Introduction to Function Interpolation and Adjustment

1. Interpolación y Ajuste de funciones Una Introducción

2. 22 20 18 16 Grados 14 12 10 8 6 6 8 10 12 14 16 18 20 22 4 Hora Un problema de Aproximación • Evolución de la temperatura diurna

3. Interpolacion • Interpolación Polinomial • Polinomios Osculadores: Interpolación de Hermite • Interpolación Racional: Aproximaciones de Pade • Interpolación segmentaria: Splines • Otros

4. Ajuste • Polinomios de Taylor • Mínimos Cuadrados • Minimización de normas • Aproximación Racional • Series de Fourier • Curvas de Bezier • B-Splines

5. Splines

6. Interpolación Polinómica Segmentaria • Limitaciones de la interpolación polinómica • Grado del polinomio • Carácter de la función a interpolar • Alternativa propuesta: Splines. • Numéricamente estable • Matrices dispersas • Agradable a la vista

7. Interpolación Polinomica Segmentaria: Splines • Interpolación Segmentaria • Interpolación Segmentaria Lineal • Interpolación Segmentaria Cúbica • Condiciones Naturales • Condiciones sobre la derivada

8. Interpolación Segmentaria Lineal: Función de Runge Polinomio grado 4 Spline lineal 1 1 0.9 0.8 0.8 0.6 0.7 0.6 0.4 0.5 0.2 0.4 0.3 0 0.2 -0.2 0.1 -0.4 0 -1 0 1 -1 0 1

9. Perfil para un diseño Polinomio interpolador

10. Aplicaciones • Ingeniería y Diseño (CAD/CAM, CNC’s) • Geología • Aeronáutica y automoción • Economía • Procesamiento de señales e imágenes (Reconocimiento de patrones, recuperación de imágenes) • Robótica • Medicina (Aparatos auditivos, mapas cerebrales) • Meteorología (Mapas climáticos, detección de inundaciones,...) • Mundo Virtual Distribuido Multiusuario

11. Interpolación Polinómica Segmentaria

12. Splines Lineales • Polinomio de Lagrange • Polinomio de Newton

13. Splines Lineales ¿Cómo calculamos Splines lineales con Matlab?

14. Interpolación Segmentaria Lineal: Función de Runge Polinomio grado 4 Spline lineal 1 1 0.9 0.8 0.8 0.6 0.7 0.6 0.4 0.5 0.2 0.4 0.3 0 0.2 -0.2 0.1 -0.4 0 -1 0 1 -1 0 1

15. Splines Cúbicos • Spline cúbico 4nincógnitas • Condiciones de interpolación n+1 ecuaciones • Condiciones de conexión 3(n-1) ecuaciones

16. h c + 2 ( h + h ) c + h c = k - 1 k - 1 k - 1 k k k k + 1 3 3 = ( a - a ) - ( a - a ) k + 1 k k k - 1 h h k k - 1 n-1 ecuaciones y n+1 incógnitas

17. Condiciones Naturales

18. Matriz del sistema

19. Términos independientes

20. Ejemplo de la temperatura Polinomio interpolador Spline cúbico 22 22 20 20 18 18 16 16 Grados Grados 14 14 12 12 10 10 8 8 6 6 5 10 15 20 5 10 15 20 Hora Hora

21. Condiciones sobre la derivada

22. Matriz del sistema

23. Términos independientes

24. Splines Cúbicos ¿Cómo calculamos Splines cúbicos con Matlab?

25. Interpolación segmentaria con MATLAB • Interpolación segmentaria cúbica • ps = spline(x,y) % Devuelve el Spline, no los coeficientes • [x,s] = unmkpp(ps) % Devuelve los coeficientes • ps = mkpp(x,s) • syy = spline(x,y,xx) = ppval(ps,xx) • Interpolación segmentaria lineal • lyy = interp1(x,y,xx)

26. Spline de MATLAB Interpolación Lineal 1 1 0.5 0.5 0 0 -1 0 1 -1 0 1 Spline Natural Spline Derivada 1 1 0.5 0.5 0 0 -1 0 1 -1 0 1