Prezentácia- Matematika VÝROKY

1. Kubaľák & Kokavec Prezentácia-Matematika VÝROKY

2. Obsah • Matematická logika • Kvantifikované výroky • Negovanie kvantifikovaných výrokov • Záver

3. Obsah Matematická logika • matematická logika sa zaoberá presným formálnym štúdiom jazyka matematiky a matematických pracovných postupov.Základný význam v matematickej logike majú výroky. • Výrokom nazývame každú oznamovaciu vetu, ktorá zrozumiteľne oznamuje niečo, čo môže byť iba pravdivé (potom pravdivostnú hodnotu výroku označujeme číslom 1-pravda) alebo nepravdivé (označujeme číslom 0- nepravda) Pokračovanie

4. Obsah Pokračovanie Príklad: Snežka je najvyšším vrchom v Krkonošiach. ....pravdivý výrok...1 Mesiac je celý z gumy...nepravdivý výrok....0 Bude pršať?...nie je výrokom (nie je to oznamovacia veta) Jednoduché výroky označujeme veľkými písmenami,napr.A,B,.....V,... Príklad: A: Dnes prší. B: Vonku je blato. Z jednoduchých výrokov možno pomocou logických spojok tvoriť zložené výroky. Pokračovanie

5. Obsah Pokračovanie Príklad: A a B.............................konjunkcia výrokovAk A potom B................implikácia výrokov B práve vtedy ,keď A ..ekvivalencia výrokov A alebo B.......................alternatíva výrokov Negáciou výroku A nazývame výrok,ktorý má opačnú pravdivostnú hodnotu ako výrok A. Negáciu výroku A označujeme A´,(-A,non A). Príklad: Výrok Negácia výroku - A:Dnes prší. A´:Nie je pravda,že dnes prší. - A´:Dnes neprší. - B:Dnes neprší. B´:Dnes prší. Pokračovanie

6. Obsah Pokračovanie Pravdivostné hodnoty zložených výrokov obsahujú nasledujúce definičné tabuľky: Poznámky

7. Obsah Poznámky • Konjunkcia je pravdivá vtedy a len vtedy,ak sú súčasne pravdivé oba výroky. • Alternatíva je nepravdivá vedy a len vtedy,ak sú oba výroky súčasne nepravdivé. • Implikácia je nepravdivá vtedy a len vtedy,ak z pravdivého výroku vyplýva výrok nepravdivý. • 4) Ekvivalencia je pravdivá vtedy a len vtedy,ak mujú oba výroky rovnakú pravdivostnú hodnotu. Pokračovanie

8. Obsah Pokračovanie 5) V praxi používame rôzne spôsoby označenia a čítania výrokov: Pokračovanie

9. Obsah Pokračovanie 6) Písmená A,B atď.označujú ľubovoľné výroky –sú to VÝROKOVÉ PREMENNÉ. Z výrokových premenných zostavujeme pomocou zátvoriek a symbolov , , , podľa logických pravidiel VÝROKOVÉ FORMY,ktorých pravdivostné hodnoty overujeme spravidla pomocou tabuliek.Výrokovú formu,ktorá pre všetky hodnoty svojich premenných nodobúda pravdivostnú hodnotu pravda, nazývame TAUTOLÓGIOU, výrokovú formu , ktorá pre všetky hodnoty svojich premenných nadobúda pravdivostnú hodnotu nepravda, nazývame KONTRAINDIKÁCIOU. Negovanie zložených výrokov

10. Obsah Negovanie zložených výrokov Pomocou pravdivostných tabuliek môžeme ľahko odvodiť vzťahy pre negovanie zložených výrokov:

11. Obsah Kvantifikované výroky Vyjadrovanie množstva (počtu) nazývame kvantifikácia. Slová alebo slovné spojenia,ktoré vyjadrujú údaj o počte objektov, nazývame kvantifikátory. Okrem čísloviek patrí medzi kvantifikátory množstvo slov hovorového jazyka. Všetci, každý, vždy, niekedy, žiadny, nič, nikto atď. Skúsenosti matematikov ukazujú,že najčastejšie používame všeobecný a existenčný kvantifikátor. V každom trojuholníku je najviac jeden uhol pravý. V kružnici sú všetky priemery zhodné. Žiadne prvočíslo nie je záporné. Aspoň jedno prvočíslo je párne. Niektoré rovnoramenné trojuholníky sú pravouhlé. Pokračovanie

12. Obsah Pokračovanie Všeobecný kvantifikátor vyjadruje,že každý uvažovaný objekt (alebo žiaden) má (alebo nemá) tú vlastnosť,o ktorú ide.Používame slová: každý,žiaden,všetci,ľubovľný, hociktorý... Existenčný kvantifikátor vyjadruje, že niektoré (aspoň jeden) objekty majú tú vlastnosť,o ktorú ide. Používame slová: aspoň jeden,niektorý,možno nájsť, existuje... Z dôvodu prehľadnosti uprednostňujeme v matematike ustálené spojenia: Pre každý....platí,že... Existuje (aspoň jeden)...,ktorý..... Výroky obsahujúce kvantifikátory nazývame kvantifikované . výroky. Negovanie kvantif.výrokov

13. Obsah Negovanie kvantifikovanýchvýrokov • PRAVIDLO PRE NEGOVANIE VÝROKOV S KVANTIFIKÁTORMI , • V negovanom kvantifikovanom výroku zameníme kvantifikátor kvantifikátorom a naopak každý kvantifikátor kvantifikátorom . • 2) Výrokovú formu v negovanom kvantifikovanom výroku nahradíme jej negáciou: Negovanie ďalších výrokov

14. Obsah Negovanie ďalších výrokov s udaním počtu:

15. Záver Táto prezentácia je prehľad základných poznatkov o výrokoch.Je určená hlavne tým stredoškolákom, ktorí si potrebujú zopakovať učivo matematiky, (ktoré súvisí s výrokmi),nájsť a doplniť pojmy, vzťahy a vzorce potrebné pri riešení praktických úloh.Učivo v tejto prezentácií obsahovo nadväzuje na učebnice matematiky pre gymnáziá a stredné školy.Jednotlivé poznatky sú zhrnuté do celkov podľa vonkajších hľadísk tak, aby vynikli ich typické vlastnosti.Z charakteru prehľadu vyplýva,že do neho nie sú zahrnuté hlbšie teoretické poznatky.Pre zvýšenie názornosti sú základné pojmy zvýraznené a často sa uvádzajú v prehľadných tabuľkách.Poznámky v texte majú viesť študenta k hlbšiemu zamysleniu sa nad študovaným problémom. tvorcovia : Kubaľák & Kokavec Obsah