TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE Tema 13.3 * 2º BCS

1. TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITETema 13.3 * 2º BCS Matemáticas 2º Bachillerato CS

2. DISTRIBUCIONES MUESTRALES DE MEDIAS • El objetivo de nuestro estudio estadístico es poder extender a la población lo que obtengamos de una muestra. • Imagina que de la población formada por todos los alumnos del instituto, extraes aleatoriamente una muestra de 40 alumnos, y les preguntas por su edad, encontrando que la edad media obtenida es de 15,8 años. • Pero, ¿qué ocurriría, si extrajéramos otra muestra?. • ¿Coincidirían las medias? • ¿Y coincidirían con la media de la población?. • Aunque no coincidan deberían estar bastante próximas. • Pero, ¿cuánto de próximas?. Matemáticas 2º Bachillerato CS

3. TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE • Imagina que tienes una población con media μ  y desviación típica σ. y que extraes aleatoriamente todas las posibles muestras, todas ellas de tamaño n. Si obtuvieras las medias de todas estas muestras, y las consideras una distribución de datos (la distribución muestral de medias), comprobarías que: • a) La media de los datos, es la media μ  de la población , es decir la media de las medias de las muestras, es igual que la media de la población. • b) Estas medias se distribuyen alrededor de la media  de la población, con una desviación típica (llamada desviación típica de la media) igual a la de la población dividida por la raíz de n, es decir, la desviación típica de la media es σ / √n • c) La distribución de las medias muestrales, es una distribución  de tipo "normal", siempre que la población de procedencia lo sea, o incluso si no lo es, siempre que el tamaño de las muestras sea 30 o mayor. N( μ , σ / √n ) • Lo que en definitiva establece el TCL, es que la distribución de la media, o de las sumas, de diferentes valores da como resultado una distribución normal.  Matemáticas 2º Bachillerato CS

4. EJEMPLO DEL TCL • Una compañía aérea sabe que el equipaje de sus pasajeros tiene como media 25 kg. con una d.t. de 6 kg.  • Si uno de sus aviones transporta a 50 pasajeros, el peso medio de los equipajes de dicho grupo estará en la distribución muestral de medias • La probabilidad de que el peso medio para estos pasajeros sea superior a 26 kg sería: • Si el avión no debe cargar más de 1300 kg en sus bodegas, la media del conjunto de los 50 pasajeros no debe superar los • En consecuencia en un 11,9% de los casos los aviones de esta compañía superan el margen de seguridad. Matemáticas 2º Bachillerato CS

5. Ejercicios • 1.- Sabemos que el tiempo medio de espera en las colas del Banco "El interés interesado" es de 15 min. con una desviación típica de 5 minutos. Si tomásemos al azar a un grupo de 35 clientes: • a) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo medio de espera del grupo fuera menor de 17 minutos? • b) ¿Cuál es la probabilidad de que estuviera entre 12 y 16 minutos? • c) ¿Entre qué valores se encontraría el tiempo medio con una seguridad del 95%?. ¿Y del 99%?. • 2.- En un almacén se trabaja con bultos de igual volúmen, cuyo peso se distribuye según N(250,45) expresados en kg.  Los elevadores encargados de su transporte dentro del almacén, pueden aguantar hasta un peso máximo total de 2000 kg. Si la empresa decide que las carretillas se carguen con 7 bultos cada vez: • a) ¿Cuál es la probabilidad de que se supere el peso máximo de seguridad? • b) ¿Cuántos bultos de cada vez harían falta para que dicha probabilidad fuera menor del 0,1%? Matemáticas 2º Bachillerato CS

6. 3.- En unos grandes almacenes, la media de los salarios es de 630 €, con una d.t. de 150 €. • Si preguntáramos a 35 empleados elegidos aleatoriamente, por su sueldo, ¿cuál es la probabilidad de que la media correspondiente a los 35 fuera inferior a 600 €?   • 4.- En unas negociaciones sindicales correspondientes al sector turístico, la patronal alega que en un establecimiento tipo de 40 empleados, en el 90% de los casos la suma de los sueldos mensuales pagados superan los 30.000 €. • Los sindicatos disponen de cifras oficiales según las cuales, en el sector la media de sueldos es de 720 € con una d.t. de 60 €. • ¿Pueden rebatir "estadísticamente" lo alegado por la patronal? • Los sindicatos te piden redactar un informe ilustrado con cifras que les permita contestar a la patronal. • Hemos estudiado ya el T.C.L., que nos permite conocer de que forman se distribuyen las medias de las muestras de una población. Matemáticas 2º Bachillerato CS

7. Consecuencias del TCL • Veamos algunas de las ventajas que nos aporta el teorema central del Iímite: • I. Control de la medias muestrales • En una población de media μ y desviación típica σ, nos disponemos a extraer una muestra de tamaño n. Antes de hacerlo, sabemos que la distribución de las medias, X, de todas las posibles muestras es N(μ,σ) y, por tanto, podemos averiguar la probabilidad de que la media de una muestra concreta esté en un cierto intervalo. • II. Control de la suma de todos los individuos de la muestra. • Puesto que ∑x = n.x, sabemos que ∑x se distribuye normal de medias n.μ y desviación típica n.σ/√n = σ.√n • Por tanto, podemos calcular cuál es la probabilidad de que la suma de los elementos de una muestra esté, a priori, en un cierto intervalo. • III. Inferir la media de la población a partir de una muestra. • Esta es la aplicación más importante del teorema central del límite. A partir de una muestra se pueden extraer conclusiones válidas sobre la media de la población de partida. Lo veremos más adelante. Matemáticas 2º Bachillerato CS

8. EJEMPLO_1 • Si tenemos una población con media 250 y desviación típica 50 y tomamos una muestra de tamaño 49. ¿Qué probabilidad hay de que la media de esta muestra se encuentre entre los valores 249 y 251? • Resolución • La variable aleatoria X de la población es una normal N(μ , σ): • N(250, 50). • La variable aleatoria X de las medias muestrales se aproxima a una normal N(μ , σ /√n): • N(250, 50/ √49) = N(250 , 7´14) • Luego … • P(249 ≤ X ≤ 251) = P((249 – 250)/7´14) ≤ Z ≤ (251– 250)/7´14)= • = P(-0,14 ≤ Z ≤ 0,14)= 2.P(Z ≤ 0,14) – 1 = 0,1114 Matemáticas 2º Bachillerato CS

9. EJEMPLO_2 • Si tenemos una población con media 250 y desviación típica 50 y tomamos una muestra de tamaño 400. ¿Qué probabilidad hay de que la media de esta muestra se encuentre entre los valores 249 y 251? • Resolución • La variable aleatoria X de la población es una normal N(μ , σ): • N(250, 50). • La variable aleatoria X de las medias muestrales se aproxima a una normal N(μ , σ /√n): • N(250, 50/ √400) = N(250 , 2,50) • Luego … • P(249 ≤ X ≤ 251) = P((249 – 250)/2,50) ≤ Z ≤ (251– 250)/2,50)= • = P(-0,4 ≤ Z ≤ 0,4)= 2.P(Z ≤ 0,4) – 1 = 0,3108 • Como se aprecia, al ser mayor la muestra, la probabilidad es mayor que antes. Matemáticas 2º Bachillerato CS