第 3 章受弯构件的正截面承载力计算

1. 第3章受弯构件的正截面承载力计算 学习目标 1．熟悉受弯构件正截面受弯的受力全过程。 2．了解受弯构件的一般构造。 3．掌握正截面受弯承载力的基本计算原理。 4．能对单筋矩形截面、双筋矩形截面、T形截面正截面受弯承载力进行娴熟、准确的计算。

2. 学习重点1．适筋梁、超筋梁、少筋梁的受力特点，ρmin及ρb的意义。2．正截面受弯承载力计算的基本假定。3．单筋矩形截面、双筋矩形截面、T形截面受弯承载力计算。学习建议 本章是全书的重点内容，是其后各章的基础，所以一定要学好。要在深刻理解重要概念、基本原理的基础上，熟练掌握三种截面正截面计算的方法，对构造规定，也要着眼于理解，切忌死记硬背。作习题前，应先复习教学内容，搞懂例题，不能边看例题边作习题。

3. §3.1单筋矩形截面正截面承载力计算 受弯构件：截面上承受弯矩和剪力的构件； 正截面：与构件轴线垂直且仅有正应力的截面； 正截面受弯承载力计算目的：确定纵向钢筋； 实际工程中的受弯构件：梁、板、雨蓬及楼梯。

4. §3.1.1梁、板的一般构造 • 一.截面形状与尺寸 • 1.截面形状：矩形、T形、异形 • 2.截面尺寸 • （1）确定原则 • A.考虑模板模数；B.尽量统一、方便施工。 • （2）梁的截面高度大于其宽度； • （3）板宽可取1米计算，板厚见P24。

5. 二.材料选择与一般构造 1.混凝土强度等级：C20~C40； 2.钢筋强度等级和常用直径 （1）梁 A.受力筋用Ⅱ级或Ⅲ级；常用直径12mm-25mm； B.箍筋用Ⅰ级或Ⅱ级；常用直径6mm-10mm。

6. （2）板 A.受力筋用Ⅱ级；常用直径6mm-12mm； B.分布筋：a.作用是使受力筋均匀受力和抵抗温度应力；b.钢筋级别和直径同受力筋。

7. （3）纵向受拉钢筋的配筋百分率 A.计算公式：ρ=AS/bh0=xα1fC/h0fy B.物理意义：简称配筋率，反映截面上钢筋的相对用量。 3.混凝土保护层 （1）作用：保护钢筋不锈蚀、防火及确保粘结力； （2）计算：受力钢筋外表面到截面边缘的垂直距离； （3）规定：保护层厚度与构件受力情况、混凝土级别及所处环境类别有关，具体数值见规范

8. §3.1.2受弯构件正截面受弯的受力全过程 一.适筋梁正截面受弯的三个受力阶段 1.适筋梁正截面受弯承 载力的实验 （1）适筋截面：配筋率 比较适当的截面； （2）适筋梁：具有适 筋截面的梁； （3）实验设计：见图3-5

9. A.简支梁、三分点加集中力、获取纯弯段； B.集中力从零逐步加至梁破坏。

10. （4）实验过程分析，见P27图3-6。 A.三阶段的划分原则： 第Ⅰ阶段：弯矩从零到受拉区边缘即将开裂，结束时称为Ⅰa阶段，其标志为受拉区边缘混凝土达到其抗拉强度 （或其极限拉伸应变 ） ； 第Ⅱ阶段：弯矩从开裂弯矩到受拉钢筋即将屈服，结束时称为Ⅱa阶段，其标志为纵向受拉钢筋应力达到 ；

11. 第Ⅲ阶段：弯矩从屈服弯矩到受压区边缘混凝土即将压碎，结束时称为Ⅲa阶段，其标志为受压区边缘混凝土达到其非均匀受压时的极限压应变 。 B.各阶段受力分析：见P27图3-6。 C.三阶段划分的理论意义：是今后推导相关计算公式的理论基础，例如： Ⅰa ：抗裂验算的依据； Ⅱa ：裂缝宽度及变形验算的依据； Ⅲa ：正截面受弯承载力计算的依据 ；

12. 阶段

13. 二.正截面受弯的三种破坏形态，见图3-7。 1.适筋破坏形态，其特点是：（1） ； （2）受拉钢筋先屈服，受压区混凝土后压碎； （3）破坏前有预兆，属延性破坏。

14. 2. 超筋破坏形态，其特点是： （1） ； （2）受压区混凝土压碎时，受拉钢筋未屈服； （3）破坏前无预兆，属脆性破坏。

15. 3.少筋破坏形态，其特点是： （1） ； （2）受拉区混凝土一开裂，受拉钢筋即屈服； （3）破坏前无预兆，属脆性破坏。

16. 4.界限破坏，其特点是： （1） ； （2）受拉钢筋屈服的同时，受压区混凝土压碎； （3）是适筋与超筋的界限。

17. §3.1.3正截面承载力计算原理 一.正截面承载力计算的基本假定 1.平均应变沿截面高度线性分布； 2.忽略受拉区混凝土的抗拉强度； 3.混凝土受压时的应力-应变关系为曲线，混凝土非均匀受压时的极限压应变为0.0033，见下图； 4.钢筋的应力-应变关系为完全弹塑性，见下图；

18. 混凝土 应力-应变关系 钢筋 应力-应变关系

19. 二.受压区混凝土压应力的合力及其作用点 1.问题的提出：求钢筋用量，由下图建立平衡方程： 即可解出钢筋用量。 2.符号说明： 称为相对受压区高度，其余见书上。 （a) (b) 图4-10

20. 三.等效矩形应力图 1.问题的提出：由图（3-8）a求解，均需要进行积分运算，为避免之，欲将图3-10中的（a) 换成（b）图； 2.换算对象：混凝土压应力分布图形； 3.换算原则：将曲线分布换算成矩形分布，保持合力大小及作用点不变。 4.换算结果： ， 等效矩形应力特征值，砼≤C50，取1.0。

21. 四.适筋梁与超筋梁的界限及界限配筋率 1.根据下图及三角形相似关系可建立适筋梁与超筋梁的界限（用界限相对受压区高度描述）； 图3-11

22. 2.建立的界限相对受压区高度用公式P29（3-1）计算。特别说明： 为等效矩形应力图形中的界限相对受压区高度（可查表3-1）， 为等效矩形应力图形中的受压区高度。 3.建立的界限配筋率用P29公式（3-4）计算。 4.结论：当 时，为超筋； 当 时，为界限破坏。

23. 五.适筋梁与少筋梁的界限及最小配筋率 1.确定原则：具有最小配筋率的钢筋混凝土梁与同条件的素混凝土梁的承载力相等； 2.最小配筋率的具体数值见规范。 取45ft/fy同时不应小于0.2%

24. §3.1.4单筋矩形截面受弯构件正截面受弯承载力计算单筋矩形截面：仅在截面受拉区配置纵向受力钢筋或计算时仅认为截面受拉区的纵向钢筋参与受力。§3.1.4单筋矩形截面受弯构件正截面受弯承载力计算单筋矩形截面：仅在截面受拉区配置纵向受力钢筋或计算时仅认为截面受拉区的纵向钢筋参与受力。

25. 基本计算公式及适用条件 1.基本计算公式:根据图3-10，由力及力矩平衡条件可得基本公式 （3-5） 及 （3-6） 或 （3-7）。

26. 2.适用条件 （1）防止超筋破坏：应满足公式（3-8）； ξ=x/h0≤ξb或x≤ξbh0 （2）防止少筋破坏：应满足公式（3-9）； 3.单筋矩形截面能承担的最大弯矩由公式确定，可看出，该最大弯矩仅与混凝土级别、钢筋级别和截面尺寸有关，与钢筋用量无关。 Mumax=α1fcbh02ξb（1-0.5ξb）

27. §3.1.5计算方法 一、截面承载力计算的两类问题 1.截面设计：已知弯矩、材料等级、环境类别和截面尺寸，求纵向受力钢筋截面面积。 求解步骤：（1）根据环境类别和混凝土等级确定混凝土保护层厚度C； （2）初选钢筋直径d，计算截面有效高度 ； 梁： ，一层钢筋； 二层钢筋

28. 板： （3）根据混凝土等级确定系数 ； （4）由方程（3-6）求解 ， 若 ，则由方程（3-7）求解 并验算最小配筋率； 若 ，则需加大截面尺寸或提高混凝土等级或改用其它办法 。 （5）根据 选择根数和直径（查附表）。

29. 2.截面复核：已知纵向钢筋用量、截面尺寸和材料等级，求所能承担的弯矩。2.截面复核：已知纵向钢筋用量、截面尺寸和材料等级，求所能承担的弯矩。 求解步骤：（1）由公式（3-5）（3-12）求解 ， （2）若满足适用条件，则由公式 求解弯矩；（3）若 ，则由公式MU.max=α1fCbh02ξb(1-0.5ξb)求解弯矩。 （4）注意 M与MU的区 别 。

30. 二.正截面受弯承载力的计算系数与计算方法 解题步骤（用于截面设计问题）： 1.求解截面抵抗矩系数： 2.利用公式求ξ或γs； 3.验算适用条件； 4.利用公式As=M/γsfy h0 求解纵向钢筋用量。 四.有关例题的说明 见P.34~35

31. §3.2双筋矩形截面受弯构件的 正截面受弯承载力计算 一.概述 1.双筋截面：截面受拉和受压区均布置有纵向钢筋，且在计算中考虑它们受力； 2.在受压区布置受力钢筋是不经济的； 3.何种情况下设计双筋截面： （1）梁截面尺寸受到限制同时混凝土等级不能提高； （2）在多种荷载组合下，梁承受异号弯矩。

32. 二.计算公式和适用条件 计算公式： 根据下图 由力的平衡条件和力矩的平衡条件即可建立基本计算公式（3-21）和（3-22）；

33. （3-21） （3-22） 2.适用条件 （1） 确保纵向受拉钢筋屈服； （2） 确保受压钢筋屈服。

34. 3.讨论 （1）如果不满足适用条件（2），说明受压钢筋不能屈服，此时不能应用基本计算公式。由于受压区高度x较小，可假定： ，即认为受压钢筋合力作用点与混凝土压应力合理作用点重合，然后对该作用点处取矩，则可推出公式（3-25）。

35. （2）关于受压钢筋抗压强度取值问题：根据平截面假定，利用相似三角形原理可推得：当受压区混凝土边缘即将压坏时，受压钢筋合力作用点处的压应变为0.00189（可近似取0.002），由变形协调关系可知，普通钢筋是可以受压屈服的，但高强钢筋不能屈服。（2）关于受压钢筋抗压强度取值问题：根据平截面假定，利用相似三角形原理可推得：当受压区混凝土边缘即将压坏时，受压钢筋合力作用点处的压应变为0.00189（可近似取0.002），由变形协调关系可知，普通钢筋是可以受压屈服的，但高强钢筋不能屈服。

36. 三.计算方法 1.截面设计 （1）情况1：已知截面尺寸、材料等级环境类别及弯矩，求纵向受拉和受压钢筋截面面积。 求解步骤： A.令 ；（钢筋总用量最少且减少一个未知数。） B.由公式（3-22）求受压钢筋截面面积； C.由公式（3-21）求受拉钢筋截面面积。

37. （2）情况2：已知截面尺寸、材料等级环境类别、弯矩及受压钢筋截面面积，求纵向受拉钢筋截面面积。（2）情况2：已知截面尺寸、材料等级环境类别、弯矩及受压钢筋截面面积，求纵向受拉钢筋截面面积。 求解步骤： A.由公式（3-22）求解 ； B.若 ，则由公式（3-21）求 解纵向受拉钢筋截面面积； C.若 ，则由公式（3-25）求解纵向受拉钢筋截面面积； D.若 ，则表明所给的受压钢筋截面面积太少，应重新求，此时按情况1求解。

38. 2.截面复核 已知截面尺寸、材料等级、环境类别、受压钢筋截面面积及受拉钢筋截面面积，求截面能承担的弯矩。 求解步骤： A.由公式（3-21）求解受压区高度x； B.若 ，由公式（3-22）求M； C.若 ，由P36公式求M； D.若 ，则将X= h。代入式3-22求M；

39. §3.3 T形截面受弯构件正截面受弯承载力计算 一.概述 1.考虑采用T形截面的原因： （1）根据单筋矩形截面计算公式（3-5）可知，截面受拉区宽度不影响承载力，且将纵向受拉钢筋集中布置在截面中心处时，承载力不变，因此，可将受拉区部分混凝土挖去，如下图所示； （2）整体式肋形楼盖的梁截面也应考虑为T形截面，如图所示。

41. 2.关于T形截面梁翼缘上压应力分布 （1）T形截面梁翼缘上压应力分布不均匀，中间较大，靠近边缘处较小，如P38图（3-12）所示； （2）为计算简单，假定中间一定范围内为均匀分布，该范围的长度称为翼缘的计算宽度，其具体取值见P38表3-3。

42. 二.计算公式及适用条件 1.类型的判断 （1）根据下图：

43. 由力和力矩的平衡，可导出判断条件：若 第一类T型 （3-28）若 第二类T型 （3-29）进行承载力校核时，：若 第一类T型 （3-30）若 第二类T型 （3-31）

44. （2）注意类型判断公式的适用场合。 2.计算公式及适用条件 （1）第一种类型的计算公式 由力和力矩平衡条件即可推出计算公式 （3-32） （3-33）；

45. （2）第一种类型的适用条件 A. —确保受拉钢筋屈服（能满足）； B. —防止少筋破坏；注意此处的最小配筋率。

46. （3）第二种类型的计算公式 根据P61图（4-25），由力和力矩平衡条件即可推出计算公式， （3-35） （3-36）；

47. （4）第二种类型的适用条件 A. —确保受拉钢筋屈服（能满足）； B. —防止少筋破坏。 3.计算方法 （1）截面设计：已知截面尺寸、材料等级环境类别及弯矩，求受拉钢筋截面面积。

48. 求解步骤： A. 判断类型； B.若为第一种类型，则用公式（3-28）和（3-29）联立求解，具体方法同 的单筋矩形梁； C.若为第二种类型，则用公式（3-35）和（3-36）联立求解；此种情况也可看成是“双筋”矩形梁。 （2）截面复核：已知截面尺寸、材料等级、环境类别、受压钢筋截面面积及受拉钢筋截面面积，求截面能承担的弯矩。

49. 求解步骤： A. 判断类型； B.若为第一种类型，则用公式（3-28）和（3- 29）联立求解； C.若为第二种类型，则用公式（3-35）和（3- 36）联立求解。 本章结束

50. 补充习题： 1.双筋矩形截面梁承受恒载弯矩标准值150 ，活荷载弯矩标准值100 ，截面尺寸为200*500mm,混凝土等级为C20，钢筋为HRB335，环境类别为一级，安全等级为二级，试求纵向钢筋截面面积，并作截面配筋示意图。 2.双筋矩形截面梁截面尺寸位200*500mm，混凝土等级C20，受拉区配HRB335钢筋；受压区已配HPB235钢筋 ，环境类别为一级，安全等级为二级，承受弯矩设计值200 ，求纵向受拉钢筋截面面积，并作截面配筋示意图。