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1. Classificazione dei sistemi e dei modelli

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1. Classificazione dei sistemi e dei modelli. La teoria dei sistemi e del controllo si è sempre tradizionalmente occupata dei sistemi a variabili continue modellati da equazioni differenziali o alle differenze. Tali modelli sono tuttavia inadeguati nella descrizione dei sistemi man-made.

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1. Classificazione dei sistemi e dei modelli

La teoria dei sistemi e del controllo si è sempre tradizionalmente occupata dei sistemi a variabili continue modellati da equazioni differenziali o alle differenze.

Tali modelli sono tuttavia inadeguati nella descrizione dei sistemi man-made.

Sistemi dinamici i cui stati assumono diversi valori logici o simbolici in corrispondenza dell’occorrenza di eventi.

Es: processi produttivi, reti di trasporto, di comunicazione, etc.

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Es. di eventi: arrivo o partenza di un cliente, completamento di una lavorazione, guasto o riparazione di una macchina, trasmissione o ricezione di un insieme di dati, etc.

L’evoluzione nel tempo di tali sistemi è dettata dall’occorrenza degli eventi mentre i micro-cambiamenti che avvengono continuamente all’interno del sistema vengono ignorati.

Sistemi ad eventi discreti

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Un sistema la cui evoluzione è dettata sia dall’occorrenza di eventi discreti, sia dal trascorrere del tempo viene detto ibrido.

Sistemi ibridi

Sis. ad avanzamento temporale

Sis. ad eventi discreti

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Principi di base della teoria classica dei sistemi e del controllo

Nozione fondamentale sistema

Dizionario Webster: Un sistema è un’unità complessa formata da molte componenti, spesso diverse tra loro, soggette ad un piano comune o orientate verso un obiettivo comune.

Dizionario IEEE: Un sistema è una combinazione di elementi che cooperano per svolgere una funzione altrimenti impossibile per ciascuno dei singoli componenti.

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Per procedere ad un’analisi quantitativa di un sistema è indispensabile la formulazione di un modello formale che riproduca il comportamento del sistema.
  • Ogni sistema fisico è caratterizzato da un certo numero di variabili fisiche che evolvono nel tempo:
  • cause esterne al sistema ingressi del sistema
  • effetti uscite del sistema

u

y

S

S realizza la dipendenza degli effetti dalle cause esterne al sistema.

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Kw

u

m

y

K

b

Esempio: pantografo

Y: posizione di equilibrio di m

u: posizione di equilibrio del punto di contatto con la catenaria

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In generale l’uscita ad un dato istante di tempo dipende anche dalla storia del sistema.

Lo stato di un sistema all’istante di tempo 0 è la grandezza che contiene l’informazione necessaria in0 per determinare univocamente l’andamento dell’uscita y(), per   0, sulla base della conoscenza dell’andamento dell’ingresso u(),   0 e dello stato in 0.

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I sistemi ad eventi discreti

La ricerca nell’abito dei sistemi ad eventi discreti (SED) sta acquistando un ruolo sempre più rilevante nella comunità scientifica e ciò è una immediata conseguenza della crescente complessità dei sistemi creati dall’uomo.

La teoria dei SED si sta evolvendo ora in analogia alla teoria classica dei sistemi e del controllo  concetti di stabilità, controllabilità, osservabilità, etc.

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Un sistema ad eventi discreti è un sistema dinamico il cui comportamento è caratterizzato dall’occorrenza di eventi istantanei con un cadenzamento irregolare non necessariamente noto.

Alcuni sistemi sono intrinsecamente ad eventi e la risoluzione di un problema di controllo in questo caso consiste nella determinazione di una politica di gestione e di coordinamento degli eventi.

L’evoluzione in questo caso è asincrona ossia basata sui tempi di occorrenza degli eventi e non su una temporizzazione regolare.

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Definizione formale: Un SED è un sistema il cui comportamento dinamico è caratterizzato dall’accadimento asincrono di eventi che individuano lo svolgimento di attività di durata non necessariamente nota. Un SED è caratterizzato da:
  • insieme degli eventi E
  • spazio di stato X (insieme discreto)
  • evoluzione dello stato regolata dagli eventi
  • xk+1=(xk,ek) kN

funzione di transizione di stato

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Esempio: il sistema a coda
  • Un sistema a coda si basa su 3 componenti fondamentali:
  • le entità che attendono per poter utilizzare le risorse (clienti)
  • le risorse (servitori o serventi)
  • lo spazio in cui si attente (coda)

partenza clienti

arrivo clienti

coda

servitore

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I clienti possono essere: persone, veicoli di trasporto, messaggi, etc.

I serventi possono essere: persone, macchine, semafori, canali di comunicazione, etc.

Insieme degli eventi E={a,p}

a : evento di arrivo di un cliente

p : evento di partenza di un cliente

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a

a

a

0

1

2

3

p

p

p

Se scegliamo come variabile di stato il numero di clienti in coda

Spazio di stato X={0,1,2,…}=N

Il sistema a coda può venire rappresentato mediante il seguente grafo

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inizio

F

L

fine

rottura

riparazione

G

Esempio: macchina soggetta a guasti

  • X = {F (macchina ferma),
      • L (macchina che lavora),
      • G (macchina guasta)} spazio di stato
  • E = {inizio,fine,rottura,riparazione} spazio degli eventi
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s

l1

d

l2

s

s

s

s

d

d

d

d

Esempio: circuito elettrico

L’interruttore può ruotare a sinistra o a destra di 1/4 di giro.

Ci sono 4 possibili posizioni

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d

x1

x4

x1

s

x2

s

d

s

d

x3

d

x2

x3

x4

s

  • Possiamo individuare 3 insiemi:
  • X = {x1,x2,x3,x4} posizioni dell’interruttore
  • U = {s,d} rotazioni
  • Y = {l1,l2,b} condizioni delle lampade

Tale sistema può essere rappresentato mediante il seguente grafo.

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s,d

s,d

l1

l2

b

s,d

s,d

Se assumiamo l’insieme Y come spazio di stato, allora il sistema può essere rappresentato mediante il seguente grafo

l

Se poi volessimo addirittura limitarci a distinguere il buio dalla luce

s,d

s,d

b

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X

s

d

s

s

x4

x3

s

x2

x1

t

d

x1

x4

t1

t2

t3

t4

t5

s

s

d

s

d

d

x2

x3

s

A tale sistema possiamo anche associare una evoluzione temporale

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Modellazione di sistemi ad eventi discreti

Un modello ad eventi discreti è un modello matematico in grado di rappresentare l’insieme delle traiettorie (o tracce) degli eventi che possono essere generate da un sistema.

In generale l’insieme delle possibili traiettorie degli eventi è infinito, mentre il modello deve comunque essere finito.

A seconda del livello di astrazione con cui le diverse traiettorie possono venire rappresentate, i modelli vengono distinti in due diverse categorie:

Modelli logici e Modelli temporizzati

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Modelli logici

La traccia è una sequenza di eventi {e1,e2,e3…} in ordine di occorrenza. La traiettoria è allora la sequenza degli stati raggiunti {x0,x1,x2,…}.

Modelli temporizzati

La traccia è una sequenza di coppie {(e1,t1),(e2,t2),(e3,t3),...} in ordine di occorrenza. La traiettoria è ancora la sequenza degli stati raggiunti {x0,x1,x2,…}. In questo caso tuttavia conosciamo esattamente l’istante di tempo in cui ciascuno stato viene raggiunto.

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I modelli logici rendono agevole lo studio delle proprietà qualitative del sistema  analisi strutturale.

I modelli temporizzati permettono di studiare l’evoluzione temporale di un sistema  analisi prestazionale.

  • I modelli temporizzati possono essere:
  • deterministici (gli intervalli tra 2 eventi sono noti)
  • stocastici (gli intervalli sono variabili casuali)

Una trattazione analitica diventa estremamente complessa  simulazione

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Sistemi ibridi

Sistemi ad eventi discreti (SED)

Sistemi ad avanzamento temporale (SAT)

SAT a tempo discreto

SAT a tempo continuo

SED temporizzati

SAT a t. continuo lineari

SAT a t. discreto lineari

SED logici

SED deterministici

SAT a t. continuo non lineari

SAT a t. discreto non lineari

SED stocastici

ad