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Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab

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Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab - PowerPoint PPT Presentation


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Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab. Marco Antonio Montebello Júnior montebello@facens.br. Interpolação Polinomial.

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introdu o a computa o e c lculo num rico lab

Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab

Marco Antonio Montebello Júnior

montebello@facens.br

interpola o polinomial
Interpolação Polinomial

“Consiste em determinar, de forma aproximada, uma função que descreve o comportamento de outra função que não se conhece, mas que tem valores tabelados do tipo (x, f(x)).”

Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab

interpola o polinomial3
Interpolação Polinomial
  • Através dos pontos:
    • (x0, f(x0)), (x1, f(x1)), ..., (xn, f(xn)) (n+1 pontos)
  • Deseja-se aproximar f(x) por um polinômio p(x) de grau menor ou igual a n, tal que:
    • f(xi) = pn(xi) i = 0, 1, 2, ..., n
  • Onde:
    • pn(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn

Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab

interpola o polinomial4
Interpolação Polinomial
  • Portanto, interpolar um ponto x a um conjunto de n+1 dados {xi,f(xi)}, significa:
    • Calcular o valor de f(x), sem conhecer a forma analítica de f(x);
    • Ajustar uma função analítica aos dados
  • Podemos concluir que:
    • A interpolação polinomial consiste em obter um polinômio p(x) que passe por todos os pontos do conjunto n+1 de dados {xi,f(xi)}

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interpola o polinomial5
Interpolação Polinomial
  • De maneira que:
    • p(x0) = f(x0)
    • p(x1) = f(x1)
    • ...
    • p(xn) = f(xn)
  • Detalhe importante: o índice se inicia em 0 (zero) portanto temos n+1 pontos.
  • O polinômio p(x) é chamado de polinômio interpolador

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interpola o polinomial6
Interpolação Polinomial
  • Conforme demonstrado podemos escrever:

...

Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab

interpola o polinomial7
Interpolação Polinomial
  • Considere o conjunto de dados {xi,f(xi)}
  • Como obter o valor de f(x) para um determinado valor de x que não foi medido
  • A função f(x) não é conhecida

Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab

interpola o polinomial8
Interpolação Polinomial

Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab

forma de lagrange
Forma de Lagrange
  • Considere o conjunto de n+1 dados {xi,f(xi)}
  • Deseja-se obter o polinômio pn(x) de grau menor ou igual a n, que interpola f(x) em x0, x1, x2, ..., xn

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forma de lagrange10
Forma de Lagrange
  • Podemos representar pn(x) como:
  • Onde os polinômios Lk(x) são de grau n
  • Para cada i a condição pn(xi) = f(xi) deve ser satisfeita

Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab

forma de lagrange11
Forma de Lagrange
  • Para satisfazer a condição imposta, devemos considerar:

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forma de lagrange12
Forma de Lagrange
  • Portanto, vamos provar a condição imposta:

e

Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab

forma de lagrange13
Forma de Lagrange
  • Ou seja, p(x) passa exatamente sobre {xi,f(xi)}
  • E, podemos verificar isso facilmente, pois:

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forma de lagrange14
Forma de Lagrange
  • Uma das maneiras de definir Lk(x) seria:

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forma de lagrange15
Forma de Lagrange
  • Podemos definir o polinômio interpolador na Forma de Lagrange, como:

e

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forma de lagrange interpola o para 2 pontos
Forma de LagrangeInterpolação para 2 pontos
  • Considere o conjunto de dados {xi,f(xi)}
  • Passo 1 – Montar a estrutura do polinômio

Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab

forma de lagrange interpola o para 2 pontos17
Forma de LagrangeInterpolação para 2 pontos
  • Passo 2 – Li(x) devem satisfazer as condições
    • L0(x0) = 1 L1(x0) = 0
    • L0(x1) = 0 L1(x1) = 1
  • Passo 3 – Montar os Li(x), conforme:

Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab

forma de lagrange interpola o para 2 pontos18
Forma de LagrangeInterpolação para 2 pontos
  • Passo 3 (continuação)...
  • Passo 4 – Substituir os Li(x) no polinômio p(x)

Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab

forma de lagrange interpola o para 3 pontos
Forma de LagrangeInterpolação para 3 pontos
  • Considere o conjunto de dados {xi,f(xi)}
  • Passo 1 – Montar a estrutura do polinômio

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forma de lagrange interpola o para 3 pontos20
Forma de LagrangeInterpolação para 3 pontos
  • Passo 2 – Li(x) devem satisfazer as condições
    • L0(x0) = 1 L1(x0) = 0 L2(x0) = 0
    • L0(x1) = 0 L1(x1) = 1 L2(x1) = 0
    • L0(x2) = 0 L1(x2) = 0 L2(x2) = 1
  • Passo 3 – Montar os Li(x), conforme:

Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab

forma de lagrange interpola o para 3 pontos21
Forma de LagrangeInterpolação para 3 pontos
  • Passo 3 (continuação)...
  • Passo 4 – Substituir os Li(x) no polinômio p(x)

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forma de lagrange exemplo
Forma de LagrangeExemplo
  • Ajustar uma reta aos seguintes pontos:
  • Passo 1

Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab

forma de lagrange exemplo23
Forma de LagrangeExemplo
  • Passo 2 – Li(x) devem satisfazer as condições
    • L0(x0) = 1 L1(x0) = 0
    • L0(x1) = 0 L1(x1) = 1
  • Passo 3 – Montar os Li(x), conforme:

Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab

forma de lagrange exemplo24
Forma de LagrangeExemplo
  • Passo 3 (continuação)...

Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab

forma de lagrange exemplo25
Forma de LagrangeExemplo
  • Passo 4

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estudo do erro na interpola o teorema 2
Estudo do Erro na Interpolação (Teorema 2)
  • Ao se aproximar uma função f(x) por um polinômio interpolador de grau ≤ n, comete-se um erro:
  • Erro absoluto:
    • En(x) = f(x) – pn(x), para todo x no intervalo [x0, Xn]
  • Estudar o erro é importante para sabermos quão próximo f(x) está de pn(x)

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estudo do erro na interpola o teorema 227
Estudo do Erro na Interpolação (Teorema 2)
  • Sejam x0 < x1 < x2 < ... < xn (n pontos)
  • Seja f(x) com derivadas até a ordem n para todo x pertencente ao intervalo [x0, xn]
  • Seja pn(x) o polinômio interpolador de f(x) nos pontos x0, x1, ..., xn
  • Então, em qualquer ponto x pertencente ao intervalo [x0, xn], o erro é dado por:

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limitante para o erro
Limitante para o Erro
  • A fórmula para o erro mostrada anteriormente tem seu uso limitado na prática, pois são raras as situações que conhecemos f(n)(x) e o ponto xnunca é conhecido.
  • Agora estudaremos 2 corolários do Estudo do Erro na Interpolação (Teorema 2), que relacionam o erro com um limitante de f(n)(x)

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limitante para o erro corol rio 1
Limitante para o ErroCorolário 1
  • Baseados no que foi dito anteriormente, se f(n)(x) for contínua em I=[x0,xn], podemos escrever a relação:

Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab

limitante para o erro corol rio 2
Limitante para o ErroCorolário 2
  • Se além das hipóteses anteriores os pontos forem igualmente espaçados, ou seja:

x1 - x0 = x2 – x1 = ... = xn – xn-1 = h,

  • Então:
  • Observe que o majorante acima independe do ponto x considerando, x  [x0, xn]

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forma de lagrange exerc cios
Forma de LagrangeExercícios
  • 1. Interpolar o ponto x = 1,5 na tabela abaixo, empregando o polinômio interpolador de Lagrange

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forma de lagrange exerc cios32
Forma de LagrangeExercícios
  • A tabela seguinte relaciona a velocidade de queda de um pára-quedista em função do tempo.
    • Determine a velocidade de queda do pára-quedista ao fim de 10s usando polinômio interpolador de Lagrange de grau menor igual a 3

Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab

forma de lagrange exerc cios33
Forma de LagrangeExercícios
  • Dada a tabela da função f(x) = ln(x), calcule uma aproximação para o valor f(12,3), usando a interpolação parabólica baseada no método de Lagrange.

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