Braneworld 上の静的球対称一般 解 ： 諸表式と特殊解 K. Akama , T. Hattori, and H. Mukaida

1. Braneworld上の静的球対称一般解 ：諸表式と特殊解 K. Akama, T. Hattori, and H. Mukaida Ref. K. Akama, T. Hattori, and H. Mukaida, arXiv:1109.0840 [gr-qc] submitted to Japanese Physical Society meeting in 2011 spring. K. Akama, T. Hattori, and H. Mukaida, arXiv:1208.3303 [gr-qc]

2. Braneworldの力学 座標 brane bulkx座標 bulk 計量 力学変数 brane位置変数 ~ gmn(Y)=YI,mYJ,n gIJ(Y) brane計量 は力学変数にはできない。 braneの状態を完全に決めることができないから 定数 bulk scalar 曲率 作用積分 gIJ YI d /d = 0 ~braneに関する量を表す 定数 matter action bulk en.mom.tensor 運動方程式 bulk Ricci tensor bulk Einstein方程式 (3+1dim.) brane en.mom.tensor 南部後藤方程式

3. Nambu-Goto eq. bulk Einstein eq. (3+1) bulk Einstein方程式 (3+1dim.) 南部後藤方程式

4. Nambu-Goto eq. bulk Einstein eq. off brane (3+1) 前回同様、初めにoff braneの解を考える 前回は球対称解を考えたが 今回、off braneでは全く 一般の場合にの解を導く on braneの計量を　　　とし、 Gaussian normal 座標zをとる

5. Nambu-Goto eq. bulk Einstein eq. off brane = Owing to equivalent equation Def. Bianchi identity If we assume , then covariant derivative covariant derivative 線形斉次微分方程式! are guaranteed. then if The independent equations are These are equivalent to

6. Nambu-Goto eq. bulk Einstein eq. off brane = equivalent equation Def. indep.eqs. The independent equations are

7. Nambu-Goto eq. bulk Einstein eq. off brane = Def. indep.eqs. expansion ( 積, 逆数, 微分) reduction rules product inverse differentiation

8. Nambu-Goto eq. bulk Einstein eq. off brane = Def. indep.eqs. [n-2] [n-2] ) ( [n] =n(n-1) • gmn z= 一定の 4次元時空の リッチテンソル これを と低次の係数で書ける。 ここに使うと これは これは の帰納的定義を与える。 すべての係数　　　は 最終的に　　　　　　で書かれる。 これで、 bulkでの　　　が z の冪級数の形で得られる。

9. Nambu-Goto eq. bulk Einstein eq. off brane = Def. indep.eqs. の帰納的定義 は最終的に　　　　　　で書かれる。 これを と低次の係数で書ける。 ここに使うと これは これは の帰納的定義を与える。 すべての係数　　　は 最終的に　　　　　　で書かれる。 これで、 bulkでの　　　が z の冪級数の形で得られる。

10. Nambu-Goto eq. bulk Einstein eq. off brane = Def. indep.eqs. の帰納的定義 は最終的に　　　　　　で書かれる。 は に従う。 一般には解けない。 球対称なら解ける。

11. Nambu-Goto eq. bulk Einstein eq. off brane = Def. indep.eqs. の帰納的定義 は最終的に　　　　　　で書かれる。 は に従う。 にmatter on brane collective mode dominance on the brane 南部後藤 eq. は と南部後藤 eq. に従う。

12. Theorem Under the Schwarzschild ansatz, all the solutions of the braneworld dynamics (Einstein & Nambu-Gotoeqs. in 4+1dim.) are given by and where with the coefficients determined by ① and ② below. Let and be arbitrary functions of r. ① Then, we define &南部後藤 但し &南部後藤

13. ② We define and where 南部後藤 For , are recursively defined by ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± where [n]obeys the reduction rule arefinally written with and, accordingly, they are written with and .

14. Theorem Under the Schwarzschild ansatz, all the solutions of the braneworld dynamics (Einstein & Nambu-Gotoeqs. in 4+1dim.) are given by and where with the coefficients determined by ① and ② below. Let and be arbitrary functions of r. ① Then, we define &南部後藤 但し &南部後藤

15. Summary bulk Einstein方程式 南部後藤方程式 braneworldの基本方程式 の一般解(on braneのdataによる すべての解)を導出した。 • 解を法線座標の冪級数の形で表し、 冪級数の係数に対する帰納的定義を得た。 これは、球対称に限らず一般的に成り立つ。 • On braneでは, 独立な方程式は • bulk-Einstein方程式の法線成分の両側の平均 • と南部後藤方程式である。 • 球対称の場合は、任意関数をうまく選べば • on braneの方程式は厳密に解ける。

16. Thank you (^O^)