___________________________ CORSO DI ECONOMETRIA ___________________________ Prof. Paolo Mattana

1. ___________________________ CORSO DI ECONOMETRIA ___________________________ Prof. Paolo Mattana Lez. 14 - Non-stazionarietà delle serie temporali Dipartimento di Economia Università degli Studi di Cagliari

2. NON STAZIONARIETA’ DELLE SERIE TEMPORALI • OBIETTIVI ULTIMA PARTE DEL CORSO • Definire il concetto di non-stazionarietà delle serie temporali. • Problema della regressione spuria (con più cognizione di causa). • Distinguere tra trend-stationarity e difference-stationarity. • Introdurre il concetto di “random walk”. • Descrivere i test per stabilire la presenza di “radici unitarie”. • Discutere le possibilità offerte dal concetto di Cointegrazione • ECM • Engle-Granger procedure

3. NON STAZIONARIETA’ DELLE SERIE TEMPORALI PROCESSI NON STAZIONARI • La maggior parte delle serie economiche mostra andamenti col trend (crescente o decrescente). • Per es: PIL, consumi, capitale, indici di prezzo…. • Perchè l’analisi di regressione possa essere condotta in termini corretti abbiamo bisogno di dati stazionari. • Come possiamo procedere?

4. NON STAZIONARIETA’ DELLE SERIE TEMPORALI DEFINIZIONE DI STAZIONARIETÀ • La stazionarietà si riferisce alle caratteristiche del processo stocastico sottostante che ha generato la serie temporale. • Quando le caratteristiche del processo stocastico cambiano nel tempo abbiamo un processo non stazionario. • Ci concentriamo sulla media, sulla varianza e sulle covarianze. • Se una serie è stazionaria possiamo utilizzare la sua storia passata (per mezzo di un’equazione con coefficienti fissi) per prevedere il suo comportamento futuro (ricordate i processi AR?). • Se una serie non è stazionaria dobbiamo procedere ad una trasformazione che induca stazionarietà

5. Si consideri una serie temporale, Yt, con T osservazioni {y1, ... , yT}Covariance Stationarity: un processo stocastico, Yt è covariance- stationary se soddisfa ai seguenti requisiti: NON STAZIONARIETA’ DELLE SERIE TEMPORALI È una costante (indipendente da t) È una costante (indipendente da t) E’ una funzione di t - s, ma non di t o s.

6. NON STAZIONARIETA’ DELLE SERIE TEMPORALI 1) • Una serie stazionaria deve avere media costante • Deve tendere ad una media costante. • Il valore atteso sarà invariante nel tempo. • Esempio di serie non stazionaria

7. NON STAZIONARIETA’ DELLE SERIE TEMPORALI

8. NON STAZIONARIETA’ DELLE SERIE TEMPORALI • 2) • Una serie stazionaria deve avere varianza costante • Una serie non stazionaria ha una varianza non costante (che tende ad infinito). Provate infatti a tracciare la media di una serie temporale come quella rappresentata nella diapositiva precedente …….e calcolate la varianza…. • PROBLEMA: • La prova di consistenza dello stimatore OLS è ancora valida?

9. NON STAZIONARIETA’ DELLE SERIE TEMPORALI • 3) • La covarianza tra le osservazioni dipende solo da quanto esse siano lontane; • Non tende a crescere o a decrescere con t; • Immaginatevi cosa succederebbe se il coefficiente di autocorrelazione del primo ordine dipendesse da t.

10. NON STAZIONARIETA’ DELLE SERIE TEMPORALI ALCUNE UTILI DEFINIZIONI • Yt è detta integrata di ordine 0, I(0) se è stazionaria; • Yt è integrata di ordine d, I(d) quando non è stazionaria e può essere resa I(0) dopo d differenziazioni. • Le serie macroeconomiche e finanziaria sono spesso I(1). • Queste serie differenziate una volta portano a variabili stazionarie • NB: Se le serie I(1) sono espresse in termini logartimici, la loro differenza prima trasforma le variabili in termini di tassi di crescita.

11. REGRESSIONE SPURIA MESSAGGIO IMPORTANTE IN PRESENZA DI SERIE I(d) • Molta attenzione nell’usare le variabili non stazionarie nei livelli; • Importanza di una corretta differenziazione; • NON POSSIAMO CONDURRE NESSUN TIPO DI INFERENZA SE PRIMA NON DETRENDIZZIAMO I DATI • Problema della regressione spuria

12. REGRESSIONE SPURIA • In un famoso lavoro del 1974, Granger e Newbold introducono la nozione di regressione spuria (era però già nota in letteratura). • Essi puntualizzarono il fatto che i ricercatori spesso ignoravano le conseguenze di una altissima correlazione tra i residui in modelli di regressione convenzionali. • Sostennero che i dati macroeconomici coinvolgono serie spesso non stazionarie (o integrate) e che le regressioni che usavano le variabili nei livelli portavano a inferenze false. • Dimostrarono che i test convenzionali t e F tendevano a non rifiutare l’ipotesi di relazione stocastica fra le variabili anche quando tale relazione non era presente.

13. REGRESSIONE SPURIA • Tecnica statistica utilizzata da GN (1974) • 2 variabili “random walk” X e Y (non stazionarie per definizione) sono state create (vedremo subito il significato di “random walk”); • I due RW sono indipendenti l’uno dall’altro; • GN fanno un’analisi di regressione tra le due variabili artificiali e scoprono che nel 75% dei casi, i t test sul coefficiente di regressione stimato conducono al rifiuto dell’ipotesi nulla di • beta = 0; • Nel 75% dei casi, una regressione spuria fu dimostrata esistere.

14. REGRESSIONE SPURIA • In generale, la regressione fra due variabili integrate dello stesso ordine, es. I(1), porta risultati positivi secondo i canoni convenzionali anche quando non esiste nessuna relazione fra le variabili. • Da qui il termine “regressione spuria”. • Quindi il termine si riferisce ai risultati di regressioni che sembrano buone (in termini ad es. di R2 , e t ratio) ma che non hanno significato. • Facciamo anche noi qualche esperimento col generatore di numeri casuali di E-views.

15. ALCUNI ESEMPI DI REGRESSIONE SPURIA 1. Y Tasso di mortalità infantile in Egitto (’71-’90) I Reddito lordo agricoltori americani M Offerta di moneta (Honduras) Y = 179.9 - .2952 I - .0439 M (16.63) (-2.32) (-4.26) R2 = .918, D/W = .4752, F = 95.17 Corr = .8858, -.9113, -.9445

16. ALCUNI ESEMPI DI REGRESSIONE SPURIA 2. Y Indice delle esportazioni degli USA, (1960-1990), X Aspettativa di vita maschile in Australia Y= -2943. + 45.7974 X, (-16.70) (17.76) R2 = .916, D/W = .3599, F = 315.2 Corr = .9570

17. ALCUNI ESEMPI DI REGRESSIONE SPURIA 3. Y Spese per la difesa USA, 1971-1990, X Popolazione in Sud Africa Y = -368.99 + .0179 X (-11.34) (16.75) R2 = .940, D/W = .4069, F = 280.69 Corr = .9694

18. COME STAZIONARIZZARE SERIE I(1) Abbiamo imparato che: • Le proprietà statistiche del metodo OLS sono confermate solo se i dati sono stazionari. • Nel caso di serie non stazionarie dobbiamo “rimuovere” il trend. • Ci sono due possibilità: • Detrendizzazione con time trend • Differenziazione delle serie. • Quale tra i 2 approcci sia più utile depende dalla fonte di non stazionarietà

19. COME STAZIONARIZZARE SERIE I(1) • Si assuma che il processo sia guidato da un trend deterministico (secular trend component) e da una componente stocastica. Nel più semplice dei casi avremo: • I residui OLS di questo modello formano una variabile detrendizzata che può essere usata nell’analisi di regressione. • Le serie temporali che possono essere detrendizzate in questo modo sono chiamate trend-stationary (TSP) processes.

20. COME STAZIONARIZZARE SERIE I(1) STOCHASTIC TREND • La seconda fonte di possibile non stazionarietà può dipendere da un fenomeno chiamato “stochastic trending behaviour”. • I RW sono l’esempio più semplice di processi non stazionari con trend stocastici • dove gli errori si distribuiscono iid • come posso rendere stazionario un processo come questo?

21. COME STAZIONARIZZARE SERIE I(1) Random walk Ecco il grafico di un RW. Se avessimo a che fare con un processo stazionario la serie dovrebbe tornare periodicamente sullo zero

22. COME STAZIONARIZZARE SERIE I(1) Le proprietà di un RW senza DRIFT Media costante

23. COME STAZIONARIZZARE SERIE I(1) • = population variance of • = population variance of • = • = • La prima condizione di non stazionarietà non è violata • La seconda condizione per non stazionarietà è violata

24. NON STAZIONARIETA’ DELLE SERIE TEMPORALI Le proprietà di un RW DRIFT La prima condizione di non stazionarietà è violata La seconda condizione per non stazionarietà è violata

25. NON STAZIONARIETA’ DELLE SERIE TEMPORALI RW con drift

26. NON STAZIONARIETA’ DELLE SERIE TEMPORALI • Se calcoliamo le differenze prime di un RW abbiamo: • Si determini ora la media, la varianza e le covarianze della variabile trasformata. Abbiamo una serie stazionaria. • Una serie che può essere resa stazionaria per mezzo del calcolo delle differenze prime è chiamata difference-stationary (DSP) process or I(1).

27. NON STAZIONARIETA’ DELLE SERIE TEMPORALI TREND AND DIFFERENCE STATIONARY PROCESSES • Abbiamo imparato che esistono 2 tipi di serie non stazionarie: • una stazionarizzabile con differenze prime (DSP process) • una stazionarizzabile con detrendizzazione deterministica • Importante distinguere: svilupperemo test a questo scopo • Il problema consiste nel fatto che i due tipi di processo portano a risultati ben diversi nel lungo periodo • E’ difficile capire da ispezione visiva

28. NON STAZIONARIETA’ DELLE SERIE TEMPORALI • Un TSP è: • Un DSP è: • I due processisembranougualitranne per ilfattocheiltermine d’ errorevt è chiaramente non stazionario [avendo la varianzapari a s2t (in unaseriecampionaria)]

29. NON STAZIONARIETA’ DELLE SERIE TEMPORALI • ** NB:Perchèilterminedierrore non è white noise? • a) Si consideri un modellobivariato • b) Si consideriora un singoloritardo e sisottaggano le equazioni. • dove

30. NON STAZIONARIETA’ DELLE SERIE TEMPORALI • L’errore nell’equazione alle differenze è un processo MA(1) process (che è autocorrelato). • Le stime OLS sono consistenti (sebbene inefficienti). • Granger e Newbold (1974) hanno dimostrato che la stima dell’equazione alle differenze non distorce i test di significatività.

31. NON STAZIONARIETA’ DELLE SERIE TEMPORALI • IMPLICAZIONI • Se stimiamo un processo DSP come se fosse un processo TSP sviluppiamo regressioni spurie perchè yt e t sono non stazionari. • I residui da questa regressione non saranno stazionari (capiremo meglio dopo). • Strada intrapresa dopo l’individuazione dei problemi legati alla stima con variabili non stazionarie first-differentiation

32. NON STAZIONARIETA’ DELLE SERIE TEMPORALI • PROBLEMI • i) L’errore nella stima con le variabili differenziate non è white noise; • ii) Si perdono importanti informazioni legate ai livelli delle variabili (vedremo bene con la cointegrazione)

33. NON STAZIONARIETA’ DELLE SERIE TEMPORALI ** NB: PERCHÈ PARLIAMO DI RADICI UNITARIE? Per capire per quale ragione parliamo di radici unitarie dobbiamo riferirci al concetto di radice di un polinomio generico. Si consideri un semplice processo AR(1) generico: e lo si rappresenti con l’operatore ritardo L

34. NON STAZIONARIETA’ DELLE SERIE TEMPORALI Sotto quali condizioni questo processo stocastico sarà stazionario? • Se la radice dell’equazione: • è maggiore di uno (in modulo). Ora, poichè la radice dell’equazione è: sappiamo che la radice è maggiore di uno se e solo se: Nel caso limite di il processo stocastico NON E’ STAZIONARIO [CASO (già visto) DEL RW]

35. Caso con ρ = 0: Xt è una serie white noise NON STAZIONARIETA’ DELLE SERIE TEMPORALI

36. NON STAZIONARIETA’ DELLE SERIE TEMPORALI Caso con ρ = 0.7: Xt è una serie stocastica stazionaria

37. NON STAZIONARIETA’ DELLE SERIE TEMPORALI Caso con ρ = 0.3; Xt è una serie stocastica stazionaria (si noti come l’andamento tende a tornare sulla media più spesso)

38. NON STAZIONARIETA’ DELLE SERIE TEMPORALI Caso con ρ = 1.2: Xt esplode!!!

39. NON STAZIONARIETA’ DELLE SERIE TEMPORALI Caso con ρ = -1.1: Xt presenta oscillazioni esplosive

40. NON STAZIONARIETA’ DELLE SERIE TEMPORALI Caso con ρ = -1: Xt è non stazionario (con oscillazioni)

41. NON STAZIONARIETA’ DELLE SERIE TEMPORALI ALTRI MODELLI CON TIME SERIES • Modelli autoregressivi di ordine p • Modelli Moving average di ordine q • Modelli ARMA (p, q) • Modelli ARIMA • Modelli con parti deterministiche (costante, trend, stagionalità) • ……