1-6 角动量

1-6 角动量 1. 经典力学中的角动量

总角动量M的三个分量Mx, My, Mz等于

2 角动量算符

3 对易规则(commutation rules) 即

相互对易的算符具有共同的本征函数系 ，物理量A和B可同时测定，具有确定值a和b. 证明: 若, 设因此, 也是算符的本征函数, 最多相差一个常数. 即上式表明也是算符的一个本征函数.

4. Hamilton算符与角动量的对易规则

5. 角动量的本征函数 令、的共同本征函数 Y = Y(,) = S() T() 本征方程

角动量阶梯算符方法 (The Ladder-operator method for angular momentum) 1 角动量升降算符（raising and lowering operators）也称为升算符产生算符降算符消灭算符

对与角动量共同的本征函数Y, 有 升算符作用上式有 (4.43)

类似地可推得 (4.44) 即升算符对Y每作用一次，使得其波函数变为上一级本征值的本征函数。类似地，对降算符有： (4.45) (4.46)

即升降算符作用角动量本征函数获得的本征值、本征函数为：即升降算符作用角动量本征函数获得的本征值、本征函数为： Ladder

(4.47) (4.48) 是的共同本征函数。实际上，可相互对易。

阶梯算符产生的Mz的本征值是否存在上限、下限？解法一阶梯算符产生的Mz的本征值是否存在上限、下限？解法一已知M2, Mz的本征值通式：证明：

阶梯算符产生的Mz的本征值是否存在上限、下限？阶梯算符产生的Mz的本征值是否存在上限、下限？解法二设 (4.49) (4.50) 类似的本征方程有 (4.51)

结合(4.48)式，有 (4.52) 对应一个非负的本征值，因此 (4.53)

bk存在一个极大值bmax与极小值bmin. 即 用升算符作用(4.54)式有 (4.54) 显然，上式与bmax为极大值矛盾，若上式成立，必有 (4.55)

降算符作用(4.55)式有 (4.56)

类似推导可得 (4.57) (4.58) (4.56)－(4.58) 得 (4.59) 把上式看作bmax的一个二次方程式，求解有 (5.60)

第二个根不合理，故 bmax = -bmin (4.61) 由阶梯算符作用本征函数的Mz的本征值有

(4.63) 由(4.56), (4.58)有 (4.64) 整数j对应于角动量M2, 分数j对应于自旋角动量S2。

电子自旋 1. 自旋角动量算符的对易关系假设自旋角动量算符都是Hermite算符，且具有与轨道角动量相同的对易规则（非相对论量子力学关于自旋的第一假设）。

单电子情况 (4.65) (4.66) (4.67)

多电子体系 (4.68) (4.69)

总电子自旋有相同的对易规则 （4.70） (4.71) 自旋角动量本征方程 (4.72) (4.73) 上式中S为多电子体系的总自旋量子数，Ms 为S沿z轴的分量。

2．单电子自旋算符的本征函数和本征值 对于单电子，和的本征态只有两个，以和表示。 (4.74) (4.75)

s或ms都叫做单电子的自旋量子数。ms =1/2的态叫做上自旋态(spin-up state), ms =-1/2的态叫做下自旋态(spin-down state). 电子自旋的取向

自旋态的正交归一性质 <|> =1, <|> = 1 <|> = <|> = 0 (4.76) ——非相对论量子力学关于自旋第二假设

3．电子自旋的升降算符 (4.77) (4.78) 可以证明： (4.81) (4.82)

4. Pauli自旋矩阵 令 |1>=|>, |2>=|> , 计算自旋算符的矩阵元求的矩阵表示 (4.83)

同理可求得其它表示矩阵 (4.84) (4.85)

Pauli算符与Pauli矩阵 (4.86) (4.87)

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