Contribution à l’analyse et à la commande de systèmes non linéaires à commande échantillonnée

1. Contribution à l’analyse et à la commande de systèmes non linéaires à commande échantillonnée Laurent Burlion Directrice de thèse : Madame F. Lamnabhi-Lagarrigue Co-encadrant : Monsieur T. Ahmed-Ali

2. Introduction

3. Plan de l’exposé Introduction • Commande par retour d’état statique et échantillonnage • Convergence GAS • Convergence SPA • Application aux Systèmes sous la forme strict-feedback • Application aux systèmes sous la forme strict-feedforward • Commande par retour d’état dynamique / Commande adaptative et échantillonnage • Convergence GAS • Convergence SPA • Idées d’extension aux systèmes sous la forme strict-feedback • Futurs travaux et application Conclusion

4. Commande d’un hélicoptère Problème : les performances de l’émulation sont médiocres en dessous de 50Hz

5. 1-Retour d’état statique et échantillonnage

6. Classe de systèmes Entre deux instants d’échantillonnage : Notion de discrétisé exact :

7. Types de convergences étudiées Définition : (Stabilité Semi-globale, Pratique et Asymptotique (SPA)) Caractérisation : Définition : (Stabilité Globale Asymptotique (GAS))

8. 1.1- Convergence GAS et échantillonnage

10. émulation Théorème (Herrmann, Spurgeon et Edwards 99) Lorsque la commande est émulée le système reste GAS pour toute période d’échantillonnage suffisamment faible

11. 1.2- Convergence SPA et échantillonnage

12. « Redesign » de la commande continue Commande d’ordre r : Hypothèses sur la commande continue : La solution du système bouclé satisfait des conditions particulières. (en terme de régime transitoire, vitesse de convergence …)

13. où La commande d’ordre r est « meilleure » que la commande d’ordre r-1 ssi si (sur un certain domaine et pour T suffisamment faible).

14. « redesign » par des grands gains: Si de plus : En choisissant : Rapport entre l’ordre de la commande et l’ordre de la précision :

15. « Fonctions saturation d’ordre r »

16. Exemple : Avec une commande d’ordre 0 : Avec une commande d’ordre 1 :

17. augmentation du gain de la commande continue

19. augmentation du gain de la commande continue

21. 1.2.1- Application aux systèmes de la forme strict-feedback

22. « Algorithme de Backstepping classique robuste » Pseudo-commande :

23. « Algorithme de Backstepping modifié et récursif pour r>2 » Pseudo-commande : Commande :

24. « Trois nouveaux résultats » - un résultat général (publié à IJC 05) sous des hypothèses fortes mais qui ne donne pas une méthode constructive de la commande - un algorithme constructif pour gagner en précision quand l’ordre de la commande augmente et en vitesse de convergence si on le rend plus robuste par des grands gains - un algorithme constructif pour gagner en précision et en vitesse de convergence et garantissant que la commande est d’autant meilleure que l’ordre augmente

25. Exemple « Contrôleur Backstepping continu GAS Contrôleur « SPA » de Teel-Nesic construit à partir du schéma d’Euler Notre Contrôleur « SPA » basé sur l’approximation à l’ordre 2 :

26. Contrôleur de Teel/Nesic Notre contrôleur Pour plusieurs conditions initiales, nous avons constaté que notre contrôleur (qui utilise plus d’informations sur le discrétisé exact) est plus rapide, donne moins de dépassement et nécessite moins d’énergie

27. 1.2.2- Application aux systèmes de la forme strict-feedforward

28. Commande : Changement de coordonnées :

29. 2-Retour d’état dynamique / commande adaptative et échantillonnage

30. Classe de systèmes T>0 Commande dynamique : Commande adaptative :

31. 2.1- Convergence GAS et échantillonnage

33. « émulation dynamique » Théorème (Burlion, Ahmed-Ali et Lamnabhi-Lagarrigue 04) Lorsque la partie commande est émulée le système reste GAS pour toute période d’échantillonnage suffisamment faible Dans la preuve, nous utilisons notamment le concept de fonction de Lyapunov étendu aux systèmes hybrides impulsionnels.

34. 2.2- Convergence SPA et échantillonnage

35. « Redesign » de la commande adaptative continue Commande d’ordre r : Sur-paramétrisation

36. Hypothèses sur la commande continue : La solution du système bouclé satisfait des conditions particulières. (en terme de régime transitoire, vitesse de convergence …)

37. La commande d’ordre r est dite « meilleure » que la commande d’ordre r-1 si (sur un certain domaine et pour T suffisamment faible).

38. Nous choisissons la loi d’adaptation suivante : si sinon Nous utilisons : Nous obtenons lorsque

39. Exemple de dimension 1 En continu : A l’ordre 1 : Si

40. 2.2.1- Idées d’extension aux systèmes de la forme strict-feedback

41. Exemple En continu : A l’ordre 1 :

42. Commande continue : A l’ordre 0 : A l’ordre 1 :

43. Ordre d’idée de la complexité : calculs réalisés par le logiciel Maple

45. Simulation numérique en partant par exemple de (1,1) à 20Hz

46. 3- Futurs travaux et application

47. Commande d’un hélicoptère soumis à des rafales de vent Le système s’écrit sous la forme strict-feedback à multi-entrées et possède des paramètres inconnus. L’implémentation des commandes a lieu à une fréquence de 25Hz Problème : les performances de l’émulation sont médiocres en dessous de 50Hz

48. Problèmes ouverts et thèmes de recherche futurs • éliminer la sur-paramétrisation en commande adaptative • synthétiser des commandes échantillonnées d’ordre supérieur par retour de sortie • relaxer les hypothèses permettant d’assurer la convergence GAS et donner une meilleure borne supérieure de la période d’échantillonnage qui garantit la stabilité GAS

49. Conclusion

50. Publications • L. Burlion, T. Ahmed-Ali et F. Lamnabhi-Lagarrigue, On the Stability of a Class of NonLinear Hybrid Systems, in Proc. of NOLCOS 04, Stuttgart, 2004. • T. Ahmed-Ali, L. Burlion et F. Lamnabhi-Lagarrigue, On the stabilization of sampled-data systems by using higher order approximations of the exact discretized systems, in Proc. of IMACS World Congress, Juillet, 2005. • L. Burlion, T. Ahmed-Ali et F. Lamnabhi-Lagarrigue, On the Stabilization of Sampled-Data Nonlinear Systems by using Backstepping on the higher order approximate models, International Journal of Control, vol. 79,no.9, Septembre, pp.1087-1095, 2006. • L. Burlion, T. Ahmed-Ali, F. Lamnabhi-Lagarrigue, On the stability of a class of nonlinear hybrid systems, Journal of Nonlinear Analysis, Décembre, 2006. • L. Burlion, T. Ahmed-Ali et F. Lamnabhi-Lagarrigue, On the adaptive control of Nonlinear Sampled-Data Systems, accepté à la conférence ECC 2007. • L. Burlion, T. Ahmed-Ali et F. Lamnabhi-Lagarrigue,Adaptive control redesign for some Nonlinear Sampled-Data Systems, soumis à la conférence NOLCOS 2007.