DOĞRUSAL PROGRAMLAMA

1. DOĞRUSAL PROGRAMLAMA Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

2. DOĞRUSAL PROGRAMLAMA Doğrusal programlama belli bir amacı gerçekleştirmek için sınırlı kaynakların etkin kullanımını ve çeşitli seçenekler arasında en uygun dağılımı sağlayan matematiksel bir tekniktir. İkinci Dünya Savaşı yıllarında askeri problemleri çözmek amacıyla geliştirilen bu teknik daha sonra en uygun (optimal) kaynak dağılım problemlerinin çözümünde yaygın olarak kullanılmıştır.

3. Doğrusal programlamanın temel varsayımı; Hem amacın bir doğrusal eşitlik hem de bu amacın gerçekleşmesini kısıtlayan şartların doğrusal eşitlik ya da doğrusal eşitsizliklerle ifade edilebilmesidir. Doğrusallık kavramı, doğrusal programlama probleminde yer alan değişkinler arasında sabit bir oransal ilişkinin olduğunu gösterir.

4. (5,15) (4,12) (3,9) (2,6) (1,3) y = 3x x ile y arasında doğrusal bir ilişki vardır.

5. (3,7) (4,6) (2,5) (5,4) (1,2) y = ?x x ile y arasında doğrusal bir ilişki yok.

6. Amaç fonksiyonu, matematiksel olarak formüle edilen ve ifade ettiği sayısal değerin en büyük ya da en küçük olarak gerçekleşmesini hedefleyen z = c1x1+c2x2+. . . +cnxn gibi bir doğrusal fonksiyondur. Bu fonksiyon şeklinde daha genel bir biçimde ifade edilebilir. ■ Amaç Fonksiyonu:

7. ■ Kısıtlılıklar: Bir doğrusal programlama probleminde amaç fonksiyonunun alabileceği değeri sınırlayan kısıtlılıklar ikiye ayrılır. 1. Kaynak Kısıtlılıkları; Bunlar temel sınırlılıklar olup probleme ilişkin mevcut kaynakları belirtirler. Bir problemde m tane kaynak kısıtlaması varsa bu kısıtlılıklar bir doğrusal eşitsizlik sistemi oluştururlar.

8. veya şeklinde daha genel biçimde ifade edilebilir. a11x1+a12x2+. . . A1nxn ≥b1 a21x1+a22x2+. . . A2nxn ≥ b2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . am1x1+am2x2+. . . amnxn≥bm a11x1+a12x2+. . . A1nxn ≤ b1 a21x1+a22x2+. . . A2nxn ≤ b2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . am1x1+am2x2+. . . amnxn ≤ bm veya Bu eşitsizlik sistemleri; 2. Negatif Olmama Kısıtlılığı; Doğrusal programlama problemlerinde yer alan değişkenler ( xi ler ) negatif değer alamazlar.

9. Doğrusal Eşitsizlik Sistemlerinin çözümü a11x1+a12x2+. . . a1nxn ≤ b1 a21x1+a22x2+. . . a2nxn ≤ b2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . am1x1+am2x2+. . . amnxn ≤ bm Şeklinde n tane bilinmeyeni m tane eşitsizliği olan sistemlere bir eşitsizlik sistemi denir. Bir eşitsizlik sisteminin çözümü diye her bir eşitsizliği sağlayan (x1,x2,…,xn) n-lileri kümesine denir. İki bilinmeyenli bir eşitsizlik sisteminin çözümü bir düzlemsel bölgedir.

10. Teorem: Bir doğrusal programlama probleminde en iyi çözüm varsa, bu çözüm, çözüm bölgesinin köşe noktalarından birinde veya birkaçında ortaya çıkar. Çözüm bölgesi sınırlı ise amaç fonksiyonunun hem maksimum hem de minimum değeri vardır. Başka bir deyişle, en iyi çözüm vardır. Çözüm bölgesi sınırsız ve amaç fonksiyonunun katsayıları pozitif ise, amaç fonksiyonunun minimum değeri vardır; fakat maksimum değeri yoktur.

11. Problem: (Üretim Planlaması) Bir mobilyacı tanesini 200 TL karla sattığı küçük boy masa ile, tanesini 300 TL karla sattığı büyük boy masa üretmektedir. Bir küçük masa 3 saatlik doğrama işçiliği ve 2 kg boya gerektirirken bir adet büyük masa 4 saatlik doğrama işçiliği ve 1kg boya gerektirmektedir. Mobilya atölyesi doğrama işi için günlük en çok 96 saat çalışabilmekte ve günlük en çok 44 kg boya kullanabilmektedir. Mobilyacı karını maksimize edebilmek için günlük kaç tane küçük boy, kaç tane büyük boy masa üretmelidir?

12. 3x+4y≤ 96 Doğrama işi kısıtlılığı 2x+ y≤ 44 Boya miktarı kısıtlılığı Kaynak kısıtlılığı Verilenleri bir tabloda özetleyelim. Küçük boy masalardan x, büyük boy masalardan y tane üretmek gereksin. Ayrıca üretilecek masa sayısı negatif olamayacağı için x≥0 y≥0 olmak zorundadır (negatif olmama kısıtlılığı). Amaç fonksiyonumuz: Zmax=200x+300y olur.

13. Amaç Fonksiyonu “zmax = 200x+300y fonksiyonunu 3x+4y≤ 96 2x+ y≤ 44 x≥ 0 y≥ 0 kısıtlamaları altında maksimize ediniz. Kaynak Kısıtlılıkları Karar Değişkenleri Negatif Olmama Kısıtlılıkları Problemimiz; olur zmax = 200x+300y 3x+4y≤ 96 2x+ y≤ 44 x≥0 y≥0

14. y 44 3x+4y=96 3x+4y=96 2x+ y=44 -8x-4y=-176 5x=80 x=16, y=12 K(16,12) 24 x (16,12) 22 32 3x+4y≤ 96 2x+ y≤ 44 x≥0 y≥0 Eşitsizlik sisteminin çözüm bölgesini bulalım. 3x+4y=96 ÇÖZÜM BÖLGESİ 2x+ y= 44

15. Çözüm Bölgesinin köşe noktaları içinz = 200x+300yamaç fonksiyonunun aldığı değerleri bulalım. zmax = 200.22=4400 TL (22,0) noktası için zmax = 300.24=7200 TL (0,24) noktası için zmax = 200.16+30012=6800 TL (16,12) noktası için Firmanın en çok kar elde edebilmesi için küçük boy masalardan hiç üretmeyip büyük boy masalardan 24 adet üretip satması gerekir.

16. Problem: (Üretim Planlaması) Bir firma iki ayrı bantta A ve B türü telsizler üretmektedir. 1 adet A türü telsiz üretmek için 1. bantta 3, 2. bantta 5 saat, 1 adet B türü telsiz üretmek için 1. bantta 4, 2. bantta 3 saatsüre gerekmektedir. Firmanın birinci bantta 61ikinci bantta 65saat iş kapasitesi vardır. Firma 1 adet A türü telsizden 300, 1 adet B türü telsizden 600 TL kar etmektedir. Ancak B türü telsizden 13 adetten fazla üretmek istememektedir. Bu kısıtlılıklar altında Firmanın maksimum kar edebilmesi için A ve B türü telsizlerden kaçar tane üretmelidir?

17. 3x+4y≤ 61 5x+3y≤ 65 0≤ y≤ 13 olur x≥ 0 kısıtlılıklar ise Çözüm: Firmanın maksimum kar etmesi için A türü telsizden x adet, B türü telsizden y adet üretmesi gereksin. Amaç fonksiyonu; zmax = 300x + 600y

18. 3x+4y= 615x+3y= 65 doğularının grafikleri; (7,10) (3,13) y 65/3 61/4 y= 13 ÇÖZÜM BÖLGESİ x 13 (0,0) 61/3 5x+3y=65 3x+4y=61

19. Çözüm bölgesinin köşe noktaları (15,0), (7,10), (3,13), (0,13) noktalarıdır. zmax = 300x+600y kar fonksiyonunun bu noktalardan hangisinde maksimum değerini aldığını bulalım . zmax = 300.15=4500 TL (15,0) noktası için zmax = 300.7+600.10=8100 TL (7,10) noktası için zmax = 300.3+600.13=8700 TL (3,13) noktası için zmax = 600.13=7800 TL (0,13) noktası için Firmanın maksimum kar elde edebilmesi için 3 adet A türü, 13 adet B türü telsiz üretmesi gerekir. Bu durumda maksimum karı 8700 TL olur.

20. Problem: (Üretim Planlaması) Bir fabrikada 2-kişilik ve 4-kişilik şişme botlar üretiliyor. Her bir 2-kişilik bot, kesim için 0.9 iş saati, dikim ve toplama için 0.8 iş saati ; her bir 4-kişilik bot, kesim için 1.8 iş saati, dikim ve toplama için 1.2 iş saati gerektiriyor. Aylık maksimum iş gücü, kesim bölümünde 864 iş saati, dikim ve toplama bölümünde 672 iş saatidir. Üretilen tüm botların satılacağına ve her bir 2-kişilik bottan 25 YTL , her bir 4-kişilik bottan 40 YTL kâr elde edileceğine göre, maksimum kâr için, her tür bottan kaç adet üretilmelidir?

21. Problemimiz; fonksiyonunu şeklini alır. Şartları altında maksimize ediniz. İki kişilik bottan x, 4 kişilik bottan y adet üretilsin. Z = 25x+40y YTL olur.

22. En iyi çözüm 0,9x+1,8y = 864 0,8x+1,2y = 672 Doğrularını çizelim. 0,9x1+1,8x2 = 864 0,8x1+1,2x2 = 672 P(480,240)=25.480+40.240=21600 480 adet 2-kişilik, 240 adet 4-kişilik bot ile 21600 TL maksimum kâr elde edilir.

23. Problem: (Üretim Planlaması) Bir imalatçı, A ve B türü olmak üzere iki tür çadır imal ediyor. Çadırlar, imalathanenin biçki bölümünde kesiliyor, dikiş bölümünde dikilip paketlenerek piyasaya veriliyor. A modeli çadırlardan her biri için biçki bölümünde 1 iş saati, dikiş bölümünde 3 iş saati, B modeli çadırlardan her biri için biçki bölümünde 2 iş saati, dikiş bölümünde 4 iş saati harcanıyor. Günlük toplam iş gücü, biçki bölümünde en çok 32 iş saati; dikiş bölümünde en çok 84 iş saatidir. A modeli çadırlardan her biri 50 TL, B modeli çadırlardan her biri de 80 TL kâr bıraktığına ve üretilen tüm çadırların satılacağı varsayıldığına göre, imalatçının günlük kârının maksimum olması için her tür çadırdan kaçar adet üretilmesi gerektiğini belirleyiniz.

24. Verilenleri bir tabloda özetleyelim.

25. Problemimiz; fonksiyonunu kısıtlılıkları altında maksimize ediniz.” A model çadırdan günde x adet, B model çadırdan yadet üretilsin. Bu durumda elde edilecek kâr: Z = 50x + 80y TL olur. olur

26. ÇÖZÜM BÖLGESİ Amaç fonksiyonunun maksimum değerini çözüm bölgesinin hangi noktasında aldığını belirlemeliyiz.

27. Çözüm bölgesinin köşe noktaları (28,0), (20,6), (0,16), noktalarıdır. zmax = 50x+80y kar fonksiyonunun bu noktalardan hangisinde maksimum değerini aldığını bulalım. zmax = 50.28 =1400 TL (29,0) noktası için zmax = 50.20+80.6 = 1480 TL (20,6) noktası için zmax = 80.16=1280 TL (0,16) noktası için Firmanın maksimum kar elde edebilmesi için 20 adet A türü, 6 adet B türü çadır üretmesi gerekir. Bu durumda maksimum karı 1480 TL olur.

28. ÖDEVLER 1. Problem: (Üretim Planlaması) Bir mobilyacı tanesini 600 TL karla sattığı küçük boy masa ile, tanesini 750 TL karla sattığı büyük boy masa üretmektedir. Bir küçük masa 3 saatlik doğrama işçiliği ve 4 kg boya gerektirirken bir adet büyük boy masa 6 saatlik doğrama işçiliği ve 3 kg boya gerektirmektedir. Mobilya atölyesi doğrama işi için haftada en çok 108 saat çalışabilmekte ve haftada en çok 126 kg boya kullanabilmektedir. Mobilyacı karını maksimize edebilmek için haftada kaç tane küçük boy ve kaç tane büyük boy masa üretmelidir?

29. 2. Problem: (Üretim Planlaması) Bir firma iki ayrı bantta A ve B türü telsizler üretmektedir. 1 adet A türü telsiz üretmek için 1. bantta 1, 2. bantta 3 saat, 1 adet B türü telsiz üretmek için 1. bantta 2, 2. bantta 4 saat süre gerekmektedir. Firmanın birinci bantta haftalık48 ikinci bantta 108 saat iş kapasitesi vardır. Firma 1 adet A türü telsizden 120, 1 adet B türü telsizden 175 TL kar etmektedir. Bu kısıtlılıklar altında Firmanın maksimum kar edebilmesi için A ve B türü telsizlerden haftada kaçar tane üretmesi gerekir?

30. 3. Problem: (Üretim Planlaması) Bir imalatçı, A ve B türü olmak üzere iki tür çadır imal ediyor. Çadırlar, imalathanenin biçki bölümünde kesiliyor, dikiş bölümünde dikilip paketlenerek piyasaya veriliyor. A modeli çadırlardan her biri için biçki bölümünde 3 iş saati, dikiş bölümünde 4 iş saati, B modeli çadırlardan her biri için biçki bölümünde 5 iş saati, dikiş bölümünde 3 iş saati harcanıyor. Günlük toplam iş gücü, biçki bölümünde en çok 135 iş saati; dikiş bölümünde en çok 114 iş saatidir. A modeli çadırlardan her biri 60 TL, B modeli çadırlardan her biri de 75 TL kâr bıraktığına ve üretilen tüm çadırların satılacağı varsayıldığına göre, imalatçının günlük kârının maksimum olması için her tür çadırdan kaçar adet üretilmesi gerektiğini belirleyiniz.