Proses Stokastik

1 / 17

# Proses Stokastik - PowerPoint PPT Presentation

Proses Stokastik. Semester Ganjil 201 3. f ( t ) = {.  e – t , t ³ 0 0, t < 0. t. Pr{ T £ t ) = ò.  e – u d u = 1 – e – t ( t ³ 0). 0. 1. E [ T ] =. . 1.  2. Sebaran Eksponensial. PDF. CDF. Mean. Variance. Var [ T ] =.

I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.

## PowerPoint Slideshow about 'Proses Stokastik' - malana

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript

### Proses Stokastik

Semester Ganjil 2013

f(t) = {

e –t, t³ 0

0, t < 0

t

Pr{T£t) = ò

e –u du = 1 – e –t (t³ 0)

0

1

E[T] =

1

2

Sebaran Eksponensial

PDF

CDF

Mean

Variance

Var[T] =

Sifat Utama: Memorylessness (Tanpa Ingatan)

Sifat Memoryless

• Digunakan pada beberapa bidang berikut:
• Reliabilitas:
• Lama waktu suatu komponen telah bekerja, tidak berpengaruh terhadap lama waktu sampai dengan kerusakannya.
• Waktu antar kejadian (Inter-event times):
• Waktu pelayanan (Service times):
• Waktu selesainya layanan tidak tergantung pada berapa lama layanan telah diberikan.

Pr{Ta + b | Tb} = Pr{Ta} a, b 0

Sifat Peubah Acak Eksponensial

Pr{T£ t ) = 1- e – t

= 1 – { 1 + (– t )+ (– t)x/x! ) }

Ketika t kecil maka, (– t)x0

=  t

Peubah acak Eksponensial adalah satu-satunya peubah dengan sifat ini.

Proses Mencacah (Counting Process)

Maka {X(t), t 0} harus memenuhi:

a) X(t)  0

b) X(t) adalah bilangan cacah untuk semua t

c)Jika s < t, maka X (s)  X(t) dan

Stasionieritas & Independent Increments

independent increments

Proses mencacah (counting process) mempunyai sifat independent incrementsjika untuk sembarang

0  s  t  u  v,

X(t) – X(s) saling bebas dengan X(v) – X(u)

stationary increments

Suatu counting processmempunyai stationary incrementsjika untuk sembarang s< t, sebaran bagi

X(t) – X(s)

tergantung hanya pada selang waktu t– s:

X(t – s)

Proses Poisson, Definisi 1

Suatu counting process{X(t), t  0} adalah proses Poisson dengan laju , > 0, jika

X(0) = 0

Proses tersebut mempunyai independent increments

Jumlah kejadian pada selang waktu t mengikuti sebaran Poisson dengan rata-rata t

Pr{ X(t+s) – X(s) = x} = Pr{ X(t) = x }

= (t)xe–t/x! , x = 0, 1, . . .

di mana adalah laju kedatangan dan

Proses tersebut juga mempunyai stationary increments

Proses Poisson Definisi 2

o(h): fungsi polinomial h, h→0, sedemikian sehinggao(h)→0

• Suatu counting process {X(t), t  0} adalah Poisson process dengan laju, > 0, jika
• X(0) = 0 dan proses tersebut mempunyai sifat stasioner dan independent increments
• Pr{X(h) = 0} = 1 - h + o(h): peluang bahwa tidak ada kejadian pada selang waktu h
• Pr{X(h) = 1} = h + o(h): peluang bahwa terdapat satu kejadian pada selang waktu h
• Pr{X(h) >1} =o(h): peluang bahwa terdapat satu atau lebih kejadian pada selang waktu h

Sifat-sifat tersebut diturunkan dari deret Taylor

X(t)

S1

S2

S3

S4

t

T1

T2

T3

T4

Waktu antar Kedatangan (Interarrival times) dan Waktu Tunggu (Waiting Times)

Waktu antar kedatangan T1, T2, … adalah peubah acak eksponensial yang saling bebas

dengan rata-rata 1/:

P(T1>t) = P(X(t) =0) = e -t

λ

Total waktu tunggu sampai dengan kejadian ke n mempunyai sebaran gamma

Contoh 1
• Kerusakan terjadi di sepanjang kabel bawah laut, dengan jumlah kerusakan yang mengikuti proses Poisson dengan laju =0.1 per mil.
• Berapa peluang bahwa tidak terdapat kerusakan pada dua mil pertama sepanjang kabel tersebut?

t: panjang kabel dari titik nol (mil)

Dengan syarat tidak terdapat kerusakan pada dua mil pertama kabel, berapa peluang bahwa tidak akan ada kerusakan pada mil kedua dan ketiga?

atau

Karena selang jarak antara 0 – 2 mil dan 2 – 3 mil tidak saling tumpang tindih

Contoh 2
• X(t): jumlah pelanggan yang datang pada suatu fasilitas umum adalah proses poisson dengan laju =2 pelanggan/jam
• Berapa peluang bahwa terdapat dua kedatangan pelanggan di dalam satu jam pertama setelah fasilitas tersebut buka?

t: waktu setelah jam buka (jam)

Berapa peluang bahwa terdapat dua kedatangan pelanggan pada satu jam pertama dan terdapat 6 kedatangan pelanggan pada 3 jam pertama setelah fasilitas buka?

• P(X(1) = 2 dan X(3) = 6)?
• Peluang tersebut dapat didefinisikan sebagai dua kejadian bebas
• Berdasarkan sifat kebebasan:

Dengan syarat 2 pelanggan datang pada satu jam pertama setelah buka, berapa peluang bahwa akan terdapat 6 pelanggan yang datang pada 3 jam setelah fasilitas buka?

• Dengan peluang bersyarat: