Si en el denominador hay una suma o una resta

Para eliminar raíces cadradas

Se multiplica numerador y denominador por el binomio conjugado del denominador :

Si en el denominador está presente una única raíz:

Operando:

Se multiplica numerador y denominador por esa raíz:

Se llama binomio conjugado al ligado por la operación contraria:

Conjugado de a+b a-b

de a-b a+b

Conjugado de

Operamos:

slide33

Raíces no cuadradas (de índice superior a dos)

Se multiplica el denominador por la raíz del mismo índice que el radicando elevado a las unidades que falten a la potencia del radicando para eliminar la raíz:

Para llegar a z3 necesito multiplicar por z

Para llegar a 53 necesito multiplicar por 52

Operando

En consecuencia, multiplico y divido por