Mécanique des Structures

1. INSA – IFCI CP GC Mécanique des Structures Torseur de cohésion Vincent BLANCHOT vincent.blanchot@insa-toulouse.fr Fevrier 2012

2. Objet du chapitre Détermination et identification des sollicitations dans les poutres. Diagrammes associés. • Sommaire du chapitre 2.1. Expression du torseur des efforts intérieurs 2.2. Dénomination des composantes de ce torseur 2.3. Diagrammes de sollicitation 2.4. Application : tir à la corde 2.5. Application : potence de perceuse

3. Définition générale Le torseur des efforts intérieurs représente les actions de cohésion au niveau de la section de la poutre. Il rend compte de l’état et du niveau de sollicitation d’une section. • Vocabulaire Torseur des efforts intérieurs = Torseur de cohésion = Torseur de section

4. E = E1 U E2 (S) G O z Partie amont y x 2.1. Expression du torseur des efforts intérieurs 2.1.1. Coupure artificielle E1 E2 Partie aval Figure 2.1 : Représentation de la coupure artificielle

5. 2.1. Expression du torseur des efforts intérieurs 2.1.1. Coupure artificielle Equilibre de l’ensemble E : PFS Puisque E = E1 U E2 : Figure 2.1 : Représentation de la coupure artificielle Soit :

6. (S) E1 E2 G O z Partie amont y Partie aval x 2.1. Expression du torseur des efforts intérieurs 2.1.1. Coupure artificielle Figure 2.2 : Poutre séparée artificiellement en 2 par la coupure en G

7. La liaison entre E2 et E1 est un encastrement. 2.1. Expression du torseur des efforts intérieurs 2.1.2. Equilibre de l’amont (E1) Bilan des actions mécaniques sur E1 : • partie des actions mécaniques extérieures sur E1 : • actions de E2 sur E1 à travers la section (S).

8. 2.1. Expression du torseur des efforts intérieurs 2.1.2. Equilibre de l’amont (E1) Définition du torseur des efforts intérieurs : • Le torseur des actions mécaniques de E2 sur E1 est appelé torseur des efforts intérieurs ou torseur de cohésion ou encore torseur de section. C’est en effet cette liaison (les efforts et moments qu’elle transmet) qui assure la cohésion des deux éléments E1 et E2 de la poutre E. • Le choix de prendre les actions de la partie aval E2 sur la partie amont E1 est une convention. Il dépend donc du choix de l’orientation fait précédemment !!!

9. Résultante du torseur des efforts intérieurs Moment du torseur des efforts intérieurs 2.1. Expression du torseur des efforts intérieurs 2.1.2. Equilibre de l’amont (E1) PFS appliqué au tronçon de poutre E1 : D’où la relation suivante du torseur des efforts intérieurs :

10. 2.1. Expression du torseur des efforts intérieurs 2.1.3. Equilibre de l’aval (E2) Bilan des actions mécaniques sur E2 : • partie des actions mécaniques extérieures sur E2 : • actions de E1 sur E2 à travers la section (S).

11. Résultante du torseur des efforts intérieurs Moment du torseur des efforts intérieurs 2.1. Expression du torseur des efforts intérieurs 2.1.3. Equilibre de l’aval (E2) PFS appliqué au tronçon de poutre E2 : D’où la relation suivante du torseur des efforts intérieurs :

12. 2.1. Expression du torseur des efforts intérieurs 2.1.3. Bilan et règle de calcul Par convention, le torseur des efforts intérieurs est le torseur des actions mécaniques de l’aval sur l’amont (ici E2 sur E1). Il s’exprime au point G et peut donc se calculer de 2 manières : • en passant par l’amont (voir 2.1.1) • en passant par l’aval (voir 2.1.2) Synthèse :

13. 2.1. Expression du torseur des efforts intérieurs 2.1.3. Bilan et règle de calcul Le torseur des efforts intérieurs évolue en fonction de la position du point G qui peut bouger. On peut être amené à considérer plusieurs coupures pour une même poutre, en particulier lorsqu’on rencontre : • une discontinuité d’ordre géométrique (changement de direction de la ligne moyenne), cas d’une poutre en équerre par exemple, • une discontinuité liée à des efforts concentrés ou à une liaison.

14. Z Y X 2.2. Dénomination des composantes du torseur de section 2.1.3. Repère global et repère local Une fois le torseur des efforts intérieurs calculé, il est intéressant de l’exprimer dans le repère local à la section droite. • Conventions du repère local : • origine sur la fibre moyenne, en G, • est porté par la fibre moyenne de la poutre.

15. Repères locaux z D x y G C x y z G Z Z z Y Y y Repère global G x B X X A 2.2. Dénomination des composantes du torseur de section 2.1.3. Repère global et repère local Figure 2.3 : poutre dans l'espace, repère global et repère local

16. 2.2. Dénomination des composantes du torseur de section 2.1.3. Composantes du torseur de section Expression du torseur des efforts intérieurs dans le repère local : Nom des composantes :

17. 2.2. Dénomination des composantes du torseur de section 2.1.3. Composantes du torseur de section Partie 1 Partie 2

18. 2.3. Diagrammes de sollicitation Ils consistent à tracer l’évolution de chacune des composantes du torseur de section en fonction de la position de la coupure en G. Intérêt : localiser la section la plus sollicitée (voir applications) On démontre les relations suivantes entre les diagrammes d’effort tranchant et de moment de flexion : Elles permettent de vérifier les résultats !!!!

19. 2.4. Application : tir à la corde 2.4.1. Présentation du problème, modélisation 2 équipes de 7 joueurs Figure 2.4 : tir à la corde au pays basque

20. y FA=1kN FB=1kN FC=1kN FD=1kN FE=1kN FF=1kN FH=1kN x Simplification du modèle par symétrie 1 m 1 m 1 m 1 m 1 m 1 m 1 m A B C D E F H 2.4. Application : tir à la corde 2.4.1. Présentation du problème, modélisation O

21. y FA=1kN FB=1kN FC=1kN FD=1kN FE=1kN FF=1kN FH=1kN x 1 m 1 m 1 m 1 m 1 m 1 m 1 m 7 discontinuités (7 forces ponctuelles) 7 torseurs de section à exprimer : OA – AB – BC – CD – DE – EF – FH A B C D E F H 2.4. Application : tir à la corde 2.4.2. Torseur des efforts intérieurs • Nombre de coupures O

22. y Partie amont Partie aval FA=1kN FB=1kN FC=1kN FD=1kN FE=1kN FF=1kN FH=1kN x 1 m 1 m 1 m 1 m 1 m 1 m 1 m Rappel : Le plus judicieux A B C D E F H 2.4. Application : tir à la corde 2.4.2. Torseur des efforts intérieurs • Torseur de cohésion entre F et H (soit 6<x<7) O G

23. Calcul par l’aval : 2.4. Application : tir à la corde 2.4.2. Torseur des efforts intérieurs • Torseur de cohésion entre F et H (soit 6<x<7) Bilan des actions mécaniques extérieures sur le tronçon GH : seulement la force FH au point H

24. Résultante du torseur de cohésion : car la distance GH est parallèle à la force 2.4. Application : tir à la corde 2.4.2. Torseur des efforts intérieurs • Torseur de cohésion entre F et H (soit 6<x<7) Moment en G du torseur de cohésion : 2 méthodes de calcul - Calcul vectoriel : - Calcul algébrique :

25. 2.4. Application : tir à la corde 2.4.2. Torseur des efforts intérieurs • Torseur de cohésion entre F et H (soit 6<x<7) Finalement on a pour le torseur de cohésion entre F et H (6<x<7) : • Commentaires : • Le tronçon FH est soumis à un effort normal N = 1000N. • N>0 c’est donc de la traction d’une intensité de 1000N.

26. y Partie amont Partie aval FA=1kN FB=1kN FC=1kN FD=1kN FE=1kN FF=1kN FH=1kN x 1 m 1 m 1 m 1 m 1 m 1 m 1 m Rappel : Le plus judicieux A B C D E F H 2.4. Application : tir à la corde 2.4.2. Torseur des efforts intérieurs • Torseur de cohésion entre E et F (soit 5<x<6) O G

27. 2.4. Application : tir à la corde 2.4.2. Torseur des efforts intérieurs • Torseur de cohésion entre E et F (soit 5<x<6) Calcul par l’aval : Bilan des actions mécaniques extérieures sur le tronçon GH : • toujours la force FH au point H • et en plus la force FF au point F

28. car les bras de levier sont // aux forces 2.4. Application : tir à la corde 2.4.2. Torseur des efforts intérieurs • Torseur de cohésion entre E et F (soit 5<x<6) Résultante du torseur de cohésion : Moment en G du torseur de cohésion : 2 méthodes de calcul - Calcul vectoriel : - Calcul algébrique :

29. 2.4. Application : tir à la corde 2.4.2. Torseur des efforts intérieurs • Torseur de cohésion entre E et F (soit 5<x<6) Finalement on a pour le torseur de cohésion entre E et F (5<x<6) : • Commentaires : • Le tronçon EF est soumis à un effort normal N = 2000N. • N>0 c’est donc de la traction d’une intensité de 2000N.

30. y FA=1kN FB=1kN FC=1kN FD=1kN FE=1kN FF=1kN FH=1kN x O 1 m 1 m 1 m 1 m 1 m 1 m 1 m A B C D E F H 2.4. Application : tir à la corde 2.4.2. Torseur des efforts intérieurs • Synthèse des 7 torseurs de cohésion Chaque tronçon de corde entre 2 joueurs n’est donc pas sollicité de la même manière.

31. Figure 2.9 : diagramme de sollicitation en traction 2.4. Application : tir à la corde 2.4.3. Diagrammes de sollicitation Seule la composante d’effort normal est non nulle. Diagramme d’effort normal :

32. FC = 100N B C 600 mm 600 mm 800 mm 800 mm Y A X 2.5. Application : potence de perceuse 2.5.1. Présentation du problème, modélisation Support de perceuse constitué de 2 profilés alu montés en équerre modélisation 10 kg Figure 2.10 : potence de perceuse Figure 2.11 : support perceuse, modélisation

33. Potence encastrée en A Déterminons ses réactions Force ponctuelle en C : Encastrement en A : Soit sous la forme d’un torseur : 2.5. Application : potence de perceuse 2.5.2. Réaction de liaison • Bilan des actions mécaniques Le problème est plan !

34. Résultante : Moment en A : 2.5. Application : potence de perceuse 2.5.2. Réaction de liaison • PFS

35. Vectoriellement : = + 2.5. Application : potence de perceuse 2.5.2. Réaction de liaison • PFS Calcul de

36. Ainsi : 2.5. Application : potence de perceuse 2.5.2. Réaction de liaison • PFS • Algébriquement : • le moment est suivant Z • le bras de levier de A à C est égal seulement à la distance BC car la distance AB est parallèle à la direction de la force • le moment tourne de Y vers X, sens anti trigo donc le moment est négatif Calcul de FC = 100N B C d 800 mm Y A X MA,Fc Figure 2.12

37. 2.5. Application : potence de perceuse 2.5.2. Réaction de liaison • Torseur des actions mécaniques de l’encastrement en A FC = 100N B C 800 mm Y 60 Nm A X 100 N

38. 1 discontinuité géométrique 2 torseurs de section à exprimer : entre AB et entre BC 2.5. Application : potence de perceuse 2.5.3. Torseur des efforts intérieurs • Nombre de coupures B C FC = 100N Y A X

39. Repère local à la poutre BC : (B, x, y, z) y x B C FC = 100N Repère local à la poutre AB : (A, x, y, z) x Y A X y Repère global (A, X, Y, Z) 2.5. Application : potence de perceuse 2.5.3. Torseur des efforts intérieurs • Repères

40. Calcul par l’aval : • Résultante du torseur de cohésion : 2.5. Application : potence de perceuse 2.5.3. Torseur des efforts intérieurs • Torseur de cohésion entre B et C Repère local à la poutre BC : (B, x, y, z) amont aval y x B C G(x) x • Bilan des actions mécaniques ext sur la partie aval : • Seul la force FC agit sur l’aval, en C FC = 100N A Figure 2.14

41. Calcul par l’aval : 2.5. Application : potence de perceuse 2.5.3. Torseur des efforts intérieurs • Torseur de cohésion entre B et C Repère local à la poutre BC : (B, x, y, z) amont aval y x B C G(x) x FC = 100N • Moment en G du torseur de cohésion : Calcul vectoriel : A Figure 2.14

42. Calcul par l’aval : d 2.5. Application : potence de perceuse 2.5.3. Torseur des efforts intérieurs • Torseur de cohésion entre B et C Repère local à la poutre BC : (B, x, y, z) amont aval y x B C G(x) x FC = 100N • Moment en G du torseur de cohésion : Calcul algébrique : A Figure 2.14

43. Torseur de cohésion entre B et C, dans le repère local 2.5. Application : potence de perceuse 2.5.3. Torseur des efforts intérieurs • Torseur de cohésion entre B et C Repère local à la poutre BC : (B, x, y, z) amont aval y x B C G(x) x FC = 100N Flexion simple suivant z A Figure 2.14

44. Calcul par l’amont : 2.5. Application : potence de perceuse 2.5.3. Torseur des efforts intérieurs • Torseur de cohésion entre A et B Repère local à la poutre AB : (A, x, y, z) B C aval G(x) FC = 100N x amont x y A Figure 2.15

45. Rappel dans le repère global (A, X, Y, Z) : Soit dans le repère local (A, x, y, z) : 2.5. Application : potence de perceuse 2.5.3. Torseur des efforts intérieurs • Torseur de cohésion entre A et B Repère local à la poutre AB : (A, x, y, z) • Bilan des actions mécaniques sur la partie amont : • Seul l’encastrement en A agit sur l’amont B C aval G(x) FC = 100N x amont x Y y A X Figure 2.15

46. Calcul par l’amont : • Résultante du torseur de cohésion : 2.5. Application : potence de perceuse 2.5.3. Torseur des efforts intérieurs • Torseur de cohésion entre A et B Repère local à la poutre AB : (A, x, y, z) B C aval G(x) FC = 100N x amont x Y y A X Figure 2.15

47. Calcul par l’amont : • Moment en G du torseur de cohésion : 2.5. Application : potence de perceuse 2.5.3. Torseur des efforts intérieurs • Torseur de cohésion entre A et B Repère local à la poutre AB : (A, x, y, z) B C aval FC = 100N G(x) x amont x Y y A X Figure 2.15

48. Flexion pure autour de z Effort normal : N 2.5. Application : potence de perceuse 2.5.3. Torseur des efforts intérieurs • Torseur de cohésion entre A et B Repère local à la poutre AB : (A, x, y, z) B C aval FC = 100N G(x) Torseur de cohésion entre A et B, dans le repère local x amont x y A En passant par l’aval, on obtiendrait la même chose Figure 2.15

49. Entre A et B : Entre B et C : 2.5. Application : potence de perceuse 2.5.3. Torseur des efforts intérieurs • Bilan des torseurs y x B C FC = 100N x y A Figure 2.15

50. Entre A et B : Entre B et C : 2.5. Application : potence de perceuse 2.5.4. Diagrammes de sollicitation