DANE INFORMACYJNE

2. DANE INFORMACYJNE • Nazwa szkoły: • ZESPÓŁ SZKÓŁ GOSPODARKI ŻYWNOŚCIOWEJ W GOŚCINIE • ID grupy: • 97_10_MF_G1 • Kompetencja: • MATEMATYCZNO-FIZYCZNA • Temat projektowy: • METODY KOMBINATORYCZNE W RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA • Semestr/rok szkolny: • DRUGI/2010/2011

3. Prezentacja zawiera wybrane zagadnienia z kombinatoryki i rachunku prawdopodobieństwa

4. KOMBINATORYKA Dział matematyki zajmujący się wyznaczaniem liczby elementów zbiorów skończonych utworzonych zgodnie z określonymi zasadami. Najważniejszym jej zadaniem jest konstruowanie spełniających pewne określone warunki odwzorowań jednego zbioru skończonego w drugi oraz znajdowanie wzorów na liczbę tych odwzorowań. Metody kombinatoryki wykorzystywane są w wielu różnych działach matematyki, głównie w rachunku prawdopodobieństwa oraz teorii liczb.

5. Podstawowymi pojĘciami kombinatoryki SĄ : Silnia Symbol Newtona Permutacje Kombinacje Wariacje .

6. Silnia (n!) oznacza iloczyn kolejnych liczb naturalnych od 1 do n. n! = 1 · 2 · 3 · ... · n 0! = 1

7. Symbol Newtona dla n, k ∈ N i 0 ≤ k ≤ n oznacza liczbę określoną wzorem:

8. PrzykŁad:

9. PERMUTACJA Permutacja zbioru skończonego jest to ustawienie wszystkich elementów tego zbioru w określonym porządku, czyli jest to wzajemnie jednoznaczne przekształcenie pewnego zbioru skończonego na siebie.

10. Permutacje dzielimy na: Permutacje bez powtórzeń Permutacje z powtórzeniami

11. Permutacja bez powtórzeŃ ( Pn ) k-elementowa permutacja bez powtórzeń ze zbioru n- elementowego jest to każdy n-wyrazowy ciąg utworzony ze wszystkich elementów tego zbioru.

12. Przykład: Na ile sposobów można ustawić na półce 5 różnych książek? Na pierwszym miejscu mamy wybór z 5 książek, na drugim tylko z 4, na trzecim miejscu z 3, itd. Możliwych ustawień jest zatem 5*4*3*2*1=120. Łatwo zauważyć, że Pn = n!

13. Permutacje z powtórzeniami Pn (k1 ,k2 ,…,ks ) Jeżeli zbiór Z składa się z n przedmiotów podzielonych na s grup, gdzie liczby elementów w poszczególnych grupach wynoszą odpowiednio k1 ,k2 ,…,ks i k1 +k2 +…+ks =n to liczba permutacji zbioru Z jest równa :

14. Przykład: W urnie jest 6 kul. Dwie oznaczone numerem 1, jedna oznaczona numerem 2, trzy oznaczone numerem 3. Losujemy kolejno sześć kul bez zwracania i notujemy ich numery w kolejności losowania. Ile różnych liczb możemy w ten sposób otrzymać? S=3 , k1 =2, k2 =1, k3 =3

15. Kombinacje bez powtórzeŃ k- elementowa kombinacja bez powtórzeń ze zbioru n- elementowego A ( n ≥ k ) jest to każdy k- elementowy podzbiór zbioru A. Liczbę wszystkich k- elementowych podzbiorów zbioru n- elementowego oblicza się ze wzoru:

16. Przykład: Na ile sposobów można spośród 7 osób wybrać trzyosobową delegację? n = 7 , k = 3 zatem

17. wariacje dzielimy na: Wariacje bez powtórzeń Wariacje z powtórzeniami

18. Wariacja bez powtórzeŃ k- wyrazowa wariacja bez powtórzeń ze zbioru n- elementowego A , gdzie k ≤ n , jest to każdy k- wyrazowy ciąg utworzony z różnych elementów zbioru A (elementy nie mogą się powtarzać)

19. Tęcza jawi się poSłońce. Zjawisko to jest wywołane ra Przykład: Ile jest liczb trzycyfrowych w zapisie których występują tylko cyfry :1,3,5,7,9, przy czym cyfry nie mogą w liczbie się powtarzać? Na pierwszym miejscu mamy wybór z 5 cyfr, na drugim tylko z 4, na trzecim miejscu z 3.Możliwych ustawień jest zatem 5*4*3=60 Zatem ogolnie otrzymujemy wzór : białego i jego odbiciem we wnętrzu kropel deszczu. Jest chętnie oglądane i podziwiane przez ludzi.

20. Wariacja z powtórzeniami zy jako pierwszy wyjaśnił w XVII wieku znany angielski naukowiec Izaak Newton. Udowodnił, że światło słoneczne składa się z kilku różnych kolorów, których oko ludzkie nie dostrzega oddzielnie. I rzeczywiście, gdy patrzymy na słońce w południe wydaje się, że jest ono białe. Wariacja k- wyrazowa z powtórzeniami ze zbioru n- elementowego A , to każdy k- wyrazowy ciąg utworzony z elementów zbioru A (elementy mogą się powtarzać)

21. Oddziaływanie barw na człowieka Przykład: Ile jest liczb trzycyfrowych w zapisie których występują tylko cyfry :1,3,5,7,9? Na pierwszym miejscu mamy wybór z 5 cyfr, na drugim też z 5 i na trzecim miejscu z 5. Możliwych ustawień jest zatem 5*5*5=125 Zatem otrzymujemy wzór :

22. Tabela przedstawiająca algorytm postępowania przy rozwiązywaniu zadań

23. PrawdopodobieNstwo

24. Klasyczna definicja prawdopodobieNstwa • Mocą zbioru skończonego A nazywamy liczbę jego elementów. Oznaczamy • Jeżeli Ω jest zbiorem skończonym i niepustym, to prawdopodobieństwo zdarzenia nazywamy liczbę:

25. Przykład: • Z talii 52 kart losujemy bez zwracania dwie karty. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania dwóch króli?

26. Własności prawdopodobieństwa: Niech Ω będzie zbiorem zdarzeń elementarnych, P prawdopodobieństwem określonym na zdarzeniach A , B zawartych w zbiorze Ω, oraz .Wówczas: • oraz • , • Jeśli , to

27. 4. • Przykład: • Student zna odpowiedź na 8 spośród 20 pytań. Na egzaminie losuje trzy pytania i musi odpowiedzieć na co najmniej jedno z nich, aby zdać egzamin. Jakie jest prawdopodobieństwo zdania przez niego egzaminu? • Niech A oznacza zdarzenie polegające, że student wylosował trzy pytania, wśród których było przynajmniej 1sposród 8, na które znał odpowiedź ( mogło być jedno, albo dwa, albo trzy). Rozpatrzmy zdarzenie przeciwne do zdarzenia A, polegające na wylosowaniu 3 pytań spośród 12, na które nie zna odpowiedzi.

28. 5. • Przykład: • W pewnej grupie uczniów każdy zna język angielski lub niemiecki.Wiadomo, że prawdopodobieństwo wylosowania z tej grupy ucznia znającego język angielski jest równe , natomiast prawdopodobieństwo wylosowania ucznia znającego język niemiecki jest równe . Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrany uczeń zna oba języki? • A - Uczeń zna język angielski • B - Uczeń zna język niemiecki • to • zatem

29. ĆWICZENIA

30. KOMBINATORYKA • 1.Uprość ułamek , • 2. Rozwiąż równanie: , , • , 3. Ile liczb pięciocyfrowych można utworzyć z cyfr : 0,1,3,6,8, jeśli cyfry nie mogą się powtarzać? 4. Ile liczb trzycyfrowych można utworzyć z cyfr : 0,1,3,6,8, jeśli cyfry nie mogą się powtarzać? 5. Ile liczb trzycyfrowych można utworzyć z cyfr : 0,1,3,6,8? 6. Do windy zatrzymującej się na 7 piętrach wsiadło 6 osób. Na ile sposobów osoby te mogą opuścić windę, jeśli każda z nich wysiada: a) na innym piętrze b) na innym piętrze, ale nikt nie wysiada na drugim piętrze c) dowolnie? 7.Na ile sposobów można ustawić w kolejce 3 dziewczyny i 6 chłopców , tak aby wszystkie dziewczyny stały obok siebie.? 8.Podczas zawodów lekkoatletycznych startowało siedmiu zawodników. Ile było możliwych wyników ukończenia biegu jeżeli jeden z zawodników nie ukończył biegu i jego nazwisko nie jest znane? 9.W urnie jest pięć ponumerowanych kul od 1 do 5.Losujemy kolejno bez zwracania wszystkie kule i zapisujemy ich numery w kolejności losowania. Ile liczb pięciocyfrowych większych od dwudziestu tysięcy, ale mniejszych od czterdziestu tysięcy możemy otrzymać? 10. Ile jest permutacji liczb 1,2,3,4,5,6, w których: a) liczby 1 i 2 sąsiadują ze sobą? b) liczby 1 i 2 nie sąsiadują ze sobą? c) liczby 1,2,3 nie sąsiadują ze sobą? 11. Grupa dzieci bierze udział w zabawie. W jednej z faz zabawy dzieci łączą się w pary. Ile dzieci brało udział w zabawie, jeżeli wiadomo, że mogły połączyć się na 110 sposobów.? 12. Z miasta a do miasta B prowadzi pięć dróg. Iloma sposobami można odbyć podróż A-B-A pod warunkiem, że nie można wracać tą samą drogą? 13. Iloma sposobami można umieścić w trzech szufladach sześć koszul i pięć swetrów? 14. W klasie liczącej 25 uczniów należy wybrać dwie sześcioosobowe drużyny do turnieju siatkówki. Ile istnieje sposobów sformowania drużyn, jeżeli jeden uczeń może być zawodnikiem tylko jednej drużyny? 15. Ile prostych można przeprowadzić przez sześć punktów, z których żadne trzy nie leżą na jednej prostej.? 16. Ile przekątnych ma dwunastokąt wypukły? 17.W pudełku znajduje się 20 śrub w tym 3 wadliwe. Losujemy pięć śrub. Ile istnieje możliwości wylosowania wśród nich jednej śruby wadliwej? 18.Ile różnych wyrazów 10 literowych mających sens lub nie możemy otrzymać z wyrazu MATEMATYKA, przy założeniu, że za każdym razem wykorzystamy wszystkie litery występujące w podanym wyrazie?

31. KLASYCZNA DEFINICJA PRAWDOPODOBIEŃSTWA • 1. Asia, Krysia, Ewa i Natalka poszły do kina i usiadły losowo na wykupionych kolejnych czterech miejscach. • Oblicz prawdopodobieństwo, że Ewa i Natalka usiadły obok siebie. • 2. Rzucamy kostką do gry i monetą. Oblicz prawdopodobieństwo, że wyrzucimy reszkę i co najwyżej 2 oczka. • 3. Rzucamy dwa razy sześcienną kostka do gry. • Oblicz prawdopodobieństwo, że suma wyrzuconych oczek jest równa 8 lub iloczyn wyrzuconych oczek jest równy 12. • 4. W urnie jest sześć kul czarnych, pięć zielonych i cztery białe. Losujemy kolejno trzy kule bez zwracania. • Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul zielonych i jednej białej. • 5. W urnie jest 6 kul białych i 8 czarnych. Losujemy dwa razy po jednej kuli bez zwracania. • Oblicz prawdopodobieństwo, że wyjmiemy co najmniej jedną kulę białą. • 6. A i B są zdarzeniami losowymi, takimi, że B zawiera się w A, P(A) = 0,8 i P(B) = 0,5. Oblicz P(A U B) • 7. A i B są zdarzeniami losowymi, takimi, że B zawiera się w A, P(A) = 0,9 i P(B) = 0,6. Oblicz P(A \ B) • 8.Dziesięć kul rozmieszczamy w dziesięciu szufladach. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że każda szuflada będzie zajęta. • 9.Z pięciu prętów o długościach 1,2,3,4,5 jednostek długości wybieramy losowo trzy. Ułożyć trójkąt prostokątny. • 10.W szufladzie leży pięć kartek ponumerowanych od 1do 5. Losujemy kolejno bez zwracania dwie i zapisujemy ich numery. • Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że wylosowano liczbę, w której liczba dziesiątek jest większa od liczby jedności. • W opracowaniu zadań wykorzystano: • ,, Zbiór zadań z kombinatoryki i rachunku prawdopodobieństwa dla uczniów szkół średnich” • J. LIGMAN, E. STACHOWSKI, A. ZALEWSKA • -,, Matematyka” podręcznik dla liceum ogólnokształcącego, liceum profilowanego i technikum • W. BABIAŃSKI, L. CHAŃKO, J. CHARNOWSKA, J. WESOŁOWSKA • -,,Obowiązkowa matura z matematyki-testy” M. ORLIŃSKA

32. Prezentację przygotowały POD OPIEKĄ MGR Doroty Cebula: • Kamila Bińczyk • Joanna Rodak • Sara Mitjanin • Justyna Ogon • Justyna Bartosik • Sandra Kuzmierska • Magdalena Gozdal • Agnieszka Komorowska • Katarzyna Małkowska • Anna Namyślak • Klaudia Olszak • Aleksandra Sobótko • Justyna Obcarska