Lógica Matemática

1. Lógica Matemática Cuantificadores Ing. Patricia Del Valle Morales

2. Proposiciones abiertas Los enunciados que contienen al menos una variable reciben el nombre de proposiciones abiertas. Ejemplo: “El número x+2 es un número par” X = 1, -3, 5 la proposición abierta es falsa X = -4,0,2 la proposición abierta es verdadera • Definición: Una frase declarativa es una proposición abierta si, • Contiene una o más variables, y • No es una proposición, pero • Se convierte en una proposición cuando las variables que aparecen • en ella se reemplazan por ciertas opciones permisibles. • Esas opciones permisibles son el universo o el universo de discurso para • la proposición abierta

3. Sintaxis: p(x) : El número x+ 2 es un número par p(x): El número x+ 2 no es un número par q(x,y): los números y+2, x-y y x+2y son enteros pares Cuando sustituimos las variables por un elemento del universo que representan todos los números reales, tenemos que: p(5) : El número 5+ 2 es un número par (FALSO) p(7): El número 7+ 2 no es un número par (VERDADERO) q(4,2): los números 4,2 y 8 son enteros pares (VERDADERO)  q(5,2): los números 4,3 y 9 son enteros pares (FALSO) Por lo tanto, para ambas expresiones p(x) y q(x,y) según los valores dados, algunas sustituciones producen proposiciones verdaderas y otras producen proposiciones falsas.

4. Tipos de cuantificadores Las frase “para algún x” y “para todos x,y” cuantifican las proposiciones abiertas p(x) y q(x,y) respectivamente. • Cuantificador existencial: x “para algún x” “para al menos un x” “existe un x tal que” xp(x) x y q(x,y) o x,y q(x,y) • Cuantificador universal: x “para toda x” “para cualquier x” “para cada x” xp(x) x y q(x,y) o x,y q(x,y)

5. xp(x) proposición cuantificada P(x) Proposición abierta cambiar • Ejemplo: • Sea el universo el conjunto de números reales, y la proposición abierta • r(x) : “2x es un número par” • Entonces, la proposición cuantificada: • xr(x) • xr(x) • x r(x) • x  r(x) es verdadera para cualquier valor de nuestro universo con el que sustituyamos a x. es verdadera es falsa es falsa

6. Cuantificadores y conectivas lógicas Ejemplo: Sea el universo de todos los números reales y las proposiciones abiertas están dadas por: p(x): x >= 0 q(x): x^2 >= 0 r(x): x^2 - 3x -4 = 0 s(x): x^2 – 3 > 0 Determine si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas: • x [ p(x) ^ r(x) ] • x [p(x)→q(x)] Con x=4 es un elemento del universo tal que Las 2 proposiciones p(4) y q(4) son verdaderas Con x= - a es un elemento del universo tal que p(-a) es falsa y q(-a) es verdadera, entonces: falso → verdadero es verdadero. Con x= + a es un elemento del universo tal que p(a) es verdadera y q(a) es verdadera, entonces: verdadero → verdadero es verdadero.

7. Ejemplo: (continuación) Sea el universo de todos los números reales y las proposiciones abiertas están dadas por: p(x): x >= 0 q(x): x^2 >= 0 r(x): x^2 - 3x -4 = 0 s(x): x^2 – 3 > 0 Determine si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas: • x [ q(x) → s(x) ] • x [r(x) V s(x)] Con x=1 es un elemento del universo tal que q(1) es verdadero y s(1) es falso, por lo tanto VERDADERO→FALSO, la proposición es FALSA Con x= 1 es un elemento del universo tal que r(1) es falsa y s(1) es falsa, entonces: FALSOvFALSO ,es una proposición FALSA.

8. Tarea: • Sea el universo de todos los números reales y las proposiciones abiertas están dadas por: p(x): x >= 0 r(x): x^2 - 3x -4 = 0 Determine el valor de verdad de la siguiente proposición: x [ r(x) → p(x) ]

9. Teoría de conjuntos • Conjuntos Y Subconjuntos • Operaciones de conjuntos • Unión • Intersección • Resta de conjuntos • Leyes de la teoría de conjuntos • Diagramas de Venn

10. 1. Conjuntos y subconjuntos Un conjunto es una colección bien definida de objetos. Estos objetos se llaman elementos y se dice que son miembros del conjunto. Sintaxis: A,B,C,.. Para representar los conjuntos (letras mayúsculas) w,x,y,… Para representar los elementos (letras minúsculas) Definición de un conjunto: A es un conjunto formado por los diez primeros números enteros positivos A = {1,2,3,4,5,6,…10} A = {x | x es un entero y 1<= x <= 10} | se lee “tal que” {x |…} se lee como “el conjunto de todos los x tal que …” 1  A 1 es un elemento del conjunto A -5  A -5 no es un elemento del conjunto A

11. Conjuntos finitos Conjunto infinito Al trabajar con conjuntos finitos o infinitos, se deben describir los conjuntos en términos de las propiedades que deben satisfacer sus elementos. Ejemplos: Si u = {1,2,3,4,5,…} el conjunto de los números enteros positivos, sean: A = {1,4,9,…,64,81} = { x^2 | x  u, x^2 < 100} = { x^2 | x  u Λx^2 < 100} = { x  u | x^2 < 100} B = {1,4,9,16} = { y^2 | y  u, y^2 < 20} = { y^2 | y  u Λ y^2 < 23} = { y  u | y^2 <= 16} C = {2,4,6,8,…} = {2k | k  u

12. El Cardinal o tamaño de un conjunto: |A| = 9 |B| = 4 Definición de Subconjunto: Si C, D son conjuntos del universo U, decimos que C es un subconjunto de D y se escribe : C  D si cada elemento de C es un elemento de D. C  D  D  C Si además , D contiene un elemento que no esta en C , entonces C es un subconjunto propio de D y se escribe como: C  D.

13. Uso de cuantificadores: Y si x [ x  C →x  D} , entonces C  D Aquí el cuantificador universal indica que debemos considerar cada elemento x del universo dado U. Sin embargo sabemos que la implicación x  C →x  D es verdadera independientemente del valor de verdad de la proposición x  D, pñor lo que solo debemos considerar los reemplazos en los que la proposición x  C sea verdadera. Además para todos los subconjuntos C,D de U : C D → C  D Y cuando C, D son finitos: C  D → |C| <= |D| C D → |C| < |D|

14. No hay restricciones en cuanto a los objetos que pueden ser miembros de un conjunto. Ejemplos: 1) S = {a, {1, 2}, p, {q}} {q}  S el conjunto {q} es miembro de S q  {q} el elemento q es miembro del conjunto {q} Pero q  S el elemento q no es miembro de S 2) Si A = {{1}, 2, 3}, entonces: • 2  A • {2, 3}  A • 1  A • {1}  A • {{1}, 2}  A • {{1}}  A

15. A  U • A  U • A  U • {A}  U • {A}  U • {A}  U 3) U = {1,2,3,4,5,6,x,y, {1,2}, {1,2,3} , {1,2,3,4}} , |U| = 11 Si A = {1,2,3,4} entonces |A| = 4 4) Sea B = {5,6,x,y,A} = {5,6,x,y,{1,2,3,4}},entonces |B| = 5 • A  B • {A}  B • {A}  B • {A}  B • {A}  B ( A no es un subconjunto de B) • A  B ( A no es un subconjunto propio de B)

16. Propiedad reflexiva y transitiva de los conjuntos Sean A, B,C  U, • A  A (propiedad reflexiva) • (A  B)  (B  C)  (A  C) (propiedad transitiva) • (A  B)  (B  C)  (A  C) (propiedad transitiva) • (A  B)  (B  C)  (A  C) (propiedad transitiva) • (A  B)  (B  C)  (A  C) (propiedad transitiva)

17. Conjuntos iguales Dos conjuntos A y B son iguales si y solo si A  B y B  A A = B  (A  B)  (B  A) A = B  x {x| x  A  x  B} Ejemplos: • {1, 2, 4} = {1, 2, 2, 4} • {1, 4, 2} = {1, 2, 4} • Si P = {{1,2}, 4} y Q = {1, 2, 4}, entonces P  Q • {{1}}  {1} • Si U = {1,2,3,4,5}, A = {1,2} y B = {x|x^2  U }= {1,2}, entonces A = B

18. Conjunto universal Un conjunto se llama conjunto universal si incluye todos los conjuntos en discusion, y se denota por la letra E. Conjunto Vacío Es un conjunto que carece de elementos. Se llama conjunto vacío, y se representa por ø o { }. Observe que |ø| = 0 pero {0}  ø, así mismo ø {0} Ejemplo: si C = { x / x3 = 8 y x es impar }   entonces  C = { }  o C = Ø Nota : Sea A  U, entonces Ø A, y si A Ø, entonces Ø  A

19. Familia de conjuntos Para un conjunto A cualquiera, a la coleccion o familia de todos los subconjuntos de A se le llama conjunto potencia de A y se denota por (A). Ejemplos: • Si M = { 1, 2 }  El conjunto M tiene 2 elementos Entonces 2^M = { {1}, {2}, M, ø}, es decir (M)= 2^2 = 4 posibles subconjuntos de M • Si M = { 1, 2, 3 }  El conjunto M tiene 3 elementos 2^M = { {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, M, ø}  entonces (M)= 2^3 = 8 posibles subconjuntos de M

20. Operaciones de conjuntos y las leyes de la teoría de conjuntos

21. A B A B A B A U B A U B A U B Unión de conjuntos La unión de dos conjuntos A y B, que se denota como A  B, es el conjunto de todos los elementos que pertenecen al conjunto A o al conjunto B o a ambos. A  B = {x| (x  A)  (x  B) } Extrapolando: A  B  C = {x| (x  A)  (x  B)  (x  C)} La unión de dos conjuntos es conmutativa, asociativa y reflexiva.

22. Ejemplo: • Dados los conjuntos: A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 },B = { 0, 2, 4 } y C = { 5, 6, 8 }, efectuar y construir los diagramas de Venn respectivos: • A U C = { 0, 1, 2, 3, 4,5, 6, 8 } • B U C = {0,2,4,5,6,8} • A U B = {0,1,2,3,4,5}

23. Intersección de conjuntos La intersección de dos conjuntos A y B, se denota como A  B, y es el conjunto de todos los elementos que estan contenidos tanto en A como en B. A  B = {x| (x  A)  (x  B)} A  B = B  A A  A = A A   =  La intersección en conjuntos es asociativa y conmutativa. Nota: X  A  B (X  A X  B)  X  A Por la regla de la simplificación de la conjuntiva: X  A  (X  A X  B)  X  A UB

24. Diferencia simétrica: La diferencia simétrica de A y B se denota como : A  B = {x| (x  A  x  B)  x  A  B} = {x| (x  A  B)  x  A  B} Ejemplo: Si u = {1,2,3,…,9,10}, A = {1,2,3,4,5}, B ={3,4,5,6,7} y C = {7,8,9} , calcular las siguientes operaciones: • A  B = • B  C = • A  B = • A  C = • A  B = • A  C = • A  C =

25. Conjuntos disjuntos: Sean S, T  U. Los conjuntos S y T son disjuntos o mutuamente disjuntos si : S  T =  o S  T = S  T Complemento: Para un conjunto A  U, el complemento de A se denota por U- A o A : A = {x | x  U  x  A} Complemento relativo: Para A, B  U, el complemento relativo de A en B, se denota por B - A : B- A = {x | x  B  x  A}

26. Ejemplo: Si U = {1,2,3,…,9,10}, A = {1,2,3,4,5}, B ={3,4,5,6,7} y C = {7,8,9} , calcular las siguientes operaciones: A = B = C = B – A= C – A = A – B = A – A = A – C = U – A =

27. Leyes de la teoría de conjuntos

28. A = A • A  B = A B A  B = A  B • A  B = B  A A  B = B  A • A  (B  C) = (A  B)  C A  (B  C) = (A  B)  C • A  (B  C) = (A  B)  (A  C) A  (B  C) = (A  B)  (A  C) • A  A = A A  A = A • A   = A A  U = A