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Bero-transmisio mekanismoak

Bero-transmisio mekanismoak. G. Beroa 3 mekanismoren bitartez transmititu daiteke:. KONDUKZIOA (Fourier-en legea) KONBEKZIOA (Newton-en hozketa-legea) ERRADIAZIOA (Stefan-Boltzman-en legea). T 2. Q. T 1. KONDUKZIOA Tenperatura eremua  =  (x,y,z,t )

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Bero-transmisio mekanismoak

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  1. Bero-transmisio mekanismoak

  2. G Beroa 3 mekanismoren bitartez transmititu daiteke: • KONDUKZIOA (Fourier-en legea) • KONBEKZIOA (Newton-en hozketa-legea) • ERRADIAZIOA (Stefan-Boltzman-en legea) T2 Q T1

  3. KONDUKZIOA • Tenperatura eremua  =  (x,y,z,t ) • Tenperatura gradientea Grad  = (/n) n z n • Grad  =   = (/x) i + (/y) j + (/z) k  x y Fourier-en legea : q = Q/A = - k (θ)   q = qx i+ qy j+ qz k= -[ kx ()  ] i - [ky ()  ] j - [kz ()  ] k

  4. Kondukzioaren ekuazio orokorra: qz+dz z qx qG qy qy+dy qx+dx y qG= elementuan barne garatutako beroa (W/m3) qz x Energia-balantzea eginez: dQsartu + dQgaratu = dQirten + dEmetatu dQsartu = qx dydz + qy dxdz + qz dxdy dQgaratu = qG dV dQirten = qx+dx dydz + qy+dy dxdz + qz+dz dxdy dEmetatu = cp /t dm =  dV cp /t

  5. qx dydz + qy dxdz + qz dxdy + qG dV = qx+dx dydz + qy+dy dxdz + qz+dz dxdy +  dV cp /t Fourier aplikatuz: qx = -k()/x Taylor-en seriean garatuz: qx+dx = qx + (qx/x) dx qx + [ (-k()/x) / x ] dx qG dV = [ (-k()/x) / x ] dxdydz + [ (-k()/y) / y ] dydxdz + [ (-k()/z) / z ] dz dxdy +  dV cp /t = [ -k() ] dV +  dV cp /t qG = [ -k() ] +  cp /t

  6. Hipotesiak: • materiale isotropoa K()x = K()y = K()z • propietate fisikoak konstanteak K() = K = Kte • qG = kte Kondukzioaren ekuazio orokorra k 2  + qG =  cp /t • 2  = laplaziarra: • Koordenatu kartesiarretan 2  = 2/x2 + 2/y2 + 2/z2 • Koordenatu zilindrikotan 2  = 1/r (r/r)/r + 1/r2  2/2 + 2/z2 • Koordenatu esferikotan 2  = 1/r2 (r2/r)/r + ...

  7. z y x • 2  = laplaziarra: • koordenatu kartesiarrak 2  = 2/x2 + 2/y2 + 2/z2

  8. 2  = laplaziarra • koordenatu zilindrikoak 2  = 1/r (r/r)/r + 1/r2  2/2 + 2/z2  z r 2  = laplaziarra: koordenatu esferikoak 2  = 1/r2 (r2/r)/r + 1/(r2senΦ) (senΦ/Φ)/ Φ + 1/(r2sen2Φ) 2/2 r Φ 

  9. Pareta laua bero garapenik gabe Condukzioaren ekuazio orokorra a 2  + qG/  cp = /t Tenperatura eremua • =  ( x,y,z,t ) /t = 0 Errejimen egonkorra p1 λ  =  ( x,y,z ) y z p2 x Bero garapenik gabe qG = 0 L λ 2  = 0 a 2  = 0

  10. Pareta laua bero garapenik gabe Grad  =   = (/x) i + (/y) j + (/z) k Grad  =   = (/x) = d/dx  =  ( x ) Fluxu dimentsiobakarrekoa z y x

  11. Fluxu dimentsiobakarrekoa Laplaziarra 2  = 2/x2 = d2/dx2 λ2  = 0 2  = d2/dx2 = 0 q 1 d/dx = C1 (x) (x) = C1 x + C2 → Lerro zuzena 2 x L

  12. C1 eta C2 integrazio konstanteak ingurune-baldintzak aplikatuz askatzen dira: 1. ing. bald.: x = 0  = 1 2. ing. bald.: x = L  = 2 1 1.i.b.: 1 = C1· 0 + C2 →C2 = 1 (x) 2.i.b.: 2 = C1·L + 1 →C1 = (2 - 1) / L 2 x Tenperatura-distribuzioa q L (x) = 1 + (2 - 1) x / L

  13. Fourier-en legea aplikatuz: qx = - λ = - λ d/dx = - λ[ (2 - 1) / L ] = λ / L · ( 1 - 2 ) = kte

  14. Pared plana sin generación interna de calor Ejercicio pared simple En un almacén frigorífico la temperatura superficial interior es de -20 ºC. Sobre la pared metálica se desea colocar una aislamiento plástico rígido de conductividad térmica 0.03 W / m K. Una de las paredes del almacén, con un área transversal de 100 m2, tiene una ganancia de calor por transmisión de 2 kW, Si el aire exterior tiene una temperatura de rocío de 15 ºC, cálcúlese el espesor del aislamiento mínimo para que no se produzcan condensaciones superficiales en la cara exterior del aislamiento. λ = 0.03 W / m K θe = 15 ºC Despreciando la resistencia térmica que supone la pared metálica dada su alta conductividad, y considerando régimen estacionario y flujo unidimensional: θi = -20 ºC λ2  = 0 x d/dx = C1 (x) = C1 x + C2 e

  15. Pared plana sin generación interna de calor x Condiciones de contorno: 1. cond. contorno: x = 0  = -20 ºC 2. cond. contorno: x = e  = 15 ºC 1.c.c.: -20 = C1· 0 + C2 C2 = -20 e 2.c.c.: 15 = C1·e - 20C1 = 35 / e Aplicando Ley de Fourier: Q = q · A = - λ ·A= - λ d/dx · A= - λ 35/e · A e = - λ 35 · A/ Q = - 0.03 · 35 · 100 / -2000 = 0.0525 m = 5.25 cm

  16. Pared plana sin generación interna de calor Otras posibles condiciones de contorno Cond. Contorno de 2ª especie: Flujo de calor conocido x = 0, L qx = q Cond. Contorno de 3ª especie: Contacto con fluido x = 0, L qx = qconvección q qconvección 2(x) λ1 x L1

  17. Pared plana sin generación interna de calor Cond. Contorno de 4ª especie: Contacto con otra capa x = 0, L qx = qconducción superficie 2 - λ1 1x = - λ2 2x q1 q2 2(x) 1(x) λ1 λ2 x L1 L2

  18. Analogia elektrikoa Ohm-en legea Fourier-en legea I = V2-1 / R q = 2-1 / (L / λ ) L / λ= erresistentzia termikoa 2-1 = potentzial termiko diferentzia R= erresistentza elektrikoa V2-1 = Potentzial elektriko diferencia I = flujo de carga eléctrica q = Flujo de calor R ( m2 º C / W ) pareta lauaren erresistentzia termikoa I 1 2 q V1 V2 k L R

  19. Ejercicio resuelto por analogía eléctrica En un almacén frigorífico la temperatura superficial interior es de -20 ºC. Sobre la pared metálica se desea colocar una aislamiento plástico rígido de conductividad térmica 0.03 W / m K. Una de las paredes que tiene un área transversal de 100 m2 tiene una ganancia de calor por transmisión de 2 kW, Si el aire exterior tiene una temperatura de rocío de 15 ºC, cálcúlese el espesor del aislamiento mínimo para que no se produzcan condensaciones superficiales en la cara exterior del aislamiento. Considerando que λpared metálica >> λaislamiento→ Rpared metálica << Raislamiento: λ = 0.03 W / m K θe = 15 ºC q q θe = 15 ºC θi = -20 ºC θi = -20 ºC x Rpared metálica Raislamiento Raislamiento = (θe - θi ) / q = (15 –(-20)) / (2000/100) = 1.75 ºC/Wm2 e Raislamiento = L / λ→ L = Raislamiento · λ = 1.75 · 0.03 = 0.0525 m

  20. Pareta konposatua Kondukzioaren ekuazio orokorra, errejimen egonkorrean, fluxu unidimentsionala eta bero garapenik gabe: λ 2  =0 Geruza bakoitzarentzat: λi2 i = 0 1 2 i = d2i/dx2 = 0 y λ2 λ1 λ3 di/dx = C1 z 4 i(x) = C1 x + C2 → Recta x n geruzen kasuan 2n integrazio konstante sortuko dira ( C1,…., C2n ) eta askatzeko 2n ingurune baldintza beharko dira L3 L1 L2

  21. Pared plana sin generación interna de calor • 1. mailako 2 ingurune baldintza: q1 q2 q3 1. i.b.: x = 0  = 1 2. i.b.: x = L1+L2+L3+…Ln  = n+1 1(x) 2(x) λ2 λ1 • 1. mailako n-1 ingurune baldintza: 3(x) λ2 x 3. i.b.: x = L1 1(x) = 2(x) . . n+1. i.b.: x = L1+L2+L3+…Ln-1 n-1 (x) = n (x) L3 L1 L2 • 4. mailako n-1 ing. bald.: n+2. i.b.: x = L1 q(x)1 = q(x)2 . . 2n. i.b.: x = L1+L2+L3+…Ln-1 q(x)n-1 = q(x)n 2n ekuazio-sistema garatzen da 2n ezezagunekin

  22. Geruza bakoitza banaka aztertuz: • Fourier aplikatuz 1. geruzan: q1 q2 q3 q = - (2- 1) / (L1/λ1) → 1 - 2= q · L1/ λ1 2(x) 1(x) λ2 • Fourier aplikatuz 2. geruzan: λ1 q = - (3- 2) / (L2/λ2) → 2 - 3= q · L2/ λ2 . . 3(x) λ2 L3 L1 L2 Ln • Fourier aplikatuz n. geruzan: q = - (n+1- n) / (Ln/λn) → n - n+1= q · Ln/ λn 1- n+1= q · ( L1/ λ1 + L2/ λ2 …+ Ln/ λn ) q = ( 1- n+1 ) / ( L1/ λ1 + L2/ λ2 +…..+ Ln/ λn ) R pareta konposatuaren erresistentzia termikoa

  23. 2(x) 3(x) Analogia elektrikoa λ1 λ5 λ2 λ3 λ4 1(x) L3 L4 L5 L1 L2 Zirkuito elektriko baliokidea: R3 R5 R4 R1 R2

  24. Pareta konposatuaren analogia elektrikoa λ1 1 R2 R3 λ2 R1 λ3 q 4 q L1 L2 L3 q = ( 1 - 4 ) / ( R1 + R2 + R3 ) R1 λ1 1 Q q λ2 R2 2 λ3 R3 L Q = ( 1 - 2 ) · ( 1/ R1 +1/ R2 + 1/ R3 ) Ri = Li / Aiλi

  25. Pared plana sin generación interna de calor Ejercicio pared compuesta Calcúlese el flujo de calor a través del muro de la figura A C D λA = 75 W / m K λB = 58 W / m K λC = 60 W / m K λD = 20 W / m K A = 2 m2 a θ1 = 500 ºC El circuito eléctrico equivalente será: B QC θ4 = 100 ºC QD QA a RC = LC / AcλC QB RA = LA / A λA RD = LD / A λD 20 40 25 RB = LB / ABλB cm

  26. Pared plana sin generación interna de calor Ejercicio pared compuesta Resolviendo el circuito: Q RC A C D R = RA + [ RB·RC / ( RB + RC ) ] + RD RD RA RC·RB / (RC + RB ) a θ1 = 500 ºC RB RA = LA / (A λA)= 0’2 / (A·75)= 0’00267/A ºC / W RB = LB / (ABλB )= 0’25 / [(A/2) 58] = 0’00862/A ºC / W B RC = LC / (AcλC )= 0’25 / [(A/2)·60] = 0’00834/A ºC / W θ4 = 100 ºC RD = LD / (A λD )= 0’4 / (A·20) = 0’02/A ºC / W a R = RA + [ RB·RC / ( RB + RC ) ] + RD = (1/A)·[0’00267+ [ 0’00862·0’00834 / (0’00862 + 0’00834) ] + 0’02 = 0’0269/A ºC / W Q = ( θ1 - θ4 ) / RD = ( 500 – 100 ) / (0’0269/A) = 29.730 W 20 40 25 cm

  27. Ejercicio Una nave industrial de 100 m x 25 x 5 m tiene unas pérdidas de calor por transmisión a través de los muros de 100 kW. La composición de los muros es de ladrillo macizo de 25 cm y conductividad térmica 1 W / m K y enfoscado de yeso de 2 cm de espesor y conductividad 0,93 W / m K. Si la temperatura superficial exterior de los muros es de -1 ºC, calcúlese la temperatura superficial interior. Para reducir las pérdidas de calor a través de muros en un 50 %, se pretende instalar un aislamiento de fibra de vidrio de conductividad 0,095 W / m K mediante planchas que se adosarán al enfoscado de yeso sujetándolas por medio de un tabique de ladrillo macizo de 10 cm de espesor y conductividad 0,98 W / m K, que a su vez será revestido de un enlucido de yeso como el que tenía inicialmente. Calcúlese el espesor mínimo de aislante que será necesario instalar para conseguir dicha reducción en las perdidas por transmisión de calor a través de los muros, siendo la temperatura en el interior de la nave la calculada anteriormente.

  28. Lámina metálica Pino 15 cm 6 Fibra de vidrio 30 cm 2 Yeso Un techo raso como el de la figura está constituido con montantes de madera y aislamiento de fibra de vidrio entre ellos. El interior del techo raso está enyesado y en el exterior se colocó una lámina metálica delgada. Calcúlese el flujo de calor por unidad de área de techo si la temperatura superficial exterior es de -10 ºC y la superficial interior de 20 ºC. λ fibra de vidrio = 0,035 W / m K λyeso = 0,814 W / m K λpino = 0,15 W / m K

  29. Pared plana sin generación interna de calor Ejercicio pared compuesta θse = -10 ºC Lámina metálica 15 Pino 2 θsi = 25 ºC Fibra de vidrio 30 cm 6 Yeso λ fibra de vidrio = 0,035 W / m K λyeso = 0,814 W / m K λpino = 0,15 W / m K

  30. Pared plana sin generación interna de calor Ejercicio pared compuesta Se coloca una capa de ladrillo refractario de 5 cm de espesor entre dos placas de acero de 0,6 cm. Las caras de la capa de ladrillo adyacente a las placas son asperas, por lo que el contacto sólido con sólido es de sólo el 30% del área total, con una altura promedio de las asperezas de 0,08 cm. Si las temperaturas superficiales de las placas de acero son de 93 ºC y 427 ºC respectivamente, determínese el flujo de calor por unidad de área. D A = 2 m2 θ4 = 100 ºC λ ladrillo = 1,731 W / m K λacero = 51,93 W / m K λaire = 0,0346 W / m K θ1 = 500 ºC 20 40 25 cm

  31. Pared plana con generación interna de calor Ecuación general de la conducción a 2  + qG/  cp = /t Campo temperaturas • =  ( x,y,z,t ) /t = 0 Régimen permanente 1 z  =  ( x,y,z ) qG y 2 λ2  + qG = 0 x L

  32. Pared plana con generación interna de calor Grad  =   = (/x) i + (/y) j + (/z) k Grad  =   = (/x) = d/dx  =  ( x ) Flujo unidimensional z y x

  33. Pared plana con generación interna de calor 2 qG 1 x L Flujo unidimensional Laplaciana 2  = 2/x2 = d2/dx2  λ2  + qG = 0 λ 2  + qG = λ d2/dx2 + qG = 0 Q d2 /dx2 = -qG / λ d/dx = -qG·x / λ + C1 (x) = -qG·x2 / 2 λ + C1 x + C2

  34. Pared plana con generación interna de calor (x) Las constantes de integración C1 y C2 se calculan aplicando las condiciones de contorno: 1.cond. de contorno: x = 0  = 1 2. cond. de contorno: x = L  = 2 1 2 qG x Q 1.c.c.: 1 = -qG ·02/2 λ + C1· 0 + C2 C2 = 1 L 2.c.c.: 2 = -qG ·L2 /2 λ + C1·L + 1 C1 = (2 - 1) / L + qG L /2λ Distribución de temperaturas en la pared (x) = -qG· x2 / 2 λ + (2 - 1) x / L + qG x L /2λ + 1 = (x) = 1 + (2 - 1) x / L + qG· x (L-x) / 2 λ (Parábola invertida)

  35. Flujo de calor a través de la pared Pared plana con generación interna de calor Aplicando ley de Fourier: qx = - λ = - λ d/dx = - λ[ (2 - 1) / L + qG (L / 2 – x) / λ ] Para x = 0 q0 = λ(1 - 2) / L - qG L / 2 Para x = L qL = λ(1 - 2) / L + qG L / 2 qx q0 qL x max → d/dx =0 → q = 0 Plano adiabático Flujo total de calor que sale (entra) de la pared por conducción: x q = qL + Iq0I = qG · L Q = qG · L · A = qG · V

  36. Pared plana con generación de calor qL = λ(1 - 2) / L + qG L / 2 q0 = λ(1 - 2) / L - qG L / 2 Si qG = 0→ q0 = (1 - 2) / R Pared sin generación → qL > 0 sale calor Si qG > 0 (fuente)→ Si qG L / 2 < (1 - 2) / R→ q0 > 0 entra calor Si qG L / 2 > (1 - 2) / R→ q0 < 0 sale calor q0 Si qG < 0 (sumidero)→ → q0 > 0 entra calor qL Si qG L / 2 < (1 - 2) / R→ qL > 0 sale calor Si qG L / 2 > (1 - 2) / R→ qL < 0 entra calor x

  37. Pared plana con generación interna de calor (x) Caso particular: 1 = 2 = p p p qG x Q L 1.c.c.: p = -qG ·02/2 λ + C1· 0 + C2 C2 = p 2.c.c.: p = -qG ·L2 /2 λ + C1·L + p C1 = qG L /2λ Distribución de temperaturas en la pared (x) = -qG· x2 / 2 λ + qG x L /2λ + p = (x) = p + qG· x (L-x) / 2 λ (Parábola invertida y simétrica)

  38. Flujo de calor a través de la pared Pared plana con generación interna de calor Aplicando ley de Fourier: qx = - λ = - λ d/dx = - λ[ qG (L / 2 – x) / λ ] = qG (x - L/2 ) Para x = 0 q0 = - qG L / 2 Para x = L qL = qG L / 2 q0 qL x

  39. Pared plana compuesta con generación de calor Para las capas sin generación interna de calor: λ1 2  =0 λi2 i = 0 λ2 2  =0 Para la capa con generación interna de calor: λ3 2  + qG= 0 λ1 λ2 λ3 1 q1 = - (2- 1) / (L1/λ1) qG qx = - λ2[ (3 - 2) / L2 + qG (L2 / 2 – x) / λ2 ] 4 q3 = - (4- 3) / (L3/λ3) L3 L1 L2

  40. Pared plana compuesta con generación de calor q1 = (1- 2) / (L1/λ1) (1) λ1 λ2 λ3 1 q212 = λ2(2 - 3) / L2 - qG L2 / 2 = q1 (2) q3 = q1 + qG L2 q223 = λ2(2 - 3) / L2 + qG L2 / 2 = q3 qG q3 = λ3 (3 - 4) / L3 = q1 + qG L2 (3) 4 Ordenando (1), (2) y (3): q1(L1/λ1) = (1- 2) (1) q1 (L2 / λ2) + qG L22 / 2λ2 = (2 - 3) (2) q1 (L3 / λ3) + qG L2· L3 / λ3 = (3 - 4) (3) L3 L1 L2 q1 ( L1 / λ1 + L2 / λ2 + L3 / λ3 ) + qG L2 ( L2 / 2 λ2 + L3/λ3) = (1 - 4) RT RG-3 q1 = (1 - 4) / RT - qG L2 ( RG-3 / R T )

  41. Pared plana compuesta con generación de calor Pared antes del sumidero/fuente: Pared después del sumidero/fuente: q3 = q1 + qG L2 q1 = (1 - 4) / RT - qG L2 ( RG-3 / R T ) q3 = (1 - 4) / RT - qG L2 ( RG-3 / R T -1 ) = (1 - 4) / RT + qG L2 ( R1-G / R T ) Pared compuesta sin generación Si qG = 0→ q1 = (1 - 4) / RT → λ1 λ2 λ3 1 4 L3 L1 L2

  42. Pared plana compuesta con generación de calor Pared antes del sumidero/fuente: Pared después del sumidero/fuente: q1 = (1 - 4) / RT - qG L2 ( RG-3 / R T ) q3 = (1 - 4) / RT + qG L2 ( R1-G / R T ) Si qG > 0 (fuente) → q3 > 0 sale calor Si qG L2 ( RG-3 / R T ) < (1 - 4) / RT → q1 > 0 entra calor 1 2 3 1 Si qG L2 ( RG-3 / R T ) > (1 - 4) / RT → q1 < 0 sale calor qG 4 L3 L1 L2

  43. Pared plana compuesta con generación de calor Pared antes del sumidero/fuente: Pared después del sumidero/fuente: q1 = (1 - 4) / RT - qG L2 ( RG-3 / R T ) q3 = (1 - 4) / RT + qG L2 ( R1-G / R T ) Si qG < 0 (sumidero) → Si qG L2 ( R1-G / R T ) < (1 - 4) / RT → q3 > 0 sale calor → q1 > 0 entra calor 1 Si qG L2 ( R1-G / R T ) > (1 - 4) / RT → q3 < 0 entra calor 2 3 1 4 qG L3 L1 L2

  44. Pared plana sin generación interna de calor Ejercicio pared compuesta Un almacén industrial de 9x9 m2 en planta se mantiene en invierno a 21 º C mediante un conjunto de emisores que disipan un total de 8.500 kcal/h. Determínese la temperatura interior de las paredes del almacén si se sustituye este sistema de calefacción por una fuente de calor igual 5.600 kcal/hm3 distribuida uniformemente en el suelo y ocupando toda su superficie. λ loseta = 2,5 kcal/ h m K λcapa nivelación = 0,8 kcal/ h m K λfuente = 14 kcal/ h m K λ aislante = 0,03 kcal/ h m K λcapa antivapor = 1 kcal/ h m K C forjado = 1,43 kcal/ h m2 K θexterior = 0 ºC loseta 3 cm capa nivelación 2 2 fuente de calor aislante 3 3 capa antivapor forjado θsuelo = 8 ºC

  45. El suelo se trata de una pared plana compuesta con generación de calor: θext = 0 ºC Qtecho Qsuelo = qsuelo · Asuelo Qparedes Qparedes-techo = (i - ext) / Rparedes-techo Qsuelo loseta 3 cm capa nivelación 2 2 fuente de calor aislante 3 3 capa antivapor forjado qsuelo = (i - suelo) / RT - qG LG ( RG-suelo / R T ) RT = ( 3/2,5 + 2/0,8 + 2/14 +3/0,03 +3/1 ) 10 -2 + 1/1,43 = 1,7677 K m2 h / kcal RG-suelo = ( 1/14 +3/0,03 +3/1 ) 10 -2 + 1/1,43 = 1,73 K m2 h / kcal

  46. Para calcular la resistencia térmica de paredes y techos consideramos el caso de suelo sin fuente de calor: θext = 0 ºC Q = 8.500 = Qsuelo + Qparedes-techo Qtecho Qparedes-techo = 8.500 - Qsuelo = (i - ext) / Rparedes-techo Qparedes Q Qsuelo = A suelo · qsuelo = (i - suelo) / Rsuelo Qsuelo loseta 3 cm capa nivelación 2 3 aislante 3 capa antivapor forjado Rsuelo = ( 3/2,5 + 2/0,8 + 3/0,03 +3/1 ) 10 -2 + 1/1,43 = K m2 h / kcal Qsuelo = A suelo · qsuelo = 81 · (21- 8) / Rsuelo = 596,16 kcal/h Qparedes-techo = 8.500 – Qsuelo = 8.500 – 596,16 = 7.903,8 kcal/h Rparedes-techo = (i - ext) / Qparedes-techo = (21-0) / 7.903,8 = 0,002657 h K / kcal

  47. Volviendo al caso de suelo con fuente de calor: θext = 0 ºC Qsuelo = qsuelo · Asuelo Qtecho Qparedes-techo = (i - ext) / Rparedes-techo Qparedes Qsuelo IQsuelo I= Qparedes-techo λ qsuelo = (i - ext) / (Asuelo ·Rparedes-techo)

  48. Pareta zilindrikoa bero-garapenik gabe z 2 1 Q r2 r1 Kondukzioaren ekuazio orokorra a 2  + qG/  cp = /t Tenperatura eremua • =  ( r,Φ, z ) /t = 0 Errejimen egonkorra r  =  ( r,Φ,z ) Bero-garapenik gabe qG = 0 λ 2  = 0 a 2  = 0

  49. Pareta zilindrikoa bero-garapenik gabe   = r(/r) + 1/r (/) + (/z) z Grad  =   = r(/r) = rd/dr  =  ( r ) Φ r Fluxu dimentsiobakarrekoa

  50. Fluxu unidimentsionala λ2  = 0 z Laplaziarra 2  = 1/r · (r/r)/r = 1/r · d(rd/dr)/dr 1 Q 1/r d(rd/dr)/dr = 0 d(rd/dr)/dr = 0 rd/dr = C1 →d/dr = C1/ r (r) = C1 lnr + C2 → exponentziala 2 r r2 r1 1.ing. baldintza: r = r1  = 1 2. ing. baldintza: r = r2  = 2

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