metoda r nic sko czonych n.
Download
Skip this Video
Loading SlideShow in 5 Seconds..
Metoda różnic skończonych PowerPoint Presentation
Download Presentation
Metoda różnic skończonych

Loading in 2 Seconds...

play fullscreen
1 / 30

Metoda różnic skończonych - PowerPoint PPT Presentation


  • 505 Views
  • Uploaded on

Metoda różnic skończonych. MRS została zaproponowana przez A. Thom’a w latach dwudziestych XX wieku, pod nazwą „metoda kwadratów”, dla rozwiązania nieliniowego równania hydro-dynamicznego. Od tego czasu, metoda znalazła zastosowania w rozwiązywaniu różnych problemów polowych.

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

Metoda różnic skończonych


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
metoda r nic sko czonych
Metoda różnic skończonych

MRS została zaproponowana przez A. Thom’a w latach dwudziestych XX wieku, pod nazwą „metoda kwadratów”, dla rozwiązania nieliniowego równania hydro-dynamicznego.

Od tego czasu, metoda znalazła zastosowania w rozwiązywaniu różnych problemów polowych.

Techniki różnic skończonych oparte są na przybliżeniach, które pozwalają na zastąpienie równania różniczkowego przez równania różnic skończonych. Te przybliżenia mają formę algebraiczną, wiążą wartość zmiennej zależnej w punkcie regionu rozwiązania z wartościami w kilku sąsiednich punktach.

slide2

Rozwiązanie problemu metodą różnic skończonych zamyka się w trzech krokach:

(1) podzielenie regionu rozwiązania na siatkę węzłów,

(2) przybliżenie danego równania różniczkowego przez równoważne równanie różnicowe, co opowiada zależności zmiennej zależnej w punkcie regionu rozwiązania od jej wartości w punktach sąsiednich,

(3) rozwiązywanie równań różnicowych podlegających określonym warunkom brzegowym i/lub warunkom początkowym.

Szczegółowy sposób postępowania jest podyktowany przez naturę rozwiązywanego problemu, region rozwiązania , i warunki brzegowe.

slide3

Najczęściej używane wzory siatki dla problemów dwuwymiarowych

  • prostokątna,
  • skośna,
  • trójkątna,
  • kołowa.
slide4

Konstrukcja przybliżenia (aproksymacji) danego równania różniczkowego różnicami skończonymi.

Dla danej funkcji f(x) można aproksymować jej pochodną (nachylenie, lub tangens) w punkcie P

przez nachylenie łuku PB dane przez formułę progresywnej różnicy funkcji

slide5

lub przez nachylenie łuku AP dane przez formułę wstecznej różnicy funkcji

lub przez nachylenie łuku AB dane przez formułę centralnej różnicy funkcji

Drugą pochodną f (x) w P można aproksymować jako:

slide6

czyli

Jakiekolwiek przybliżenie wartości pochodnej przez dyskretny układ punktów nazywa się przybliżeniem różnicy skończonej.

Zaprezentowane interpretacja różnic skończonych jest raczej intuicyjna. Bardziej ogólne wyrażenie można uzyskać z rozwinięcia funkcji w szereg Taylor’a.

slide7

Dodając te równania otrzymamy:

gdzie O(x)4 jest błędem wprowadzonym przez obcięcie szeregu. Mówimy, że ten błąd jest rzędu (x)4 lub po prostu O(x)4. Co oznacza, że O(x)4 jest nie większy niż (x)4. Zakładając, że błąd ten jest pomijalny otrzymamy:

Czyli taki sam wynik jak z rozważań intuicyjnych.

slide8

Odejmując rozwinięcia funkcji w szeregi, i pomijając wyrażeniarzędu (x)3 otrzymamy:

Wyższe rzędy aproksymacji uzyskuje się przez uwzględnienie większej liczby elementów szeregu. Nieskończona ilość elementów oznacza wyrażenie dokładne. Z powodów praktycznych szeregi są obcinane po wyrażeniach rzędu drugiego. W każdym rozwiązaniu dokonanym metodą różnic skończonych występuje taki błąd.

slide10

gdzie:

Mk - moment siły w k-tym przekroju belki (obciążenie belki)

E - moduł Younga (materiał belki)

Jk - moment bezwładności k-tym przekroju belki

D x - skala podziału belki (przyjęta z góry)

slide11

Zbadać ugięcie belki (rys)

gdzie:

a) dana belka

b) wykres momentów

c) ugięcie belki

slide12

Z rys a) określamy wartość momentów w p. 1, 2,.....,5

Wyznaczamy równania różnicowe w p. 1, 2, 3, 4, 5 :

slide13

Daje to następujący układ równań:

              układ 5 równań z 5 niewiadomymi

slide16

Więc ostatecznie:

co jest wynikiem ścisłym

(zgodnym z obliczeniami analitycznymi)

Wniosek:

Dokonano "prawidłowej" dyskretyzacji belki - dobrano właściwą ilość punktów k = 1....6.

slide17

Stosując metodę różnic skończonych do znalezienia funkcji (x, t), dzielimy region rozwiązania w płaszczyźnie x−t na prostokąty lub siatki o bokach x i t.

Współrzędne x, t i funkcja (x, t), w punkcie P:

r wnanie paraboliczne
Równanie paraboliczne

Równanie dyfuzji

Ekwiwalentne równanie różnicowe

progresywna formuła różnicowa dla t

i centralna dla x.

r wnanie hyperboliczne
Równanie hyperboliczne

Równanie falowe

Ekwiwalentne równanie różnicowe

r wnanie eliptyczne poisson a
Równanie eliptyczne (Poisson’a)

centralna formuła różnicowa

Równanie dla węzła i,j

Gdy

równanie Laplace’a

slide22

Schemat można przedstawić symbolicznie :

  • Aproksymacja drugiego rzędu,
  • (b) Aproksymacja czwartego rzędu
slide23

Otrzymujemy układ równań algebraicznych, którego macierz, najczęściej, jest macierzą rzadką.

Powstaje konieczność stosowania odpowiednich technik rozwiązywania takich układów równań zarówno ze względu na błędy obliczeń jak również na ich szybkość, związaną głównie z wielkością pamięci MC.

slide24

Metoda pasmowa

[A] macierz rzadka (ma wiele elementów zerowych)

[X] macierz kolumnowa nieznanych wartości (free nodes)

[B] macierz kolumnowa znanych wartości (fixed nodes)

Rozwiązanie przez odwrócenie macierzy

lub eliminację Gaussa.

slide25

Poza metodą pasmową do rozwiązania układu równań najczęściej stosuje się metody:

  • iteracyjną (kolejnych przybliżeń)
  • nadrelaksacyjną
  • przebiegania
  • mieszaną (iteracji i przebiegania)

W metodzie iteracyjnej węzłom granicznym przypisujemy zadane wartości AS, a pozostałym wartości dowolne (np. zerowe albo oczekiwane). Następnie korzystając z uzyskanych zależności obliczamy wartości A w każdym węźle, korzystając z danych węzłów sąsiednich. Jest to pierwsze przybliżenie. Następnie powtarzamy operację tyle razy, aż dla funkcji siatkowej Ah w każdym węźle uzyskamy zadaną dokładność

gdzie: j = 1,2,3 ... numer kolejny iteracji

e - założona dokładność

slide26

Proces iteracji można przyspieszyć stosując metodę nadrelaksacji tzn. zastępując równanie:

równaniem

gdzie r - współczynnik relaksacji

Gdy r = 1 metoda relaksacji jest równoważna metodzie iteracyjnej. Przyjęcie r>1 (zwykle 1,1 - 1,3) uzyskujemy znaczne przyspieszenie redukcji błędu.

Za bardziej skuteczną od metody iteracyjnej uważa się metodę przebiegania z wykorzystaniem tzw. schematu niejawnego.

slide27

W rozwiązaniu numerycznym problemu fizycznego występują trzy rodzaje nieuniknionych błędów:

• błędy modelowania,

• błędy obcinania (dyskretyzacji)

• błędy zaokrągleń

Każdy z tych błędów obniża jakość rozwiązania.

Błędy modelowania wynikają z założeń przyjętych w modelu matematycznym. Np. układ nieliniowy może być zamodelowany równaniem liniowym.

slide28

Błędy obcinania wynikają z obcięcia wyrazów nieskończonego szeregu Taylora. Mogą być zmniejszone przez zmniejszenie wymiarów siatki (h) lub uwzględnienie większej liczby wyrazów szeregu (aproksymacja wyższych rzędów).

Błędy zaokrągleń wynikają z dokładności obliczeń komputera. Mogą być zmniejszone przez zastosowanie arytmetyki liczb podwójnej precyzji lub najlepiej, liczb całkowitych.

slide29

Zalety metod różnicowych

1. Łatwa konstrukcja siatki, szczególnie prostokątnej,

2. Proste wzory dla siatki ze stałym krokiem,

3. Oszczędne w wymaganiach co do pamięci mc,

4. Łatwa organizacja algorytmu, proste zagęszczanie,

przez połowienie siatki i metody iteracyjne szybko zbieżne

dzięki dobremu startowi,

5. Można stosować do ośrodków niejednorodnych

i anizotropowych oraz do ośrodków nieliniowych.

slide30

Wady metod różnicowych

1. Kłopoty z dopasowaniem siatki do obszaru,

2. Trudności z warunkami brzegowymi i związana z tym często

utrata dokładności,

3. Konieczność równomiernego podziału i związana z tym duża

liczba węzłów,

4. Poprawa dokładności obliczeń w zasadzie tylko przez

zagęszczenie podziału.