1 / 34

Statystyka – zadania, część 2

Statystyka – zadania, część 2. Dr Janusz Górczyński. Zadanie 1. Funkcja rozkładu p-stwa pewnej zmiennej losowej X dana jest tabelką:. Proszę wyznaczyć momenty zwykłe rzędu 1 i 2 tej zmiennej. Zadanie 1 - rozwiązanie. Korzystając z wzoru na obliczanie momentu zwykłego rzędu k mamy kolejno:.

lester
Download Presentation

Statystyka – zadania, część 2

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Statystyka – zadania, część 2 Dr Janusz Górczyński

  2. Zadanie 1 Funkcja rozkładu p-stwa pewnej zmiennej losowej X dana jest tabelką: Proszę wyznaczyć momenty zwykłe rzędu 1 i 2 tej zmiennej.

  3. Zadanie 1 - rozwiązanie Korzystając z wzoru na obliczanie momentu zwykłego rzędu k mamy kolejno:

  4. Zadanie 1 - interpretacja Moment zwykły rzędu 1 ma specjalne znaczenie w opisywaniu rozkładu zmiennej losowej, jest bowiem wartością oczekiwaną (średnią) tego rozkładu. W naszym przykładzie wartość oczekiwana jest równa 0, a to oznacza, że przy wielokrotnym powtarzaniu tego eksperymentu przeciętna wartość tej zmiennej będzie równa 0. Moment zwykły rzędu 2 nie ma swojej interpretacji, wykorzystamy go dalej do obliczenia momentu centralnego rzędu 2.

  5. Zadanie 2 – obliczanie parametrów Dla zmiennej losowej o f.r.p przedstawionej na slajdzie 3 chcemy wyznaczyć moment centralny rzędu 2. Będziemy korzystać z wzoru na moment centralny rzędu k dla zmiennej skokowej, czyli:

  6. Zadanie 2 – obliczanie parametrów cd. Po podstawieniu danych z f.r.p i wykorzystując fakt, że EX=0 mamy: Moment centralny rzędu 2 jest, podobnie jak moment zwykły rzędu 1, szczególnie ważnym parametrem. Jest on miarą zróżnicowania (dyspersji) wartości zmiennej losowej wokół jej wartości średniej.

  7. Zadanie 2 – interpretacja Moment centralny rzędu 2 będziemy nazywać wariancją zmiennej losowej i oznaczać D2X. Wariancja, podobnie jak wartość oczekiwana, jest liczbą mianowaną. Jej mianem jest kwadrat jednostki, w której wyrażona jest zmienna losowa. Wariancja jest zawsze nieujemna, a jej wielkość mówi o zróżnicowaniu (dyspersji, rozproszeniu) wartości zmiennej losowej wokół EX. Uzyskany w przykładzie wynik 3,4 można zinterpretować dość skromnie: wariancja tej cechy jest równa właśnie 3,4.

  8. Zadanie 3 Proszę wyznaczyć momenty zwykłe rzędu 1 i 2 zmiennej losowej X, której f.g.p dana jest wzorem:

  9. Zadanie 3 – rozwiązanie Korzystamy z wzoru na moment rzędu k zmiennej losowej ciągłej:

  10. Zadanie 3 – obliczenie m1 W naszym przykładzie mamy kolejno:

  11. Zadanie 3 – obliczenie m2 W naszym przykładzie mamy kolejno:

  12. Zadanie 4 Proszę wyznaczyć moment centralny rzędu 2 zmiennej losowej X, której f.g.p dana jest wzorem:

  13. Zadanie 4 - rozwiązanie Będziemy korzystać z następującego wzoru na moment centralny rzędu 2 zmiennej losowej ciągłej:

  14. Zadanie 4 – rozwiązanie cd Korzystając z obliczonej w zadaniu 3 wartości EX mamy kolejno:

  15. Zadanie 4 – rozwiązanie cd

  16. Zadanie 4 – inny sposób rozwiązania Jak widzieliśmy wyznaczanie momentów centralnych rzędu 2 z definicji może być kłopotliwe. Znacznie łatwiej jest obliczyć moment rzędu 2 ze związku, jaki zachodzi między tym momentem, a momentami zwykłymi rzędu 1 i 2: W naszym zadaniu mamy:

  17. Zadanie 5 Funkcja rozkładu p-stwa pewnej zmiennej losowej X dana jest tabelką: Proszę wyznaczyć medianę tej zmiennej.

  18. Zadanie 5 – rozwiązanie Mediana, to taka wartość Me, dla której spełnione są dwie nierówności: Sprawdźmy, czy medianą MOŻE być liczba mniejsza od zera (np. –0,1) ? Jak widzimy medianą nie może być liczba mniejsza od zera, ponieważ pierwsza nierówność nie będzie spełniona.

  19. Zadanie 5 – rozwiązanie cd A może medianą jest liczba większa od 0 (np. 0,1)? Jak widzimy także nie, tym razem nie jest spełniona druga nierówność. A może medianą jest zero? Oba warunki są spełnione, tym samym Me=0.

  20. Zadanie 6 Funkcja rozkładu p-stwa pewnej zmiennej losowej X dana jest tabelką: Proszę wyznaczyć medianę tej zmiennej.

  21. Zadanie 6 – rozwiązanie W zadaniu 5 medianą była JEDNA liczba, ale nie musi tak być zawsze. W zadaniu 6 f.r.p jest takiej postaci, że medianą jest wartość –1: Medianą jest także wartość 0: Tym samym medianą jest KAŻDA liczba z przedziału domkniętego <-1; 0>.

  22. Zadanie 7 Proszę wyznaczyć medianę zmiennej losowej X, której f.g.p dana jest wzorem:

  23. Zadanie 7 - rozwiązanie Z definicji mediany wynika, że dla zmiennych losowych ciągłych medianą będzie taka wartość zmiennej losowej, dla której dystrybuanta jest równa 0,5:

  24. Zadanie 7 – rozwiązanie cd W naszym zadaniu mamy więc (ograniczając się do tego przedziału, gdzie fgp jest niezerowa) równanie: Całkujemy lewą stronę:

  25. Zadanie 7 – rozwiązanie cd Równanie wielomianowe stopnia 3 Ma miejsce zerowe dla Me=1,5 W tym konkretnym zadaniu do tego wyniku można było dojść szybciej korzystając bezpośrednio z definicji mediany. Mediana dzieli bowiem zbiór wartości zmiennej losowej na dwie części po 50% elementów. Dla paraboli o miejscach zerowych 0 i 3 wierzchołek (oś symetrii) położony jest w punkcie 1,5, stąd Me=1,5.

  26. Zadanie 8 Funkcja rozkładu p-stwa pewnej zmiennej losowej X dana jest tabelką: Proszę wyznaczyć kwantyl rzędu 0,1 tej zmiennej.

  27. Zadanie 8 - rozwiązanie Zgodnie z definicją kwantyli szukamy takiej wartości (oznaczmy ją symbolem kp) dla której spełnione są dwie nierówności: Zgodnie z treścią zadania parametr p jest równy 0,1 , szukamy więc liczby k0,1. F.r.p jest takiej postaci, że kwantyl ten może być gdzieś między –3, a –2.

  28. Zadanie 8 – rozwiązanie cd Dla wartości –3 mamy: Dla wartości –2 mamy: Wynika z tego, że kwantylem rzędu 0,1 jest zarówno –3 jak i –2, tym samym jest nim każda liczba należąca do przedziału domkniętego <-3; -2>.

  29. Kwartyle, czyli specjalne kwantyle Kwantyle rzędu 0,25 , 0,5 oraz 0,75 nazywamy kwartylami i oznaczamy odpowiednio jako Q1, Q2 i Q3. Kwartyle mają bardzo ładną interpretację dla zmiennych losowych ciągłych (gdzie są pojedynczą liczbą), dzielą bowiem zbiór wartości takiej zmiennej na ćwiartki po 25% ogółu elementów. Mediana jest niczym innym jak kwartylem Q2 Proszę wyznaczyć kwartyl Q3 dla f.r.p ze slajdu 26. Odp. Q3=1

  30. Zadanie 9 • Szansa na to, że student zda egzamin ze statystyki jest równa 0,8. Na egzamin wchodzi grupa 5 studentów. Oblicz p-stwa zdarzeń: • Co najmniej jeden student zda egzamin • Egzamin zda nie mniej, jak 4 studentów. Z treści zadania wynika, że mamy do czynienia z rozkładem dwumianowym (Bernouliego). P-stwo sukcesu jest równe 0,8 a niepowodzenia 1-0,8=0,2. Mamy 5-cio krotne powtórzenie eksperymentu ze zmienną zero-jedynkową, a zmienna przyjmuje 6 wartości: k=0, 1, 2, ..., 5

  31. Zadanie 9 – rozwiązanie ad. a) Korzystamy z wzoru na p-stwo zdarzenia przeciwnego: A dalej z wzoru na f.r.p zmiennej dwumianowej: Jak widać szansa na to, że ktoś zda jest b. duża!

  32. Zadanie 9 – rozwiązanie ad. b) Z treści zadania wynika, że interesuje nas następująca suma p-stwieństw: Korzystając z wzoru na f.r.p zmiennej dwumianowej mamy:

  33. Zadanie 10 Pewien automat produkcyjny osiąga wydajność 1000 sztuk pewnego produktu na godzinę. Prawdopodobieństwo wyprodukowania wadliwego elementu jest równe 0,002. Proszę obliczyć p-stwo tego, że automat pracuje bez wad. Z treści zadania wynika, że modelem dla liczby braków w jednostce czasu może być zmienna dwumianowa o n=1000 i p=0,002.

  34. Zadanie 10 - rozwiązanie Interesujące nas p-stwo zajścia zdarzenia polegającego na tym, że liczba braków będzie równa 0, stąd szukane p-stwo możemy wyznaczyć z wzoru: Interesujące nas p-stwo możemy także wyznaczyć przyjmując dla liczby braków model Poissona, gdzie parametr =1000•0,002=2. Z wzoru na f.r.p mamy dalej:

More Related