散射相移和束缚态数目的关系
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散射相移和束缚态数目的关系 ------ Levinson 定理. 马中骐 中国科学院高能物理研究所 e-mail: mazq@ mail .ihep.ac.cn. 报告内容. Jost 函数方法证明薛定谔方程 的 Levinson 定理. 2. Sturm-Liouville 定理方法证明 薛定谔方程 的 Levinson 定理. 3. 结论.

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Presentation Transcript
Levinson

散射相移和束缚态数目的关系

------Levinson定理

马中骐

中国科学院高能物理研究所

e-mail: mazq@mail.ihep.ac.cn


Levinson

报告内容

  • Jost函数方法证明薛定谔方程

  • 的Levinson定理

2. Sturm-Liouville定理方法证明

薛定谔方程的Levinson定理

3. 结论


Levinson

GEORGE SUDARSHAN has been nominated for the Nobel Prize six times and has received many awards, including the Bose Medal in 1977.


Levinson

This book provides a pedagogical

introduction to the formalism,

foundations and applications of

quantum mechanics.

This book is intended for use as a textbook for beginning graduate and advanced undergraduate course.


Levinson

(2)

(12)



Levinson

(15b)

(24)式前面

(26)


Levinson

Jost 函数方法证明Levinson定理

讨论有球对称势的薛定谔方程

U(r)在原点比 更少奇异

在无穷远比 收敛更快


Levinson

Jost 函数方法证明Levinson定理

讨论有球对称势的薛定谔方程

U(r)在原点比 更少奇异

在无穷远比 收敛更快


Levinson

Jost 函数方法

Levinson定理:

1.Jost函数解析性质和零点重数的研究很困难。

2.对势函数的条件太苛刻。

3.定理中包含 项

4.推广到Dirac方程很困难。


Levinson

Sturm 比较定理

在区域[a,b], , c是Y第一个零点

1. 。

2.在[a,b]内 y 两个相邻零点间

至少有 Y 一个零点。

3.在[a,b]内 y 第k个零点在Y第k零点的右面。


Levinson

一个相角随能量单调变化

Professor C. N. Yang pointed out

In a talk on monopole (1981)

“For the Sturm-Liouville problem,

the fundamental trick is the

definition of a phase angle which

is monotonic with respect to the

energy.”


Levinson

Sturm-Liouville 定理

径向函数的Wronskian

波函数对数微商


Levinson

Sturm-Liouville 定理

对 取 在无穷远趋于零,

两侧波函数对数微商都随能量单调变化,

随势函数也单调变化。


Levinson

薛定谔方程的Levinson 定理

现在研究束缚态,E<0,在区域 解为

其中 ,对数微商为


Levinson

薛定谔方程的Levinson 定理

在区域 ,自由粒子( )解为

对数微商为


Levinson

薛定谔方程的Levinson 定理

随着 由0增加至1, 保持不变,

而要发生变化。

由于单调性,只要注意 的变化


Levinson

薛定谔方程的Levinson 定理

每当 下降而经过 值时,

一个散射态变成了一个束缚态,反之亦然。

与此同时, 跳进


Levinson

薛定谔方程的Levinson 定理

临界情况,

在区域 有解

是束缚态, 取负值。

是半束缚态, 取无穷大。


Levinson

薛定谔方程相移的性质

在区域 径向方程依赖于势,设解为

在区域 径向方程可解,E>0时为

可算得对数微商为


Levinson

薛定谔方程相移的性质

由衔接条件

解得


Levinson

薛定谔方程相移的性质

1. 相移 周期性的约定

过去 和

实际只要势函数不太奇异,


Levinson

薛定谔方程相移的性质

1.相移 周期性的约定

2.取截断势

可分两区域 和 分别计算,

在区域 为自由粒子,解已知。

3.在 处用波函数对数微商衔接条件


Levinson

薛定谔方程相移的性质

对给定的

因为

所以要计算 时的相移值



Levinson

薛定谔方程相移的性质

1. 由于因子 , 很小,


Levinson

薛定谔方程相移的性质

1. 由于因子 , 很小,

例外: 和 时

, 是半整数


Levinson

薛定谔方程相移的性质

1. 由于因子 , 很小,

例外: 和 时

, 是半整数

随 跳跃变化,每次跳

随 跳跃变化,每次跳


Levinson

薛定谔方程相移的性质

1. 很小时,

2.随 变化, 变化而经过

值时, 不变。 减少

而经过值时, 增加一,即

跳进 ,反之亦然。


Levinson

薛定谔方程相移的性质

1. 很小时,

2.随 变化, 变化而经过

值时, 不变, 减少

而经过值时, 增加一,即

跳进 。

3.临界情况,


Levinson

薛定谔方程相移的性质

1. 很小时,

2.随 变化, 变化而经过

值时, 不变, 减少

而经过值时, 增加一,即

跳进 。

3.临界情况,

对小的E值, 已经是负值。


Levinson

薛定谔方程的Levinson 定理

当势能满足条件 时有

半束缚态发生在S波的临界情况:


Levinson

势函数在无穷远存在尾巴的情况

满足Levinson定理,而

满足修改的Levinson定理。


Levinson

Newton的两个反例

Levinson定理不会成立,

但修改的Levinson定理成立。

反例1:


Levinson

Newton的两个反例

反例2:


Levinson

讨论

1.用Jost函数的解析性质证明Levinson定理,

势函数需要满足更强的条件

原条件是

2. 在正常情况下 但在特殊条件下,

原来的Levinson定理不成立。

如正无穷方势阱,

还有非定域势,并存在正能束缚态情况。

3. 在无穷远存在 形式的势能尾巴时,Levinson

定理不成立,但我们的修改的Levinson定理成立。

4. 我们的方法便于推广,如推广到Dirac方程。