工程流体力学教研室 2007 年 5 月

1. 兰 州 交 通 大 学 环境与市政工程学院 流体力学远程教学电子文档 总 负 责:孙三祥 副教授 技术负责:张永秋 副教授 工程流体力学教研室 2007年5月

2. 第十章　 渗流 Seepage Flow 第一节　渗流概述 第二节　渗流的达西定律 第三节　地下水的渐变渗流 第四节　井和井群 　　第五节 渗流对建筑安全稳定的影响

3. 第十章　 渗流（Seepage Flow） 本章学习要点 1.渗流现象 、 渗流模型 2.达西定律、渗透系数、恒定渐变渗流的裘皮依公式 3.井和井群的渗流计算

4. 第一节　渗流概述 一、渗流 液体在孔隙介质(Porous Media)中的流动 。在水利工程中，渗流主些是指水在地表面以下的土壤或岩层中的流动；在土木工程中，渗流理论为地下水源的开发、降低地下水位、路基排水等提供理论依据。

5. 二、水在土中的存在形式 气态水：以蒸汽状态散逸于土壤孔隙中，数量极少，不需考虑。 附着水：以最薄的分子层吸附在土壤颗粒表面，呈固态水的性质，数量 很少。 薄膜水：以厚度不超过分子作用半径的薄层包围土壤颗粒，性质与液态 水近似，数量很少。 毛细水：因毛细管作用保持在土壤孔隙中，除特殊情况外，一般也可忽 略。 重力水：在重力作用下在土壤孔隙中运动的那部分水，是渗流理论研究 的对象。

6. 三、土壤的水力特性 地下水的运动除了与水的物理性质有关外，还与岩土的特 性有关。一般可将岩土分为以下几类： 均质土壤（Homogeneous Soil）：是指渗流中在同一方向上各处透水性能都 一样的土壤。 非均质土壤（Heterogeneous Soil）：是指渗流中在同一方向上各处透水性能不一样土壤。 1.均质岩土 各向同性土壤（Isotropic Soil）：是指各个方向透水性都一样的土壤。 各向异性土壤（Anisotropic Soil）：是指各个方向透水性不一样的土壤。

7. 2.非均质岩土 透水性（ Hydraulic Permeability） 透水性是指土壤允许水透过的性能。透水性主要与孔隙的大小和数量、形状和分布有关。透水性的定量指标是渗透系数，渗透系数愈大，表明透水能力愈强。 容水度（Storativity）容水度是指土壤能容纳的最大的水体积和土壤总体积之比，数值上与土壤孔隙度相等。孔隙度愈大，土壤的容水性愈好。 持水度（Retention Capacity）持水度是指在重力作用下，土壤保持的水体积与土壤总体积之比。持水度主要反映土壤中结合水含量的多少。土壤颗粒愈细持水度愈大。 给水度（ Storativity of Free Water）给水度是指在重力作用下，土壤释放出来的水体积与土壤总体积之比。给水度在数值上等于容水度减去持水度。粗颗粒松散土壤的给水度接近于容水度，细颗粒粘土的给水度就很小。

8. 三、渗流模型 渗流模型指不考虑渗流的实际路径，略去全部土颗粒，认为渗流区连续充满流体。渗流模型将渗流作为连续空间内连续介质的运动，连续介质模型中的方法和概念，如流线、元流、恒定流、均匀流等，可直 接应用于渗流中。 设渗流模型中某一过水面积通过的实际流量为 ，则 上的平均速度简称为渗流速度，为 而水在孔隙中的实际平均速度为 （10—1） （10—2） 录像

9. 四、渗流分类1）按参数随时间变化分：恒定和非恒定渗流；2）按参数沿流程变化分：均匀和非均匀渗流；3）按参数的自变量个数：一元、二元、三元渗流；4）按有无自由水面分：无压和有压渗流；5）按水头损失与流速的关系分：线性和非线性渗流。四、渗流分类1）按参数随时间变化分：恒定和非恒定渗流；2）按参数沿流程变化分：均匀和非均匀渗流；3）按参数的自变量个数：一元、二元、三元渗流；4）按有无自由水面分：无压和有压渗流；5）按水头损失与流速的关系分：线性和非线性渗流。 式中， 为 中的孔隙面积， 为土的孔隙度， （10—3） 可见，渗流速度小于土孔隙中的实际速度。

10. 五、不计流速水头 渗流的速度很小，流速水头 更小，可忽略不计，则过 流断面的总水头等于测压管水头，即 （10—4） 或者说，渗流的测压管水头等于总水头，测压管水头差就是水头损失，测压管水头线的坡度就是水力坡度， 。

11. 第二节　渗流的达西定律 一、达西实验： 均质等向沙； 恒定均匀渗流； 体积法测流速：Q=W/T , V=Q/A 测压管测水头损失： B H1 hw 1 L 2 H2 Q 滤层 图 10—1 达西实验装置 (10—5) 录像2 录像1

12. 二、渗流的基本定律——达西定律 1855年由法国工程师Darcy首先提出 达西的实验结果表明，渗流的流量 与水头损失 以 及圆筒断面面积 成正比，与砂层的厚度(即渗流通过的长度) 成反比，即 (10-6) 式中称为渗透系数，表示孔隙介质在透水方面的物理性质， 具有速度的量纲。

13. （10—7） 假设水头损失沿砂层长度是均匀分布的，则两端面间的水力 坡度J(即测压管坡度)为 将上式代入式（10-6），得 则渗流的断面平均流速为 上述式（10—9）称为达西定律的表达式 （10—8） （10—9 ）

14. 这里需要指出，实际渗流是一个很复杂的过程。例如，地下水在土壤中渗流是水与土壤相互作用形成的，其中的水受到吸附力、毛细力、重力等作用，形成汽态水、附着水、薄膜水、毛细水和重力水，情况非常复杂，但从工程观点来看，参与地下水流动的主要是重力水，所以达西定律反映的规律也就是重力水在土壤中的运动规律。这里需要指出，实际渗流是一个很复杂的过程。例如，地下水在土壤中渗流是水与土壤相互作用形成的，其中的水受到吸附力、毛细力、重力等作用，形成汽态水、附着水、薄膜水、毛细水和重力水，情况非常复杂，但从工程观点来看，参与地下水流动的主要是重力水，所以达西定律反映的规律也就是重力水在土壤中的运动规律。 其次是土壤，由于土壤的孔隙形状和分布是相当复杂的，而且土壤颗粒本身就破坏了水体的连续性，所以有必要提出渗流模型，渗流摸型不去详细考察每一孔隙中水的流动状况(这是无法进行的，也是没有必要的)，而是着眼于工程中所关心的宏观平均效果，它将复杂的土壤中的渗流看作是连续介质流体充满全部渗流区空间，包括土壤颗粒骨架所占据的空间。这样，前面所学的分析连续流体的概念和方法就可以用于渗流模型。

15. 根据渗流模型计算所得的渗流量、渗流压强、渗流阻力损失等宏观量值也与实际渗流情况相符。此外，由于土壤的渗透特性各异，所以这方面情况也较复杂，本章主要研究均质各向同性土壤中的渗流问题，工程中涉及的砂土也主要属于这种土壤。所谓均质是指渗透性(渗透系数k)与空间位置无关，所谓各向同性是指渗透性与渗流方向无关。对于这种均质各向同性的渗流模型。达西定律公式还可写成：根据渗流模型计算所得的渗流量、渗流压强、渗流阻力损失等宏观量值也与实际渗流情况相符。此外，由于土壤的渗透特性各异，所以这方面情况也较复杂，本章主要研究均质各向同性土壤中的渗流问题，工程中涉及的砂土也主要属于这种土壤。所谓均质是指渗透性(渗透系数k)与空间位置无关，所谓各向同性是指渗透性与渗流方向无关。对于这种均质各向同性的渗流模型。达西定律公式还可写成： (10—10) 式中表示u任一点的渗流流速，v为断面平均渗流流速。

16. 三、达西定律的适用范围 在大孔隙介质中，由于透水性能较好，地下水渗流速度可以达到较大值，以至于其流动状态将由层流转变为紊流，此时达西定律也将不再适用。 判断渗流是否进人紊流状态有多种方法，这里介绍的是直接采用雷诺数的通常表达式的方法 式中v是溶流断面平均流速 ，d为土壤的有效粒径，一般可用d10来表示， 为运动粘度。 (10—11)

17. 按上式计算的雷诺数的临界值 = 1～10，即当 1～ 10时，渗流仍能处于层流状态，属于线性渗流，也即达西定律成立。为安全起见，可把 =1作为渗流线性定律适用范围的上限值。 1901年福希梅提出了渗流水力坡度的一般表达式为 式中a、b分别为需由实验确定的系数，它们决定于土壤的渗透性和流体的粘性。当 较小时，流动处于层流状态，上式中项 可以忽略，上式与达西定律计算式一致。当 较大时，流动进入紊流状态，达西定律不成立，实验资料与上述的一般表示式相符。 (10—12)

18. 二、渗透系数确定方法 • 达西定律中渗透系数是主要而又较难确定的系数，它的确定方法主要有以下三种。 • 1.实验室测定法 通常采用达西实验的装置来测定渗流的流量Q和水头损失，再根据达西定律计算式反求出渗透系数值，即 （10—13） 实验室测定法测定结果比较精确，但与实际土壤有一定差别．因此在实验中应尽量选取非扰动土壤，并选取足够多数量的有代表性的土样进行实验。

19. 2.现场测定法 此方法多用于重要的大型工程，其作法一般是在现场钻井或挖试抗、然后采用抽水或注水的方式测得水头及流量等数值，再根据相应的理论公式反求出渗流系数值。显然，此法花费的代价较高，但因能使土壤结构保持原状，所以测出的渗透系数值更接近于真实值。 3.经验法 在有关的各种手册和规范中，可以查到各类土壤的渗透系数值，但这大都是经验性的，只可作为粗略估计时采用。这里也给出了一部分土壤的渗透系数参考值，见表10—1。

20. 表 10—1 土壤的渗透系数参考值

21. 图 10—2 【例10—1】矩形断顶土堤宽 ，堤长(垂直于纸面方向) ，外河水深 。堤内水深 (图10—2) ，土堤的渗透系数 ，试求由外河渗入堤内的流量。 【解】本题按一元渐变渗流计算，由裘皮依公式 分离变量积分

22. 图 10—3 【例题10—2】设在两个水箱之间连接一条水平放置的正方形管道，如 图10—3所示。管道边长 ，长 ，若管道的前半部分装满细砂，后半部分装满粗砂，它们的渗透系数分别为 ， 。两水箱中的水深分别为 ， ，求通过管中的渗透流量。 【解】 设管道中点过流断面上的测压管水头为H，由式(10—6)可知，通过细砂段和粗砂段的渗透流量分别为渗流流量为 根据连续原理，即 由此得 渗流流量为

23. 第三节　地下水的渐变渗流 地下水的无压渗流相当于透水地层中的明渠流动，水面线称为浸润线。同明渠流动的分类相似，无压渗流多是运动要素沿程缓慢变化的非均匀渐变渗流，少部分无压渗流是平行直线、等深、等速的均匀渗流，均匀渗流的水深称为渗流正常水深，以h０表示。无压渗流一般可按一元流动处理。 　对于渗流是非均匀渐变渗流的情况，作以下假设： (1)在任一竖直线上，各点渗流方向水平； (2)在同一竖直线上，各点渗流流速相等。

24. 图 10—4渐变渗流 一、裘皮依 （J·Dupuit）公式 设非均匀渐变渗流，如图10—4所示，取相距为 的过流断面1—1、2—2，根据渐变流的性质，过流断面近于平面，面上各点的测压管水头皆相等，又由于渗流的总水头等于测压管水头，所以，1—1与2—2断面之间任一流线上的水头损失相同： （10—14） 根据达西定律式(10—9)，过流断面上各点的流速相等，因而断面平均流速也等于各点流速 （10—15） 上式称为裘皮依（J·Dupuit）公式

25. 图 10—5 渐变渗流 二、渐变渗流基本方程 设无压非均匀渐变渗流，不透水地层坡度为 ，取过流断面1—1、2—2，相距 ,水深和测压管水头的变化分别为 和 ，如图10—5所示。 1—1断面的水力坡度为 （10—16）

26. 代入式(10—15)。得1—1断面的平均渗流速度： （10—17） 渗流量为 （10—18） 上式是无压恒定渐变渗流的基本方程式，是分析渐变渗流浸润曲线的理论依据。

27. 三、渐变渗流浸润曲线的分析 参照明渠流的概念，渐变渗流浸润曲线分为顺坡(i>0)、平坡(i=0)、逆坡(i<0)三种，它有以下几何特点： (1)只有顺坡渗流存在均匀流，有正常水深； (2)渗流流速甚小，故浸润曲线不存在临界水深； (3)浸润线既是测压管水头线，又是总水头线。由于存在水头损失，总水头线沿程下降。

28. 图 10—6 顺坡基地渗流 1．顺坡渗流 对顺坡渗流，以均匀正常水深线 将渗流区分为上下两个区域如图10—6所示。由渐变渗流基本方程式（10—18），有 （10—19） 上式即顺坡渗流浸润线微分方程。式中，A为实际渗流的过水断面积。

29. 顺坡渗流河分为两个区： 1区(h>h0) (1) h>h0，A>A0， ，浸润线是壅水曲线。 (2)上游端： ， ， 以线N—N为渐近线； (3)下游端： ， ， ，浸润线以水平线为渐近线。 2区(h<h0) (1) h>h0，A>A0， ，浸润线是降水曲线。 (2)上游端： ， ， 浸润线以为N—N渐近线； (3)下游端： ， ， ，浸润线与基底正交，由于此处曲率半径很小，不再符合渐变流条件，式(10-11)已不适合，这条浸润线的下游端实际上取决于具体的边界条件。

30. 图 10—7 平坡基地渗流 2．平坡渗流 平坡渗流如图10—7所示，令式(10—18)中底坡 ，即得到平坡渗流浸润线微分方程： （10—22） 在平坡基底上不能形成均匀流，只可能有一条浸润线，即： （1）式（10—18）中Q，k ，A皆为正值，故浸润曲线为降水曲线；

31. （2）上游端： ， ，以水平线为渐近线； （3）下游端： ， ，与基底正交，性质和上述顺坡渗流的降水曲线末端类似。 设渗流区的过流断面是宽度为的矩形, , （单宽流量），代入式(10—18)．整理得图 10—8 逆坡基地渗流 （10—23） 将上式从断面1-1到断面2-2积分： （10—24） 此式可用于绘制平坡渗流的浸润曲线和进行水力计算。

32. 图 10—8 逆坡基地渗流 3、逆坡渗流 在逆坡基底上，也不可能产生均匀渗流，对于逆坡渗流，也只可能产生一条浸润线，为渗流的降水曲线，如图10-8所示。

33. 第四节 井和井群 井的概述：井在工农业生产中有着广泛的应用，可以通过它汲取地下水或排水，增加地下含油层压力或降低地下水位等。不论井的用途如何，凡是汲取不透水层上部具有自由浸润面的无压地下水的井称为普通井或潜水井；汲取两不透水水层之间的有压地下水的井称为自流井或承压井。若井底直达不透水层的井称完全井，否则称为不完全井。 在实际工程中的井，由于复杂的地形和地质条件，其流动往往属于三维非恒定渗流，问题非常复杂，读者有兴趣可以参阅水文地质学方面的有关专著，本书所介绍的仅限于可以简化为恒定渐变渗流来处理的井的渗流。

34. 一、无压恒定渐变渗流的基本公式 类似于一般流体流动,在渗流中也存在无压恒定均匀渗流和无压恒定渐变渗流概念，工程中常见的地下水运动，大多在宽度很大的不透水基底上流动，流线簇近似于平行直线，则可以采用无压恒定渐变渗流模型。 恒定均匀渗流是指流线平行，同一过水断面上各点的测压管水头H 相等的渗流，它的特点是同一过水断面上各点的水力坡度 都相等，从而过水断面上各点的渗流速度也都相同，所以，其达西定律具有以下形式： （10—25）

35. 无压恒定渐变渗流的流线接近平行，其过水断面上各点的测压管水头也可以认为相等，所以上式对于无压恒定渐变渗流也适用。上式为袭布衣渗流点速公式。在实际工程中有广泛的应用。显然，此式不适用于流线曲率很大的急变渗流。无压恒定渐变渗流的流线接近平行，其过水断面上各点的测压管水头也可以认为相等，所以上式对于无压恒定渐变渗流也适用。上式为袭布衣渗流点速公式。在实际工程中有广泛的应用。显然，此式不适用于流线曲率很大的急变渗流。 二、井 完全普通井 完全自流井 大口井及其渗流计算

36. 图 10—9 完全普通井的渗流 1. 完全普通井 水平不透水层上的普通完整井如图10—9所示。管井的直径50～1000mm、井深可达1000m以上。 设含水层中地下水的天然水面A—A，含水层厚度为H，井的半径为r0。从井内抽水时，井内水位下降，四周地下水向井中补给。并形成对称于井轴的漏斗形浸润面。如抽水流量不过大且恒定时，经过一段时间，向井内渗流达到恒定状态。井中水深和浸润漏斗面均保持不变。

37. 取距井轴为r，浸润面高为z的圆柱形过流断面，除井周附近区域外，浸润曲线的曲率很小，可看作恒定渐变渗流。取距井轴为r，浸润面高为z的圆柱形过流断面，除井周附近区域外，浸润曲线的曲率很小，可看作恒定渐变渗流。 由裘皮依公式 将H= z，ds= -dr代入上式 （10—26） 渗流量 （10—27） 分离变量并积分 得到普通完整井浸润线方程 （10—28） （10—29）

38. 从理论上讲，浸润线是以地下水天然水面线为渐近线。当从理论上讲，浸润线是以地下水天然水面线为渐近线。当 z=H。但从工程实用观点来看，认为渗流区存在影响半径R，R以外的地下水位不受影响，即r=R，z=H。代入式（10—29），得 （10—30） (10—31) 当 ，式(10—31)可简化为 (10—32) 式中：Q——产水量； A ——井水深； S——抽水降深； R——影响半径； r0——井半径；

39. 影响半径R可由现场抽水试验测定，估算时，可根据经验数据选取，对于细砂R =100～200m，中等粒径砂R＝250～500m，粗砂R＝700～l000m。或用以下经验公式计算 (10—33) (10—34) 式中：k以计m/s，R、S和H均m以计。

40. 完整井的势函数 无压渗流完全普通井的势函数：在渐变渗流中，过流断面上各点水力坡度相同，点流速与断面平均流速相等。 所以如图10—10所示的含水层中微小柱 体前面流入的渗流量为 （10—36） 从微小柱体右侧流入的渗流流量为 图10—10完全普通井的是函数计算 （10—37） 从微小柱体左侧流出的渗流流量为

41. （10—38） 根据连续原理，流入该柱体的渗流流量应该与流出该柱体的渗流量相等，即 （10—39） 或 由上可知， (普通井)和 (自流井)分别满足拉普拉斯方程。

42. 图 10—11 完全自流井的渗流 2、完全自流井 自流完整井如图10—11所示。含水层位于两不远水层之间，设底板与不逆水覆盖层底面水平，间距为 t。凿井穿透覆盖层。未抽水时地下水位上升到H，为自流 含水层的总水头，井中水面高于含水层 厚t，有时甚至高出地表面向外喷涌。 自井中抽水，井中水深由H降至h，井周围 测压管水头线形成漏斗形曲面。取距井 轴r处．测压管水头为z的过水断面，由裘 皮依公式 流量 （10—40）

43. 分离变量并积分得 自流完整井水头线方程为 （10—41） 同样引入影响半径概念，当r=R时，z=H。代入上式，解得自流完全井涌水量公式 （10—42）

44. 3.大口井及其渗流计算 大口井是指直径较大的井，一般直径为2～10m。有时甚至超过10m。大口井主要用于汲取浅层地下水，在土建施工中，有时基坑排水，也可按大口井来计算。大口井的特点是涌水量大，大口井可以是完全井，但更多的是不完全井。即井底也可以进水，而且井底进水量往往很大，甚至是主要的。完全大口井的计算，可以采用前面介绍的方法，这里不再详述。对于不完全大口井的计算，曾提出有两种假设，一种假设合水层的厚度很大，地下水从大口井半球形的底部沿半球半径方向流入，经过推导化简，最后的计算式为 （10—43） 另一种假设是对于平底不完全大口井，其过遮断面为半椭球面，渗流流线为双曲线，经过近似推导后，其最后计算式为 （10—44） 上两式中各符号含义同前。显然，上两式计算结果相差甚大，一些实际资料表明，当含水层的厚度比井的半径大8～10倍时，式(10—44)较符合实际。

45. 三、井群 概念：为了更有效地降低地下水位或取水，常需要开凿许多口井并同时抽水，称为井群。 由于井群中各井之间距离较近，每一口井均处于其他井的影响范围之内，所以各井的出水量和浸润曲面也相互影响，因此井群的计算不能仅采用单井的方法，而要应用势流的叠加原理来进行。 1、渗流的基本微分方程和井群的渗流计算 渗流的基本微分方程 从前述渗流模型可知，假设渗流区内的全部空间均被连续的水流所充满，则渗流的连续性和一般水流的连续性是一样的，因此恒定渗流连续性微分方程为

46. （10—45） 根据达西定律，渗流流场中任一点的流速为 因此任一点的流速在三个坐标轴上的分量可表示为 （10—46） 式中是H渗流流场中任一点的总水头，因渗流流速极小，实用上H可视为测压管水头，即 。上式即为均质各向同性土壤中恒定渗流的运动微分方程。 如今 则渗流运动微分方程式(10-46)可改写为

47. (10—47) (10—47) 根据势流理论可知，函数 即为渗流的速度势函数，因此, 凡符合达西定律的层流渗流，可以看作是有势运动，前面有关求解势流的方法都可用来求解渗流。将式(10—47)代人连续性微分方程式(10—45)中，可得渗流的拉普拉斯方程式 (10—48) 以 代人上式，可知总水头H也满足拉普拉斯方程，即 (10—49) 对于平面渗流，除上述的速度势函数外，还存在着流函数,而且流函数也满足拉普拉斯方程。

48. 图 10—12 井群的渗流 2、普通完全井的井群 设在水平不透水层上有n个完全普通井，如图10—12所示。A为各井影响范围内的一点，它距各井的距离分别为 ，各井的半径分别为 ，各井单独抽水时，井中水深分别为 在点处的地下水位分别为 由式(10—28)得各井的浸润线方程为 （10—50）

49. 当n个井同时抽水时，必形成一个公共的浸润面，此时，A点的水位为z，按势流叠加原理(z2是势函数)，其方程可写为 （10—51） 式中为C一常数，由边界条件确定。 若假设各井的抽水量相等，即 式中为井群的总抽水量。还假设A点离各井很远，在井群影响范围的边缘，且认为， ，z=H，R为影响半径，将这些关系代入式(10—34)，可以确定常数C。 （10—52） 所以

50. （10—53） 将上述积分常数值C代入式(10—52)，得 （10—54） 上式可以用来求井群中某点A的水位z，井群的总抽水量为 （10—55） 式中R为井群的影响半径，可由抽水试验测定或由下列经验公式估计 式中S为井群中心在抽水稳定后水面降落深度；H为含水层厚度; k为渗透系数。