DISKRETNI LOGISTIČKI MODEL

1. Sveučilište u Zagrebu Fakultet kemijskog inženjerstva i tehnologije Zavod za matematiku Kolegij: Uvod u matematičke metode u inženjerstvu DISKRETNI LOGISTIČKI MODEL Studenti: Vanja Šute Mentor: dr. sc. Ivica Gusić Jelena Purić Irena Kozina Srpanj, 2012.

2. SADRŽAJ • UVOD • DISKRETNI DINAMIČKI SUSTAV • DISKRETNI LOGISTIČKI SUSTAV • KAOTIČNI SUSTAV • ZAKLJUČAK

3. UVOD • Dinamički sustav opisuje međusobnu zavisnost sustava varijabli i njihovu promjenu u vremenu • Predočavaju se orbitama (trajektorijama), koje se, nakon dovoljno vremena, mogu razviti u skup koji nazivamo atraktorima. • Atraktori čine dio faznog prostora promatranog sustava, odnosno njih smatramo geometrijskim podskupom faznog prostora. • Upotreba: u meteorologiji, medicini (posebice kardiologiji) u biologiji kod praćenja populacija bioloških jedinki, u kemiji, gdje se prati kinetika reakcija • mogu biti: • kontinuirani, • diskontinuirani, • hibridni(kombinacija navedenih).

4. DISKRETNI DINAMIČKI SUSTAV

5. DISKRETNI DINAMIČKI SUSATVGRAFIČKA ITERACIJA

6. DISKRETNI DINAMIČKI SUSATVFIKSNE TOČKE

7. DISKRETNI LOGISTIČKI MODEL Podjela modela rasta populacije: • Kontinuiran (fluidan, neisprekidan) je onaj sustav koji pokazuju kontinuirane promjene kroz vrijeme, tj. u proizvoljno malenom vremenskom periodu dolazi do promjene varijabli osim u slučaju kad sustav miruje. Svi takvi sustavi su opisani diferencijalnim jednadžbama, i intuitivno su najbliži stvarnim uvjetima u prirodi. • Diskontinuirani (diskretan, isprekidan, skokovit) je onaj sustav kod kojeg nema kontinuirane promjene varijabli, jer se te promjene ne događaju stalno, nego u diskretnim vremenskim intervalima. Ovakvi sustavi su češći u prirodi nego što bi se to moglo pomisliti, posebice u biološkom svijetu, a opisuju se iteracijskim jednadžbama.

8. KONTINUIRANI LOGISTIČKI MODEL

9. DISKRETNI LOGISTIČKI MODEL λ ≥ 1 rast populacije 0 ≤ λ < 1 izumiranje populacije λ = 1 populacija ostaje nepromijenjena

10. DISKRETNI LOGISTIČKI MODEL

11. DISKRETNI LOGISTIČKI MODEL

12. DISKRETNI LOGISTIČKI MODEL • Zadani početni uvjet x0 = 0,3 mijenjajući parametar λ, promatrana je funkcija unutar intervala I = [0,1]. • 0 < λ ≤ 1 populacija izumire neovisno o x0. Ovdje postoji jedna fiksna točka, a to je 0, jer je fλ (0) = 0.

13. DISKRETNI LOGISTIČKI MODEL

14. DISKRETNI LOGISTIČKI MODEL

15. DISKRETNI LOGISTIČKI MODEL

16. DISKRETNI LOGISTIČKI MODEL • Za 3,45 < λ ≤ 3,54 sustav oscilira između 4 vrijednosti.

17. KAOTIČNI SUSTAVI • U λ = 3,57 je početak kaotičnog ponašanja sustava. Za vrlo male promjene početne populacije dolazi do značajnih promjena s vremenom. Daljnjim povećanjem perioda sustav postaje sve kaotičniji.

18. KAOTIČNI SUSTAVI

19. KAOTIČNI SUSTAVI • Za vrijednosti λ u rasponu 3,5699 < λ ≤ 3,8284 funkcija se ponaša prema tzv. Pomeau–Manneville scenariju. Njega karakterizira periodična faza isprekidana nasumičnom pojavom kaotičnih vrijednosti. Taj scenarij se primjenjuje kod uređaja s poluvodičima.

20. KAOTIČNI SUSTAVI • Za λ > 4 vrijednosti funkcije za sve početne x0 ne nalaze se u intervalu [0,1].

21. ZAKLJUČAK • Moguće je provjeriti dinamiku sustava za sve vrijednosti λ, uz bilo koju odabranu početnu vrijednost, kao i proizvoljan broj iteracija. • sustav opisan dinamičkim logističkim modelom prolazi kroz sve faze koje dinamički sustav može manifestirati– počinje sa stabilnim fiksnim točkama te završava u kaosu • Kaos obilježavaju velika osjetljivost na početne uvjete i nemogućnost predviđanja vremenskih nizova

22. LITERATURA • http://www.inet.hr/~ivnakic/kaos/2-1-Uvod_u_kaoticne_sustave.htm • http://elgrunon.wordpress.com/ • http://e.math.hr/old/logisticko/index.html • http://hr.wikipedia.org/wiki/Teorija_kaosa • http://www.fsb.hr/matematika/download/ZS/razno/eksponencijalni_i_logisticki_rast • http://en.wikipedia.org/wiki/Logistic_map

23. HVALA NA PAŽNJI!