slide1 n.
Download
Skip this Video
Loading SlideShow in 5 Seconds..
المتتابعات PowerPoint Presentation
Download Presentation
المتتابعات

Loading in 2 Seconds...

play fullscreen
1 / 55

المتتابعات - PowerPoint PPT Presentation


  • 141 Views
  • Uploaded on

المتتابعات. هند سيه. حسابيه. عوده. المتتابعه الحسابيه ( ح ن ). تكون المتتابعه (ح ن ) حسابيه أذا كانت من الدرجه الأولى ويكون معامل ن هو أساس المتتابعه. مثال ( ح ن ) متتابعه حسابيه حيث ح ن = 3 ن + 1 أكتب الحدود الثلاثه الأولى منها ح 1 = 3×1+ 1 = 4 ح2 = 3×2 + 1= 7 ح 3 = 3×3 +1 =10

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about 'المتتابعات' - leslie-hopper


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
slide1
المتتابعات

هند سيه

حسابيه

سعيد الصباغ

slide2

عوده

سعيد الصباغ

slide3
المتتابعهالحسابيه (حن)

تكون المتتابعه (ح ن) حسابيه أذا كانت من الدرجه الأولىويكون معامل ن هو أساس المتتابعه.

مثال ( ح ن) متتابعه حسابيه حيث ح ن = 3 ن + 1

أكتب الحدود الثلاثه الأولى منها

ح1 = 3×1+ 1 = 4 ح2 = 3×2 + 1= 7

ح3 = 3×3 +1 =10

وتكون المتتابعه (ح ن) = (4 ، 7 ، 10 ، 000000)

الحد الأول أ = 4 الأساس ( د ) = 3 وهو معامل ن

سعيد الصباغ

عوده

slide4
المتتابعه (ح ن) تكون حسابيه أذا كان ح ن+1 – ح ن = مقدار ثابت يسمى أساس النتتابعه

أذا كانت (ح ن ) = 2ن + 3 أثبت أت المتتابعه حسابيه وأوجد الحدود الأربعه الأولى منها

ح ن+1 = 2(ن+1) + 3 ح ن+1 = 2ن + 5

ح ن+1 – ح ن = 2ن+ 5 – ( 2ن + 3) = 2 مقدار ثابت

المتتابعه حسابيه أساسها 2

ح1 = 2×1+3 = 5 ح 2 = 2×2 +3 = 7

ح3= 2×3 +3 = 9 ح4= 2×4 +3 = 11

المتتابعه =( 5 ، 7 ، 9 ، 11 ، 00000000)

سعيد الصباغ

عوده

slide5
المتتابعه الحسابيه حدهل الأول =أوالأساس =دوالحد الأخير = ل

عدد الحدود = ن حيث ن عدد صحيح موجب

ح ن = (أ ، أ + د ، أ +2د ، أ +3د ، 00000، ل – 2د، ل- د ، ل)

مثال1 كون المتتابعه الحسابيه التى حدها الأول 4 وأساسها 3

المتتابعه ( 4 ، 7 ، 10 ، 000000000)

مثال2 كون المتتابعه الحسابيه الة حدها الأول 15 والأساس – 2

المتتابعه (15 ،13 ،11 ، 9 ، 0000000)

ملاحظه المتتابعه الأولى أساسها 3 > 0 موجب المتتابعه متزايده

المتتابعه الثانيه أساسها -2 < 0 سالب المتتابعه متناقصه

تدريب (ح ن )متتابعه حسابيه حدها الأول = 7 ، ح ن = 3 + ح ن+1

أوجد المتتابعه

عوده

سعيد الصباغ

slide6
الحد العام للمتتابعه الحسابيه : ح ن= أ + ( ن – 1) د

الحد العام من النهايه ح ن = ل – ( ن – 1) د

مثال اوجد الحد السابع من البدايه والحد العاشر من النهايه من المتتابعه الحسابيه ( 3 ، 5 ، 7 ، 000000، 41 ، 43)

ح7 = أ + 6د أ = 3

= 3 + 6×2 = 15 د = 5 – 3 = 2

الحد العاشر من النهايه ل = 43

ح10 = ل – 9 د ح10 = 43- 9×2 = 25

مثال 2المتتابعه الحسابيه( 55، 51،53، 00000، - 3 ، - 5)

أوجد 1- الحد السادس عشر من البدايه والحادى عشر من النهايه

سعيد الصباغ

عوده

slide7
ملاحظه هامه : رتبة الحد الأخير = عدد الحدود

متتابعه حسابيه ( 3، 7 ، 11 ، 0000000 ، 123)

أوجد رتبة الحد الذى قبمته 63 من البدايه أ = 3

أوجد عدد الحدود د = 4

ح ن = أ + ( ن – 1) د

63 = 3 + ( ن – 1) × 4

63 = 3 + 4ن – 4 63 = 4ن – 1

4ن = 64 ن = 16 الحد الذى قيمته 63 هو ح16

عدد الحدودل = أ + ( ن – 1 ) د

123 = 3 + ( ن – 1 ) × 4 123 = 3 +4ن – 4

124= 4ن ن = 31 عدد الحدود = 31 حدآ

سعيد الصباغ

عوده

slide8
فى المتتابعه المتناقصه رتبة أول حد سالب ح ن< 0فى المتتابعه المتزايده رتبة أول حد موجب ح ن >0

متتابعه حسابيه فيها ح 3 + ح 5 = 82، ح10 = 23 أوجد المتتابعه ثم أوجد رتبة أول حد سالب وأوجد قيمته

ح 3 + ح 5 = 82 رتبة أول حد سالب ح ن< 0

أ + 2د + أ + 4د = 82

2أ + 6د = 82 أ + ( ن – 1) × د < 0

أ + 3د = 41 (1) 50 + ( ن – 1) × - 3 < 0

ح10 = 23 50 – 3ن + 3 < 0

ا + 9د = 23 (2) 53 – 3 ن < 0

بحل المعادلتين 1، 2 بالطرح - 3 ن < - 53 بالقسمه على - 3

- 6د = 18 د = - 3 ن > 66666و17

بالتعويض فى (1) أ – 9 د = 41 حيث ن عدد صحيح مو جب

أ = 50 ن = 18 أول حد سالب ح 18

المتتابعه ( 50 ، 47 ، 44 ، 00000) ح 18 = أ + 17 د

= 50 – 51 = - 1

سعيد الصباغ

عوده

10 4 5
مثال :الحد الأخير من متتابعه حسابيه 10أمثال حدها الأول؛ وحدها قبل الأخير = ح4 + ح5 أثبت أن أ = د وأوجد عدد الحدود

ل = أ + (ن – 1) د بحل 1 ،2 بالطرح

10أ = أ + (ن – 1) د 8أ = 8د يؤدى أ = د

9أ = (ن – 1) د بالتعويض فى (1)

9أ = ن د - د ـــــــ(1) 9 أ = ن أ – أ ( ÷ أ )

الحد قبل الأخير ل – د =ح ن -1 9 = ن - 1

أ +(ن -1-1)د = أ + 3د + أ +4د ن = 10 حدا

أ + ن د – 2د = 2أ +7د

أ = ن د – 9د ـــــــــــ(2)

سعيد الصباغ

عوده

3 10 8 2 5 4
تمرين :فى متتابعه حسابيه ح3 = 10؛ ح ن= 8ح 2ن = 5و 4أوجد المتتابعه وأوجد رتبة أول حد سالب
  • بين أى المتتابعات الآتيه حسابيه
  • أ ذا كانت ( 4 ، هـ ، 00000، و ، 76) م 0ح وكان هـ : و =1: 7

اوجد هـ ، و ثم أوجد عدد الحدود

  • م . ح فيها ح س : ح ص = ص : س اثبت ان ح س + ص = 0
  • ثلاث أعداد تكون متتابعه حسابيه مجموعهم = 33 وحاصل ضربهم

= 729 أوجد هذه الأعداد

ملاحظه فروض خاصه ثلاث أعداد تكو ن متتابعه حسابيه ( أ – د ، أ ، أ + د)

أربعة أعداد تكون متتابعه حسابيه ( أ – 3د ، أ – د ، أ + د ، أ + 3د)

(ح ن) = ( )

(ح ن) = ( ن2 +1 )

(ح ن) = ( 2 ن – 3)

1

ن

سعيد الصباغ

عوده

slide11

عوده الى القا ئمه

سعيد الصباغ

slide12
الأوساط الحسابيه

تعريف

: لأى ثلاث أعداد س ، ص ، ع فى تتابع خسابى ص تسمى وسط حسابى بين س ،ع حيث2ص = س + ع

ملاحظه1- أذ ا كانت عدد حدود المتتابعه ( ن ) فردى

يوجد حد أوسط واحد رتبته ( ن + 1) ÷ 2

أذا كان عدد الحدود 19 حدا رتبة الأوسط ح 10

وتكون قيمة الحد الأوسط = ( أ + ل ) ÷ 2

2- أذ ا كانت عدد حدود المتتابعه ( ن ) زوجيا يوجد حدان اوسطان رتبتهما [ ن ÷ 2 ] و الذى يليه فمثلا أذا كانت عدد 20 حدا فإ الحدان الأوسطان ح 10 ، ح11

عوده

سعيد الصباغ

slide13
أذا كانت للمتتابعه حدان أوسطان فإنو1 +و2 = أ + ل

ملاحظاتالأوساط الحسابيه هى حدود المتتابعه التى تنحصربين حديهاالأول والأخير( أ ؛ أ + د ، أ + 2د ؛0000؛ ل- 2د ؛ ل- د ؛ ل)

عدد الأوساط = عدد الحدود – 2 عدد الحدود = عدد الأوساط + 2

1- رتبة الحد تذ يد عن رتبة الوسط بمقدار 1 و5 = ح6

2-الوسطين الأولين أ + د ، أ + 2د هما ح2 ،ح3

3- الوسطين الآ خرين ل – د ، ل – 2د

4- رتبة الحد الخير = عدد الحدود ( ل = ح ن )

5- الوسط الحسابى بين الحدين الثلث والخامس هو الحد الرابع وهكذا

عوده

سعيد الصباغ

2 2 1 4 15
مثال :أذا كانت أ +2 ، 2أ + 1 ، أ – 4 فىتتابع حسابى أوجد قيمة أ ثم كون المتتابعه وأواجد ح15

الحل :5 أ + 2 ، 2أ +1 ، أ -4 فى تتابع حسابى 2أ + 1 وسط حسابى بين أ + 2 ، أ – 4 مثال : 2

2( 2أ +1) = 5أ + 2+ أ -4 عدد ين النسبه بينهم 3:5ووسطهم

4أ + 2 = 6أ -2 الحسابى = 8 أوجد العددين

2أ = 4 أ = 2 نفرض العددين 5س ، 3س

المتتابعه ( 12، 5 ، - 2، 00000) الوسط الحسابى 8

أ = 12 ، د = -7 8× 2 = 5س + 3س

ح15 = أ + 14 د 16 = 8 س س = 2

= 12 + 14 × - 7 العددين 10 ، 6

= 12 – 98 = - 86

عوده

سعيد الصباغ

slide15
مثال : متتابعه حسابيه مكونه 25 حدا حدها الأوسط = 40

وجموع الحدود الثلاثه الأخيره 285 أوجد المتتابه

الحل رتبة الحد الوسط = ( 25 +1) ÷ 2 = ح13

أ + 12 د = 40 ـــــــــ (1)

الحدود الثلاثه الأخيره ح25 +ح24 + ح23 = 285

أ + 24د + أ +23د + أ +22د = 285

3أ + 69د = 285 ÷ 3

أ + 23د = 95 ــــــــــــ (2) بطرح (1) من (2)

11د = 55 د = 5

بالتعويض فى (1) أ + 12×5 = 40

أ = -20

المتتابعه ( -20 ، -15 ، - 10 000،95، 100)

عوده

سعيد الصباغ

slide16

مثال3: أذاأدخلنا عدة أوساط حسابيه بين 5 ،53وكانت النسبه بين مجموع الوسطين الثالث والرابع الى مجموع الأوساط الثلاثه الأخيره = 38: 135 أوجد عدد الأوساط

أ = 5 ، ل = 53 =

و3 + و4 = ح4 + ح 5450+ 315د= 2014-76د

= أ + 3د + أ + 4د= 2أ +7د 391د = 1564 د = 4

الأوساط الثلاثه الأخيره رتبة الحد الأخير = عدد الحدود

ل – د + ل – 2د +ل – 3د ل = أ + ( ن – 1) د

= 3 ل – 6د 53 = 5 + ( ن – 1) × 4

النسبه = 53 = 5 + 4ن - 4

قسمة المقامعلى 3 4ن = 52 ن = 13

عدد الأوساط = 13 – 2 =11

10+ 7 د

53– 6د

38

45

38

135

2أ + 7 د

3ل – 6د

عوده

سعيد الصباغ

4 19 55 5
مثال 4أدخل 19 وسطا حسابيا بين 55، - 5ثم أوجد الوسط الأول والأخير

عدد الحدود = 19 +2 = 21 تذكر أن

أ = 55 ، ح21 = - 5 لو س ص = لوهـ ص ÷ لو هـ س

أ + 20 د = - 5 أذا كانت د(س) = - د(س )

55 +20د = - 5 الداله فرديه

20د = - 60 د = - 3 أذا كانت د(س) = د ( - س)

الأوساط الداله زوجيه

( 55 ، 52 ، 49 ، 00000، -11،- 8 ، - 5)

الوسط الأول = 52 الوسط الأخير = - 8

عوده

سعيد الصباغ

slide18

عوده

سعيد الصباغ

slide19
مجموع المتتابعه الحسابيه جـ ن
  • ح ن = ( أ ، أ + د، أ + 2د ، 00000،ل – 2د ، ل – د ،ل ) جـ ن = أ+ أ + د + أ + 2د +0000+ ل – 2د + ل –د + ل

جـ ن= ل + ل - د + ل – 2د +0000+أ +2د + ا + د + أ

بالجمع 2جـ ن = (أ+ ل) + (أ + ل) +0000+( أ + ل)

2جـ ن = ن × ( أ + ل )جـ ن = ( أ + ل)

حيث أ الحد الأول ؛ ل الحد الأخير ؛ن عدد الحدود

ومنها نستنتج جـ ن = [ 2أ + ( ن – 1) د ]

= [ 2× حد البدايه + ( ن -1 ) د ]

ن

2

ن

2

جـ ن

ن

2

عوده

سعيد الصباغ

slide20
حاله خاصه :مجموع حدود المتتابعه الحسابيه = قيمة الحد الأوسط × عدد الحود

مثال : م .ح مكونه من 17 حدا وحدها الأوسط = 21 ؛ 2ح 2 يزيد عن ح 3 بمقدار 5 اوجد المتتابعه ومجموعحدودها

الحل : رتبة الحد الأوسط = (17 + 1) ÷ 2 = ح 9

ح 9 = 21 أ + 8 د = 21 (1) مجموع الحدود = 21× 17

2ح 2 – ح 3 = 5 =357

2أ + 2 د – أ – 2د =5 حل آخر

أ = 5 بالتعويض فى (1) جـ ن = ( أ + ل)

5 + 8 د =21 8د = 16 = ( 5 + 37)

د = 2 المتتابعه ( 5، 7 ، 9 ، 000، 37) = × 42

= 17× 21 = 357

ن

2

17

2

17

2

عوده

سعيد الصباغ

3 5 7 0000
مثال :أوجد مجموع العشرين حدا الأولى من المتتابعه الحسابيه ( 3، 5 ، 7 ، 0000)
  • أ = 3 ، د = 2 ملاحظه :

جـ ن = [2أ + ( ن – 1) د ]د > 0 م .ح متذايده

جـ 20 = 10[ 2×3 + 19 × 2] د < 0 م.ح متناقصه

جـ 20 = 10 ( 6 + 38)

جـ 20 = 10× 44 = 440

تدريب :أوجد مجموع حدود المتتابعه ( 3، 8، 13، 0000، 98)

2- أوجد مجموع 40 حدا الأولى من م.ح ( 2، 5، 8، 000)

3- أوجد مجمو ع 10 حدود أبتدإ من ح 5 ( 3، 7 ، 11 ، 000)

  • أ = 3 ، د = 2 ملاحظه :

جـ ن = [2أ + ( ن – 1) د ]د > 0 م .ح متذايده

جـ 20 = 10[ 2×3 + 19 × 2] د < 0 م.ح متناقصه

جـ 20 = 10 ( 6 + 38)

جـ 20 = 10× 44 = 440

تدريب :أوجد مجموع حدود المتتابعه ( 3، 8، 13، 0000، 98)

2- أوجد مجموع 40 حدا الأولى من م.ح ( 2، 5، 8، 000)

3- أوجد مجمو ع 10 حدود أبتدإ من ح 5 ( 3، 7 ، 11 ، 000)

ن

2

ن

2

عوده

سعيد الصباغ

slide22
ملاحظه :فى المتتابعه المتناقصه عدد الحدود التى تجعل المجموع أكبر مايمكن هى الحدود الموجبه
  • مثال : م.ح (65، 63، 0000) أوجد عدد الحدود التى تجعب المجموع أكبر مايمكن وأوجد هذا المجموع اكبر مجموع

أ = 65 ؛ د = - 2 جـ ن = [2أ + ( ن – 1) د ]

رتبة أول حد سالب ح ن < 0 جـ 34 = 17 ( 2×65 + 33× -2)

أ + ( ن – 1) د < 0 جـ 34 = 17 ( 130 – 66)

65 + ( ن – 1) × -2< 0 جـ 34 = 17 × 4 6 =1088

65 – 2ن + 2<0

- 2ن < - 67 ÷ - 2 خلى بالك

ن > 5و 33 ن з ص+ عدد الحدود التى تجعل المجموع ن = 34 موجب جـ ن > 0

عدد الحدود التى تجعل المجموع اكبر مايمكن 34حدا

ن

2

عوده

سعيد الصباغ

slide23

مثال:م .ح مجموع الحدود الثلاثه الأولى =69 والحد السابع ينقص عن ثلاثة أمثال الحد الرابع بمقدار43 أوجد المتتابعه 0ثم أوجد أكبر عدد من حدود المتتابعه ليكون المجموع موجبا

مصر90

جـ 3 الأولى = 69

3أ + 3د = 69 ÷ 3

أ + د = 21 1

3ح 4 – ح7 = 43

3( أ + 3د) – (أ +6د) =43

3أ + 9د –أ – 6د = 43

2أ +3د = 43 2

بحل 1؛2

أ = 26 د = - 3

م.ح ( 26 ، 23 ، 20، 00000)

جــ ن > 0

[2أ + ( ن – 1) د ]> 0

[ 2×26 +(ن -1)×- 3]>0

[ 52 – 3ن +3] > 0

55 – 3ن >0 ÷ -3

ن < 5و 18 ن = 18 حدآ

ن

2

ن

2

عوده

سعيد الصباغ

11 55 55
مثال :م.ح مجموع 11حدآ الأولى منها = 55 وحاصل ضرب حديها السادس والعاشر = - 55 اوجد المتتابعه وأجد مجموع عشؤين حدا الأولى

ن

2

جـ ن = [ 2أ + ( ن – 1) د ]

55 = ( 2أ + 10 د)

5 = أ + 5 د ( 1 )

ح 6 × ح 10 = - 55

( أ + 5د )( ا + 9 د ) = - 55

من (1) 5 ( أ + 9 د ) = - 55

أ + 9 د = - 11 ( 2)

بطرح 1 من 2 4د = - 16

د = - 4

بالتعويض فى( 1) أ – 20 = 5

أ = 25

م .ح ( 25 ،21 ، 17 ،00000)

جـ 20 = 10 ( 2أ + 19 د )

جـ 20 = 10 ( 50 +19×- 4 )

جـ 20 = 10 ( 50 – 76)

جـ 20 = 10× - 26 = - 260

11

2

سعيد الصباغ

عوده

slide25
ملاحظه : ح ن = جـ ن – جـ ن- 1
  • اذاكان مجموع ن حدا من م.ح يعطى بالعلاقه جـ ن = ن2 أوجد المتتابعه وأوجد الحد السابع

حل آخر

ح ن = جـ ن – جـ ن-1

ح ن = ن 2 – ( ن – 1) 2

ح ن = ن 2 – ن 2 + 2ن - 1

ح ن = 2 ن – 1 من الدرحه الأولى

د = 2 معامل ن

أ = ح 1 = 2 – 1= 1

م.ح = ( 1 ، 3 ، 5 ،000000)

جـ ن = ن 2

بوضع ن = 1 جـ 1 = 1 أ = 1

بوضع ن = 2 جـ 2 = 4 ح 1 + ح 2 = 4

أ + أ + د = 4 د = 2

م.ح ( 1 ، 3 ، 5 ، 000)

ح 7 = أ + 6 د

ح 7 = 1 + 12 = 13

عوده

سعيد الصباغ

64 36 540
م.ح حدها الأخير = 64 وحدها الأوسط = 36 ومجموع حدودها 540 .اوجد المتتابعه

حل آخر

جــ ن = ن × الحد الأوسط

540 = 36 ن

ن = 15 حدا

الأوسط ح 8 = 36 ، ح 15 = 64

أ + 7د = 36

أ + 14 د = 64 بطرح المعادلتين

7 د = 28 د = 4

بالتعويض فى (1) أ = 8

م.ح ( 8 ، 12 ، 16 ، 00000)

الحد الأوسط = ( أ + ل ) ÷ 2

36 = ( أ + 64) ÷ 2

أ + 64 = 36 × 2

أ = 8

جـ ن = ( ا + ل)

540 = ( 8+ 64)

ن = 15 حدا

ح15 = 8 + 14 د = 64

د = (64 – 8) ÷ 14 = 4

م.ح( 8 ، 12 ، 16 ، 000)

ن

2

ن

2

سعيد الصباغ

عوده

slide27
أوجد مجموع 30 حداالأولى من المتتابعه ح.ن حيث ح ن =

3ن – 1 حيث ن فردى

2ن + 2 حيث ن زوجى

ح ن = 2 ن + 2 ن زوجى

ح2 = 4 + 2 = 6

ح4 = 8 + 2 = 10

ح 6 = 12 +2 = 14

( 6 ، 10 ، 14 ، 0000)

أ = 6 د = 4 ن = 15

جـ 15 = 5و7 ( 2× 6 + 14 × 4)

جـ 15 = 5و7 × 68 = 510

جـ 30 = 660 + 510 = 1170

ح ن = 3ن - 1 ن ن فردى

ح 1 = 3 - 1 = 2

ح 3 = 9 – 1 = 8

ح 5 = 15 – 1= 14

( 2 ، 8 ، 14 ، 000000)

أ = 2 د = 6 ن = 15

جـ ن = [ 2أ + ( ن – 1) د ]

جـ 15 = 5و7 ( 2×2 + 14 × 6 )

جـ 15 = 5و7 × 88 = 660

ن

2

سعيد الصباغ

عوده

1 5 9 00 13 41
مثال : كم حدا يلزم أخذه من المتتابعه (1، 5 ، 9 ، 00 )أبتدإ من الحدالأول لتكون النسبه بين مجموع النصف الأول إلى باقى الحدود كنسبة 13: 41

أ جـ1 ن جـ2 ن ح 2ن

نفرض عدد الحدود = 2ن

أ = 1 د = 4 جـ 1 : جـ 2 =13 : 41

من التناسب جـ 1 : جـ 1+جـ 2 = 13 : 13+41

13

27

4ن – 2

8 ن - 2

=

=

108ن – 54 = 104ن – 26

4 ن = 28

ن = 14

عدد الحدود = 14 حدا

ن

.2

[ 2 أ +[ ن – 1 ) د]

[ 2 أ +( 2ن – 1) د ]

جـ 1

جـ 1 + جـ 2

=

.2

13

27

13

27

2 + ( ن – 1) × 4

2 + ( 2ن - ) × 4

2+ ( ن – 1) × 4

2 + ( 2ن - ) × 4

=

=

=

=

13

27

2+ 4 ن – 4

2 + 8ن - 4

=

=

عوده

سعيد الصباغ

slide29
تدريبات
  • (1) متتابعه حسابيه مكونه 25 حدا حدها الوسط = 40 وجموع الحدود الثلاثه الأخيره 285 أوجد المتتابه
  • إذاكان ب وسط حسابى بين أ ، جـ أثبت أن

ب2 – ( جـ - ب) 2 = أ جـ

  • إذاكان س ، ص ، ع فى تتابع حسابى وكان ص2 = س ع أثبت أن لوس ، لو ص ، لوع فىتتابع حسابى
  • إذاكان (5 ، 2ب ، 0000، 22ب – 14 ،65) م.ح اوجد قيمة ب وعدد حدود المتتابعه
  • اوجد مجموع حدود المتتابعه (3 ،8 ، 13 ،000 ، 98)
  • كم حداً يلزم أخزه من م.ح ( 15 ، 13 ، 11 ، 000 ) ليكون المجموع 55 فسر وجود حلين
  • إذاكان مجموع10 حدود من م.ح ( 3 ، 7 ، 11 ، 000 ) هو 330فبأى حد نبدأ

سعيد الصباغ

عوده

slide30

ن

.2

8) أوجد مجموع النصف الأخير م.ح (3 ، 8 ، 13 ، 0000 ، 78)

ملاحظه هامهجـ ن = [ 2ل – ( ن – 1) د ] ل حدها لأخيرا

9) م .ح عدد حدودها 21 حداً وحدها الأوسط = 33 ومجموع الحدود التاليه للحد الأوسط 3أمثال مجموع الحدود السابقه له أوجد م.ح

10) م.ح فيها ح36 = 0 ، واذاكان جـ ن الأولى = ضعف جـ 5 الأولى

أوجد عدد حدود المتتابعه . ثم أستنتج جـ 49 حداً أبتداء ح 12

11) م.ح جـ 3 الأولى = 69 ، ح 7 ينقص عن ثلاثة أمثال ح 4 بمقدار 43 .اوجد المتابعه . اوجدأكبر عدد من حود المتتابعه يجعل المجموع موجبا وأوجد هذا المجموع

12) اوجد مجموع الأعداد الصحيحه الواقعه بين 100، 500 ولا تقبل القسمة على 9

عوده

سعيد الصباغ

slide31
المتتابعه الهندسيه

عو ده

سعيد الصباغ

slide32

ح ن +1

ح ن

ح ن تكون هندسيه أذا كان مقدار ثابت يسمى أساس النتابعه

المتتابعه الهندسيه ح ن تكون فى صورة الداله الأسيه:

أذا كانت ح ن = ( ر) ن م . هـ اساسها ( ر )

الأثبات

= = ر ثايت المتابعه هندسيه

متتابعه ح ن = 3 ن بين المتتابعه وأوجد الحدود الأربعه الأولى

= = 3 ثابت إذا المتتابعه هندسيه

ح ن +1

ح ن

ر ن +1

ر ن

ح ن +1

ح ن

3 ن +1

3 ن

عوده

سعيد الصباغ

slide33
ح 1 = 3 1 = 3 ح2 = 3 2 = 9

ح 3 = 3 3 = 27 ح 4 = 3 4 = 81

م .هـ = ( 3 ، 9 ، 27 ، 81 ، 00000000 )

المتتابعه الهندسيه م .هـ حدها الأول = أ ، اساسها = ر حدها الأخير= ل عدد الحدود = ن з ص +

م . هـ ( أ ، أر ، أر 2 ، أر 3، 00000 ، ل / ر2 ، ل/ ر ، ل )

الحد العام من البدايه للمتتابعه الهندسيه ح ن = أ ر ن – 1

الحد العام من النهايه ح ن = ل ( ) ن - 1

1

ر

عوده

سعيد الصباغ

2 4 8 00000 16384 10 10
مثال:م.هـ (2، 4، 8 ، 00000، 16384)أوجد ح 10 من البدايه ؛ ح 10 من النهايه
  • من البدايه من النهايه
  • تدريب : م.هـ (2 ، 6، 18، 0000) أوجد رتبة الحد الذى قيمته 1458

ل = 16384 ر = 2

ح10 = ل × ( ) ن – 1

ح10 = 16384 × ( ) 9

16384 ÷ 512 = 32

أ = 2 ، ر = 2

ح ن = أ ر ن – 1

ح 10 = أ ر 9

ح 10 = 2× 2 9

ح10 = 1024

1

ر

1

2

عوده

سعيد الصباغ

6 96 11 3072
مثال : كون م.هـ فيها ح 6 = 96، ح 11 = 3072

ملا حظه هامه

م.هـ متذايده ر > 1

م .هـ متناقصه | ر | < 1

ل = أ ر ن -1

عند تكوين معادلتين نقسم المعادلتين بهد ف حذف أ وتكوين علاقه فى ر

  • ح 6 = أ ر 5

أ ر 5 = 96 (1)

ح11 = أ ر 10

أ ر10 = 3072 (2)

بقسمة 2÷ 1

ر 5 = 32

ر=2 بالتعويض فى (1)

أ = 3

م .هـ ( 3 ، 6 ، 12 ، 000)

عوده

سعيد الصباغ

2 3 18 4 5 72
كون م.هـ التى فيها ح 2+ ح3 = 18،ح4 + ح5= 72
  • عند ر = - 2
  • 2أ + 4أ = 18
  • 2أ =18 أ = 9
  • م.هـ ( 9، - 18، 36، 0000

ح 2+ ح3 = 18

أ ر1 + أ ر2 = 18 (1)

ح4 + ح5= 72

أ ر 3 + أر 4= 72 (2)

بقسمة (2) على (1) = 4

ر 2 = 4

ر = ± 2 بالتعويض (1)

عند ر = 2

2أ + 4أ = 18 أ = 3

م.هـ = (3 ، 6 ، 12 ، 00)

أر3 ( 1 + ر)

أر (ر + 1)

تذكر

إذا كان د(س ) = د( - س )

فان الداله زوجيه

إذا كان د(س) = - د ( - س)

الداله فرديه

عوده

سعيد الصباغ

slide37
تدريب:
  • م. هـ (64 ، 32 ، 16 ، 000 ) أوجد ح 7 من البدايه
  • م.هـ ( 5 ، 10 ، 20، 000) أوجد أول حد اكبر من 500
  • م.هـ حدودها موجبه يزيد حدها الخامس عن حدها الرابع بمقدار27 ويزيد حدها الرابع عن حدها الثانى بمقدار 30 أوجد م.هـ
  • فى م.هـ اذاعلم ـن مجموع ثلاث حدود منها = 280 فما رتب هذه الحدود
  • ثلاث أعداد فى تتابع هندسى مجموعهم = 7 وحاصل ضربهم = 8 أوجد هذه الأعداد

ملاحظه: ثلاث أعداد فى تتابع هندسى وحاصل ضربهم معلوم

نفرضها ، أ ، أر

أ

ر

عوده

سعيد الصباغ

slide38

عوده

سعيد الصباغ

slide39
الأوساط الهندسيه
  • الوسط الهندسى لعدة كميات موجبه عددها ن هو الجذر النونى لحاصل ضرب هذه الأعداد
  • الوسط الهندسى للعددين الموجبين أ ، ب هو ±√ أ × ب
  • أذا كانت أ ، ب ، جـ ثلاث حدود من متتابعه هندسيه

فأن ب وسط هندسى بين أ ، جـ ويكون ب 2 = أ × جـ

مثال أذاكان ( أ – 1 ، أ +2، 3أ ) فىتتابع هندسى أوجد قيمة أ

( أ + 2) وسط هندسى

( أ + 2) 2 = (أ – 1) × 3أ

أ2 + 4أ +4 = 3أ2 – 3أ

2أ2 – 7أ – 4 = 0

(2أ + 1)( أ – 4) = 0

أ = 4 أو أ = -1/2

عوده

سعيد الصباغ

slide40
مثال عددان وسطهما الهندسى الموحب يزيد عن أحدهما بمفدار4 وينص عن الآخر بمقدار 12أوجد العددين

8 ا = 16

أ = 2 بالتعويض ب = 18

نفرض العددين أ ، ب

√ أ × ب – أ = 4 (1)

ب - √ أ× ب = 12 ( 2)

بالجمع

ب – ا = 16

ب = 16 + أ بالتعويض فى (1)

√ أ ( أ + 16) = أ + 4 بالتربيع

أ 2 + 16 أ = أ2 + 8أ + 16

قاعده هامه

(1 )لأى عددين موجبين

الوسط الحسابى > الوسط الهندسى

(2) ثلاث أعداد م . هـ فأن

مربع الثانى = حاصل ضرب الآخرين

عوده

سعيد الصباغ

slide41
مثال : ثلاث أعداد موجبه م .ح مجموعهم 18 وأذا أضيف للعدد الثالث 3 كانت الأعداد م.هـ اوجد الأعداد

د 2 + 3 د – 18 = 0

( د – 3 ) ( د + 6 ) = 0

د = 3 أو د = - 6

عند د = 3 الأعداد

0( 6 -3 ) ، 6 ، ( 6 + 3)

3، 6 ، 9

عند د = -6 الأعداد

- 9 ، 6 ،

نفرض الأعداد أ – د ، أ ، أ + د

أ – د + أ + أ + د = 18

3أ = 18 أ = 6

الأعداد

( 6 – د ) ، 6 ، ( 6 + د ) فى م.ح

( 6 – د ) ، 6 ، ( 6 + د + 3) م . هـ

36 = ( 6 – د) ( 9 + د )

36 = 54 – 3د – د2

عوده

سعيد الصباغ

1 2 2
تذكز:(1) ررتبة الحد الأخير = عدد الحدود (2) عدد الحدود = عدد الأوساط +2
  • أدخل 10 أوساط هندسيه بين 3 ، 6144وأوجد الوسطين الأول والأخير

الوسط الأول = أر

الوسط الأخير = ل/ر

رتبة الحد تذيد عن رتبة الوسط بمقدار 1

مثال و4 = ح 5

عدد الأوساط عدد الحدود - 2

عدد الأوساط 10عدد الحدود 12

ل = أ ر ن -1

6144= 3 × ر 11 ÷ 3

2048= ر 11

2 11 = ر 11 ر = 2

م.هـ 3 ، 6 000000 ، 3074 ،6144

الوسط الأول = 6 االأخير 3074

عوده

سعيد الصباغ

1 2 21
تذكر أذاكان ب ، جـ عددين موجبين فأن(1) الوسط الحسابى = ( ب + جـ ) / 2 .(2) الوسط الهندسى = √ ± ب× جـ
  • أذا كان س ، ص عددان موجبان

أثبت أن + > 2

الوسط الحسابى > الوسط الهندسى

[ + ] ÷ 2>

[ + ] ÷ 2 > 1 بالضرب ×2

+ > 2

س

ص

ص

س

س

ص

  • تدريب
  • أذاكان أ ، ب ، جـ أعداد موجبه
  • أثبت أن
  • 1 + أ ب > 2 أ ب
  • أ + جـ ب > 2 أب جـ
  • ( أ +ب جـ )( أ + ) > 4أجـ

س

ص

ص

س

ص

س

س

ص

ص

س

س

ص

ص

س

س

ص

عوده

سعيد الصباغ

70 4 5 4
ثلاث اعداد تكون م.هـ مجموعهم = 70 وأذا ضرب الأول فى4 والثانى فى 5 والثالث فى4 كون الناتج م.ح أوجد الأعداد

نفرض الأعداد أ ، أر ، أ ر2

أ + أ ر + أ ر2 = 70

أ ( 1 + ر + ر 2 ) = 70 (1)

4أ ، 5أر ، 4أ ر2 م.ح

5أر وسط حسابى

2× 5أر = 4أ + 4 أ ر2بالقسمه ÷2أ

5ر = 2 + 2ر 2

2ر2 – 5ر + 2 = 0

( 2ر- 1) ( ر – 2) = 0

ر = 1/2 ، ر = 2

عند ر = 1/2 بالتعويض فى (1)

أ = 40 الأعداد ( 40 ، 20 ،10)

عند ر =2 ومن (1) أ = 10

الأعداد (10 ،20 ، 40)

عوده

سعيد الصباغ

slide45

عوده

سعيد الصباغ

slide46
أيجاد مجموع المتتابعه الهندسيه
  • م.هـ ( أ ، ار ،أر2 ؛ أ ر3 ؛ 0000000، ل/ر2 ، ل/ر ، ل)
  • جـ ن = حيث ر > 1 المتتابعه تذايديه
  • جـ ن = حيث | ر| < 1 متناقصه
  • جـ ن = يستخدم أذا علم الحد الأول ، ، ، والأخير

أ ( ر ن – 1)

ر - 1

أ (1 - ر ن )

1 - ر

ل ر– أ

ر - 1

عوده

سعيد الصباغ

1 3 1 2
م.هـ فيها ح 1 = 3 ؛ ح ن+1 = 2 ح نأوجد مجموع الحدود الخمسه الأولى منها

نتائج هامه

أذاكان الأساس ر = 1 فأن

جــ ن = ن × أ

اذاكان الأساس | ر | < 1 المتتابعه متناقصه يمكن جمع حدودها ألى مالا نهايه

جــ ∞ =

أ = 3 ، ح ن+1 ÷ ح ن = 2

الأساس ر= 2

م .هـ ( 3 ، 6 ، 12 ، 0000)

جـ ن =

جـ 5 =

جـ 5 = 3 ( 32 -1 ) = 93

أ ( ر ن – 1)

ر - 1

3( 2 5 – 1)

2 - 1

أ

1 - ر

عوده

سعيد الصباغ

3 6 12 00000 3072
م.هـ (3 ، 6 ،12 ؛00000، 3072) أوجد مجموع حدودها
  • تدريبات
  • م.هـ حدها الأول = 1/4 والأخير = 32 ومجموعها = 75و63أوجد عدد الحدود
  • أوجد اقل عدد من حدود م.هـ ( 2، 4 ، 8 ، 000 ) إ بتدأ من حدها الأول ليكون المجموع اكبر من 62
  • م.هـ مجموع الحدود الأربعه الأولى =75 ، مجموع الأربعه التاليه لها = 1200 أوجد المتتابعه

أ = 3 ، ر = 2 ، ل = 2072

جـ ن =

جــ ن =

جــ ن = 6213

ل ر– أ

ر - 1

3072× 2 – 3

2 - 1

عوده

سعيد الصباغ

slide49

م هـ حدودها موجبه والنسبه بين جـ 9 الولى :؛جـ 6 الأولى = 73: 9أوجد أساس المتتابعه وأذاكان الوسط الحسابى بيم ح 3 ، ح 5 يذيد عن وسطهم الهندسى بمقدار 4 أوجد المتتابعه

جـ 9 : جـ 6 = 73 : 9

× = 73 : 9

=

=

9 ر 6 + 9 ر3 + 9 = 73ر3 +73

9ر 6 – 64ر 3 – 64 = 0

(9ر 3 + 8)( ر 3- 8) = 0

9ر3 = - 8 مرفوض ر 3= 8 ر = 2

الوسط الحسابى ( ح 3 + ح 5 ) ÷ 2

(4أ + 16أ ) ÷ 2 = 10 أ

الوسط الهندسى بين ح 3 ، ح5 = ح 4 = 8أ

10 أ – 8 أ = 4 أ = 2

م 0 هـ ( 2 ، 4 ، 8 ، 000)

ر – 1

أ( ر6 – 1)

أ ( ر 9 – 1)

ر - 1

( ر 9 – 1)

ر6 - 1

73

9

( ر 3 – 1) (ر 6 + ر 3 +1)

( ر3 – 1)( ر 3 + 1)

73

9

عوده

سعيد الصباغ

slide50

م0هـ جميع حدودها موجبه وأساسها أصغر من الواحد الصحيح ، الوسط الحسابى ح 3 ، ح 5 =30 ووسطهم الهندسى 24 أوجد م هـ ثم أثبت أم مجموع حدودها مهماكبر لايذيد على 384

( 2ر – 1)(ر – 2) =0

( ح 3 + ح 5 ) ÷ 2 = 30

( أ ر 2 + أ ر4 ) ÷2 = 30

أ ر2 + أ ر4 = 60 (1)

الوسط الهندسى للحدين ح 3 ، ح 5 = ح 4

أر3 = 24 (2) بقسمة (1) على (2)

=

=

2ر 2 – 5 ر + 2 = 0

ر= 1/2 أو ر = 2 مرفوض

ر= 1/2 بالتعويض فى (2)

أ = 192

م0هـ( 192 ، 96 ، 48 ، 000

جــ ∞ =

جــ ∞= 192 ÷ ( 1 – 1/2)

= 192 × 2 = 384

أ

1 - ر

60

24

أر2 ( 1 + ر 2 )

أر 3

1+ ر 2

ر

5

2

سعيد الصباغ

عوده

4 0 2 3 5 5 3 2
إذاكان 4 ، ب ، جـ م0ح وكانت 2 ، ب + 3 ، 5جـ م هـ اوجد قيمة كلا من ب ، جـثم اوجد جـ ∞ للمتتابعه (5جـ ، ب+3 ، 2 ،

4 ، ب ، جـ م ح أذا ب وسط حسابى

2ب = 4 + جـ جـ = 2ب – 4 (1)

2، ب + 3 ، 5جـ ب+ 3 وسط هندسى

( ب +3 ) 2 = 10 جـ (2) ومن (1)

ب 2 + 6 ب + 9 = 10 ( 2ب – 4)

ب 2 + 6ب + 9 = 20 ب – 40

ب2 – 14 ب + 49 = 0

( ب – 7) ( ب – 7) = 0

ب = 7 وبالتعويض فى (1)

جـ = 14 – 4 = 10

م هـ ( 2 ، 10 ، 50 ،000)

م هـ ( 5 جـ ، ب +3 ، 2 ، 00

(50 ، 10 ، 2 ، 00 متناقصه

أ = 50 ر = 1/5

جــ ∞ = = 5و62

50

1- 1/5

عوده

سعيد الصباغ

1 2 1
م هـ غيرمنتهيه اى حد فيها = مجموع الحدود التاليه له ن ح 1+ ح2 = 1أوجد المتتابعه

أ = 2 جـ∞ أبتدأ من ح 2

أ = 2× بحذف أ

1- ر = 2ر ومنها 3ر = 1

ر= 1/3 (1)

ح 1 + ح 2 =1

أ + أر = 1بالتعويض من (1)

أ + 1/3 أ = 1 ومنها أ = 3/4

م هـ ( ، ، ، 000

أر

1 - ر

الكسر العشرى الدائر

3و = 3و + 03و+003و+00

3و جـ ∞ حيث أ = 3و ، ر= 1و

3و = =

3و = يمكن تحويل

الكسر الدائر الى عدد نسبى

الكسر العشرى الدائر

3و = 3و + 03و+003و+00

1- 1و

1

3

1

12

1

4

3

4

عوده

سعيد الصباغ

slide53
تدريبات

1) م هـ حدودها موجبه يزيد حدها الخامس عن حدها الرابع بمقدار 27 ويزيد حدها الرابع عن حدها الثانى بمقدار30

أوجد المتتابعه وقيمة الحد الخامس

2) م هـ حدودها موجبه فاذاكان ح 5 + 2ح 6 = 3 ح 4

أوجد المتتابعه

3) ثلاث أعداد فى تتابع هندسى مجموعهم = 21 ومجموع مقلوباتهم = 7/12 أوجد الأعداد

4) أدخل 7 أوساط هندسيه بين 3 ، 768 أوجد الوسطين الأول والأخير

عوده

سعيد الصباغ

slide54
5)عددان وسطهم الهندسى 4 واحدهم يزيد عن الأخر بمقدار6 فما هما العددان

6) أذا أدخلت عدة أوساط هندسيه بين 9 ، 576 وكانت النسبه بين مجموع الوسطين الأوبين ألى مجموع الوسطين الآخرين هى1: 8

فما عدد تلك الأوساط

7) م ح (6أ ، 3ب ، 2جـ ، 2د) موجبه أثبت أن

(1) 3 ب2 > 4أ جـ (2) 3ب2 + 2جـ2 >4أجـ +3ب د

8) م هـ جـ 6 الأولى = 28جـ 3 الأولى ، ح 1+ ح 3= 100اوجد م هـ

9)م هـ فيها جـ ن الأولى = 7 ،جـ 2ن الأولى = 63 أوجد جـ 3ن الأولى

10) م هـ فيها جـ ∞ = 18ومجموع مربعات حدودها 162 أوجد م هـ

11) اذا كان |س|<1 أوجد قيمة 1+2س+3س2+4س3+0000∞

12) ثلاث أعداد م ح مجموعهم = 27 ,أذا أضيف ألى الحد الثالث 12 أصبحت

العداد فى تتابع هندسى فما هى الأعداد

عوده

سعيد الصباغ

slide55

تم بحمد الله

مع أطيب الامانى بالتوفيق

أ/سعيد الصباغ

اللهم هذا جهدى،جهد عاجزاٍ أمام فيضك فيض المنعم الوهاب

اللهم أن كان عملى هذا نافعاً لعبادك ،

فاجعله فى ميزان حسناتى يوم العرض عليك

عوده للقائمه

سعيد الصباغ