Download
1 / 91
1.06k likes | 1.69k Views
الفكرة العامة. أحل المعادلات التربيعية بيانيا .وبإكمال المربع وباستعمال القانون العام. أمثل الدوال الأسية أحدد المتتابعات الهندسية. أحلل التمثيلات البيانية للدوال التربيعية ـ أمثل الدوال التربيعية بيانيا. لماذا ؟.
E N D
الفكرة العامة • أحل المعادلات التربيعية بيانيا .وبإكمال المربع وباستعمال القانون العام. • أمثل الدوال الأسية • أحدد المتتابعات الهندسية .
أحلل التمثيلات البيانية للدوال التربيعية ـ أمثل الدوال التربيعية بيانيا
لماذا ؟ تعد نافورة الملك فهد في جدة أعلى نافورة من نوعها في العالم، إذ يصل ارتفاعها إلى ٣١٢ مترا، وتقدم عرضا رائعا لحركة المياه والضوء، ويمكن تمثيل حركة المياه بمعادلات تربيعية. كما يمكنك استعمال التمثيلات البيانية لهذه المعادلات لتوضيح مسار المياه.
: خصائص الدوال التربيعية : درست سابقا الدوال الخطية، وهناك أيضا دوال غير خطية تختلف أشكال تمثيلاتها البيانية. فالدوال التربيعية مثلا هي دوال غير خطية ويمكن كتابتها على الصورة د(س) = أس ٢+ ب س+ ج ، حيث أى ٠، و ُ تسمى هذه الصورة بالصورة القياسية للدالة التربيعية ويسمى التمثيل البياني للدالة التربيعية قطعا مكافئا. وتتماثل القطوع المكافئة حول خط يتوسطها يسمى محور التماثل، يقطع القطع في نقطة واحدة تسمى الرأس.
ويكون التمثيل البياني للدالة ص= أس ٢+ ب س+ ج مفتوحا إلى الأعلى، إذا كان أ > ٠، وتمثل أدنى نقطة فيه نقطة القيمة الصغرى، ويكون مفتوحا إلى الأسفل، إذا كان أ < ٠ وتمثل أعلى نقطة فيه نقطة القيمة العظمى ، وتمثل نقطتي القيمة العظمى أو القيمة الصغرى رأس القطع.
مثال : استعملى جدول القيم لتمثيل الدالة ص = ٣س ٢+ ٦س- ٤ بيانيا، وحددى مجالها ومداها الحل • : مثل الأزواج المرتبة بيانيا، ُ ثم وصل بينها بمنحنى أملس. ويمتد التمثيل البياني للقطع المكافئ إلى ما لا نهاية من كلا طرفيه، ومجاله هو جميع الأعداد الحقيقية، ومداه هو { ص| ص ≥ - ٧ }؛ لأن - ٧ هي القيمة الصغر.
الأشكال المتماثلة هي تلك الأشكال التي يكون نصفاها متطابقين تماما. فالقطع المكافئ هو شكل متماثل وله محور تماثل، وكل نقطة في نصف القطع إلى يسار محور التماثل تقابلها نقطة في النصف الآخر له.
مثال أوجد الرأس، ومعادلة محور التماثل، والمقطع الصادي للتمثيل البياني التالي: الحل • الخطوة 1: أوجد الرأس. بما أن المقطع المكافئ مفتوح إلى الأسفل فالرأس يمثل النقطة العظمى له وهي ( ٢، ٣).
الخطوة 2: أوجد محور التماثل. بما أن محور التماثل هو المستقيم الذي يمر بالرأس ويقسم القطع إلى نصفين متطابقين، لذا تكون معادلة محور التماثل هي س= ٢. • الخطوة 3: أوجد المقطع الصادي. بما أن المقطع الصادي هو النقطة التي يتقاطع فيها القطع المكافئ مع محور الصادات، وهي النقطة ( ٠، - ١)، لذا يكون المقطع الصادي هو -1.
عند تحديد خصائص القطع المكافيء من قاعدة الدالة فغال ً با من الأسهل إيجاد معادلة محور التماثل أولاً.
مثال : أوجدى الرأس، ومعادلة محور التماثل، والمقطع الصادي للدالة: ص = ٢ س ٢ + ٤س – ٣ الحل : أوجدى الرأس، ومعادلة محور التماثل، والمقطع الصادي للدالة: ص = ٢ س ٢ + ٤س – ٣
: ولإيجاد إحداثي الرأس، خذ القيمة الناتجة من معادلة محور التماثل، واعتبرها إحداثيا سينيا لرأس القطع المكافىء ثم عوضها في معادلة القطع المكافىء لإيجاد الإحداثي الصادي. • ص = ٢ س ٢ + ٤س - ٣ المعادلة الأصلية • = ٢ (- ١) ٢ + ٤(- ١) - ٣ = - ٥ س = - ١، بسط • الرأس هو (- ١، - ٥)، وبما أن المقطع الصادي هو عنــد النقطة ( ٠، ج) دائما، لذا فالمقطع الصادي هو - ٣.
مثال : عرضت الجمعية السعودية للعلوم الفيزيائية فيلما لاطلاق نموذج صاروخ، حيث يمكن تمثيل ارتفاع الصاروخ عن الأرض بالأقدام بعد س ثانية بالدالة ف(س)=- ١٣ س ٢+ ١٣٠ س+ ٣١٢ . الحل
ب ) ما الارتفاع الذي اطلق منه الصاروخ؟ : اطلق الصاروخ عندما كان الزمن صفرا، أو عند المقطع الصادي للدالة، أي من على ارتفاع ٣١٢ قدما عن الأرض. الحل
ج ) ما أقصى ارتفاع يصله الصاروخ؟ : القيمة العظمى للارتفاع تقع عند الرأس، لذا يصل الصاروخ إلى أقصى ارتفاع له ٦٣٧ قدما بعد خمسة ثوان من بدء الإنطلاق. الحل
فكرة الدرس • أحل المعادلات التربيعية بيانيا ـ أقدر حلول المعادلات التربيعية من تمثيلها البيانى
لماذا؟ : يعبر عن المسار المنحني لكرة قدم ركلت داخل ملعب بالدالة ص = - ٠٫٠٠٥ س ٢ + س + ٥؛ حيث س المسافة الأفقية التي قطعتها الكرة بالأقدام، ص ارتفاع الكرة فوق سطح الأرض بالأقدام. ويمكن استعمال المقاطع السينية للتمثيل البياني لهذه الدالة لتحديد المسافة الأفقية التي ستقطعها الكرة حتى تلمس الأرض.
الصورة القياسية للمعادلة التربيعية هي أس ٢+ب س+ج= ٠، حيث أ ≠ ٠، ولكتابة الدالة التربيعية على صورة معادلة، استبدل ص أو د (س) بصفر، وتذ ّ كر أن حلول المعادلة أو جذورها يمكن تحديدها بإيجاد المقاطع السينية للتمثيل البياني للدالة المرتبطة، ويوجد للمعادله التربيعية حلان حقيقيان أو حل حقيقي واحد، أو لا يوجد لها حلول حقيقية.
مثال : حل المعادلة س ٢ - ٢س - ٨ = ٠ بيانيا. الحل : • : مثل الدالة د (س) = س ٢ - ٢س - ٨ المرتبطة بالمعادلة بيانيا. تظهر المقاطع السينية للتمثيل البياني عند - ٢، ٤. لذا فالحلول هي - ٢، ٤.
تقدير الحلول : : تمثل الجذور التي وجدت للمعادلات السابقة أعدادا صحيحة، إلا أن جذور المعادلات التربيعية ليست دائما كذلك، ويستعمل في هذه الحالات التقدير لإيجاد قيم تقريبية لجذور المعادلة.
: حلَّ المعادلة س ٢ + ٦س + ٦ = ٠ بيانيا، وإذا لم تكن الجذور أعدادا صحيحة، فقدرها لأقرب جزء من عشرة. مثـــال الحل : : مثل الدالة المرتبطة د (س) = س ٢ + ٦س + ٦ بيانيا. يقع المقطعان السينيان بين - ٥، - ٤، وبين - ٢، - ١. أنشئ جدولاً بتدريج طوله ٠٫١ لقيم س التي تقع بين - ٥، - ٤، وبين - ٢،- ١. وابحث عن التغير في إشارات قيم الدالة، وتعد قيمة الدالة الأقرب إلى الصفر هي التقريب الأفضل لصفر الدالة.
: بما أن قيمة الدالة الأقرب إلى الصفر عند تغير الإشارة في كلا الجدولين هي – ٠٫١١ ، لذا فإن الجذرين التقريبيين هما: - ٤٫٧ ، - ١٫٣ .
مثال : قذف سميح الكرة بقدمه من ارتفاع قدم واحدة من الأرض إلى الأعلى بسرعة ٦٥ قدم/ثانية، وتمثل الدالة ع= - ١٦ ن ٢+ ٦٥ ن+ ١ ارتفاع الكرة ع بالأقدام بعد ن ثانية، فكم تبقى الكرة في الهواء تقريبا؟ الحل : : لإيجاد جذور المعادلة - ١٦ ن ٢+ ٦٥ ن+ ١= ٠، استعمل الحاسبة البيانية في تمثيل الدالة المرتبطة د (س) = - ١٦ ن ٢+ ٦٥ ن+ ١. بما أن المقطع السيني الموجب للتمثيل هو ٤ تقري ً با، لذا فإن الكرة بقيت ٤ ثوان تقريبا في الهواء.
فكرة الدرس • أكتب العبارة التربيعية على صورة مربع كامل ـ أحل معادلات تربيعية بإكمال المربع
يسدد لاعبو كرة السلة بعض كراتهم نحو المرمى بمسار يمكن تمثيله بالمعادلة: ع= - ٩ س ٢ + ١٨ س + ٥، حيث تمثل ع ارتفاع الكرة بعد س ثانية. ويمكن إيجاد الزمن عند أي ارتفاع معطى للكرة ؛ فمثلا لإيجاد الزمن عندما تكون الكرة على ارتفاع ٣ أمتار، نحتاج إلى حل المعادلة: ٣= - ٩ س ٢ + ١٨ س + ٥ باستعمال طرق مختلفة منها طريقة إكمال المربع.
إكمال المربع : : درست في الدرس ٧- ٦ حل معادلات تربيعية بإيجاد الجذر التربيعي لكل طرف منها، والتي تستعمل فقط، إذا كان المقدار الواقع على الطرف الأيمن مرب ً عا كام ً لا، أما في العبارات ثلاثية الحدود التربيعية التي تمثل مربعات كاملة والتي يكون معاملها الرئيسي ١، فهناك علاقة بين معامل الحد الذي يحتوي س والحد الثابت.
مثال : أرادت إحدى الفرق الرياضية شراء زي خاص بلاعبي كرة القدم، إذا أمكن تمثيل تكلفة الزي الرياضي بالمعادلة: ك = ٠٫٢ س ٢+ ٤٫٨ س+ ٣٥٠ ، حيث ك ثمن س قطعة من هذا الزي، فما عدد القطع التي يمكن شراؤها بمبلغ ٨٦٠ ريالا؟
