MODELARE ECONOMICA GENERALA

1. MODELARE ECONOMICA GENERALA Lucian-Liviu ALBU Institutulde Prognoza Economica Academia Romana SPODE, Academia Romana, Decembrie 2010

2. Structura cursului • Introducere in modelarea economica • Modele economice si modele econometrice • Prototipul modelului macroeconomic • Scurta istorie a modelarii economice • Cicluri endogene si modele non-lineare • Tendinte recente in modelarea economica • Aplicatii si exemple

3. Introducere in modelarea economica • Un model economic este, prin definitie, oricare reprezentare a unui fenomen economic real, a unui sistem economic real sau a unui proces economic real. • Un fenomen economic real este reprezentat de model in vederea explicarii, previziunii si controlului, aceste obiective corespunzand, asa cum se va vedea in continuare, celor trei scopuri ale modelarii economice si econometrice: analiza structurala, previziunea sau prognoza si respectiv evaluarea politicilor . • Problema esentiala in modelare este aceea a gasirii unei solutii optime intre complexitate si manevrabilitate sau eficienta. • Cu cat un model este mai complex, el va reprezenta mai fidel realitatea, dar va deveni mai costisitor si nemanevrabil. • Cu cat un model este mai simplu, el va fi mai manevrabil si mai putin costisitor, dar se va indeparta de reflectarea fidela a realitatii. Cazul extrem este tratarea unui sistem prin asa numita black box, care pune in relatie doar intrarile si iesirile, neinteresandu-se decat in foarte mica masura de structura.

4. Modele economice si modele econometrice • Când termenul de econometrie (econometrics) a apărut prima dată în anii ’30 ai secolului trecut, el exprima atât dezvoltarea teoriei pure printr-un punct de vedere matematic, cât şi estimarea empirică a relaţiilor economice. • Astăzi, econometria se situează între economia matematică (mathematical economics) şi statistica economică (economic statistics). Aceste două ramuri ale ştiinţei economice s-au format ca urmare a două curente opuse, din punctul de vedere al concepţiei de abordare a economiei: “numai teorie” şi respectiv “numai fapte”. • Primul curent de gândire se preocupă doar de implicaţiile deductive pure ale anumitor sisteme ipotetice care antrenează fenomene economice. Cel de-al doilea, în schimb, este interesat în special de dezvoltarea şi perfecţionarea sistemului de culegere şi înregistrare a datelor economice. În realitate însă între cele două abordări extreme există un flux permanent: teoria are nevoie de date pentru confirmarea ipotezelor şi concluziilor sale, iar studiile empirice au nevoie pentru dezvoltarea interpretărilor de rezultatele teoriei. • Joncţiunea dintre teorie şi fapte este realizată cel mai bine tocmai în cazul abordărilor econometrice (figura 1).  

5. Figura1.

6. Oricare model economic sau econometric isi poate propune unul doua sau toate cele trei obiective ale modelarii (analiza structurala, previziunea sau prognoza si respectiv evaluarea politicilor), pentru care “teoria” si “faptele” reprezinta “materii prime”. Aceste obiective sunt de regula strans corelate. • Analiza structurala reprezinta utilizarea unui model econometric estimat pentru masurarea cantitativa a relatiilor economice. Ea permite compararea diverselor teorii referitoare la acelasi fenomen. Ea reprezinta ceea ce poate fi considerat drept “obiectiv stiintific” al econometriei, anume acela de a intelege fenomenele din lumea reala prin masurare cantitativa, testare si validare a relatiilor economice. Unul dintre rezultatele sale importante poate fi o influenta feed-back asupra teoriei. • Prognoza reprezinta utilizarea unui model econometric estimat pentru a prezice valorile cantitative ale anumitor variabile dincolo de setul de date reale observate. Prognoza poate reprezenta baza pentru actiuni si politici viitoare. • Evaluarea politicilor reprezinta utilizarea unui model econometric estimat pentru alegerea intre politici alternative. Astfel se poate introduce explicit o functie obiectiv de maximizat prin alegerea unor politici, dar tinand seama in procesul de optimizare de constrangerile impuse de modelul estimat. O alta abordare presupune simularea unor politici alternative si elaborarea de prognoze conditionate de valorile viitoare ale unor variabile relevante pentru fiecare alternativa in parte.

7. Prototipul modelului macroeconomic • Construirea modelelor macroeconomice se bazează, de regulă, pe relaţiile care se stabilesc în cadrul unei economii naţionale între componentele Produsului Intern Brut sau ale Produsului Naţional Brut şi o serie de alţi factori exogeni, de asemenea la nivel agregat. • Venitul naţional (Y), înţeles ca orice măsură a activităţii economice agregate, incluzând ca un caz special PNB, este compus din câteva categorii de cheltuieli, dintre care partea cea mai semnificativă este reprezentată de cheltuielile de consum. Funcţia de consum (deviată uşor de la forma standard a unei funcţii lineare) determină cheltuielile de consum ca o funcţie de venitul naţional. Celelalte componente ale PNB sunt investiţiile, cheltuielile guvernamentale şi investiţiile străine nete. Dacă se presupune că aceste cheltuieli sunt exogene (determinate prin alte mecanisme), suma totală a cheltuielilor poate fi reprezentată grafic prin adăugarea la consum, pentru fiecare nivel al venitului naţional, a acestor cheltuieli exogene (figura 2).

8. Figura 2.

9. Modelul reprezentat grafic poate fi exprimat prin următorul sistem de două ecuaţii: C = C(Y) (1) Y = C + Z (2) • Variabilele acestui model sunt consumul, C, venitul naţional, Y, şi cheltuielile exogene, Z. Dându-se funcţia de consum C(Y) şi cheltuielile autonome Z, sistemul de ecuaţii determină valorile de echilibru ale consumului C0 şi venitul naţional Y0. Ecuaţia (1) este funcţia de consum, o relaţie comportamentală indicând cum răspund consumatorii la nivel agregat la un anumit volum al venitului în termenii deciziei referitoare la cele două mari alternative consum-economisire. Ecuaţia (2) reprezintă o condiţie de echilibru, statuând că la echilibru venitul total este dat de suma dintre cheltuielile de consum şi cheltuielile exogene. • Echilibrul venitului naţional se obţine prin introducerea funcţiei de consum (1) în ecuaţia (2) şi prin rezolvarea acesteia în raport cu Y0: Y0º C(Y0) + Z (3) iar consumul de echilibru va fi atunci obţinut din ecuaţia (1), conform relaţiei C0º C(Y0) (4)

10. Există o serie de avantaje ale modelului algebric în raport cu reprezentarea geometrică. Unul dintre acestea se referă la manipularea sa uşoară. Pentru a ilustra aceasta, diferenţiem ambele părţi ale identităţii (3) în raport cu Z şi obţinem dY0 / dZ = (dC / dY0) (dY0 / dZ) + 1 (5) • Grupând termenii şi remarcând că dC/dY0 reprezintă de fapt înclinaţia marginală spre consum, notată cu MPC (marginal propensity to consume), evaluată pentru nivelul de echilibru al venitului naţional, atunci ultima relaţie poate fi scrisă astfel dY0 / dZ = 1 / (1 - MPC) (6) • Acest rezultat este cunoscut şi sub denumirea de multiplicator, indicând efectul de amplificare a efectului unei schimbări în cheltuielile exogene, precum cheltuielile guvernamentale, asupra nivelului de echilibru al venitului naţional. După cum se observă, multiplicatorul depinde fundamental de valoarea lui MPC: mici modificări ale valorii acestuia pot conduce la ample schimbări ale multiplicatorului şi în consecinţă la diferenţe semnificative între variantele de prognoză sau între cele folosite pentru evaluarea politicilor economice bazate pe acest model.

11. Modelul macroeconomic simplu definit de relaţiile (1) şi (2) ilustrează natura generală a modelelor algebrice. Astfel de modele constau în câteva ecuaţii, care pot comportamentale, precum funcţia de consum (1), o condiţie de echilibru, precum aceea de echilibru a venitului naţional (2), sau condiţii de alt tip, dar fiecare dintre aceste ecuaţii are o semnificaţie separată şi un rol distinct în cadrul modelului. • Modelul determină valorile anumitor variabile, denumite endogene, variabile dependente reunite în cadrul modelului care sunt simultan determinate prin relaţiile modelului. În cazul nostru consumul şi venitul naţional sunt variabile endogene, care pot fi explicate sau prognozate. Modelul conţine de asemenea variabile exogene, care sun determinate în afara sistemului, dar care îl influenţează prin afectarea valorilor variabilelor endogene. Ele afectează sistemul dar nu sunt la rândul lor afectate de către acesta. În cazul modelului macroeconomic prototip cheltuielile exogene reprezintă acest tip de variabilă. • Modelul conţine anumiţi parametri, care sunt în general estimaţi prin utilizarea tehnicilor econometrice şi a datelor relevante. În cazul nostru, parametrii sunt cei care apar în funcţia de consum. Desigur, există o vastă varietate de alegeri ale formelor funcţionale disponibile pentru un model algebric, iar selectarea unei forme particulare depinde de acceptabilitatea din punct de vedere teoretic, de plauzibilitate, de uşurinţa estimării şi de calitatea acestora în raport cu datele reale pentru perioada trecută, de calitatea prognozelor şi nu în ultimul rând de abilitatea cercetătorului economist.

12. Un model econometric poate fi definit ca fiind un tip special de model algebric, anume unul stocastic, datorită faptului că include una sau mai multe variabile aleatoare (random variables). • Modelul econometric poate fi linear sau non-linear. În primul caz se numeşte că modelul este linear în parametri. Ipoteza linearităţii este importantă deoarece, pe de o parte, permite demonstrarea teoremelor matematice şi statistice referitoare la acest tip de modele şi, pe de altă parte, asigură calcularea facilă a valorilor luate de variabile. Modelul macroeconomic prototip folosit de noi, definit de relaţiile (1) şi (2), este linear dacă funcţia de consum este de forma C(Y) = a + bY (7) unde a şi b sunt parametri relevanţi, b având interpretarea înclinaţiei marginale spre consum, presupusă constantă în acest caz. Atunci, multiplicatorul este dY0 / dZ = 1 / (1 - b) (8) • Motivul presupunerii linearităţii (în parametri) rezidă în comoditate şi în posibilităţile de manipulare oferite de această ipoteză. În mod particular, tehnicile econometrice au fost aplicate iniţial şi dezvoltate apoi pe cazul modelelor lineare. • S-ar putea ca utilizarea ipotezei linearităţii să pară exagerată. Câteva argumente vin să demonstreze că nu este chiar aşa.

13. În primul rând, multe dintre relaţiile economice, ca de altfel şi din alte ştiinţe sociale, sunt prin însăşi natura lor lineare. De exemplu, condiţia de echilibru a venitului naţional (2) este lineară, aşa cum sunt de asemenea definiţiile cheltuielilor, venitului, costului şi profitului. • În al doilea rând, ipoteza linearităţii se aplică doar pentru parametri şi nu pentru variabilele modelului. Astfel, forma pătratică a funcţiei consumului C(Y) = a + bY + cY2 (9) deşi este non-lineară în raport cu variabila, Y, în raport cu parametrii, a, b şi c, în acest caz, este lineară. Variabile precum Yn pot fi în mod similar introduse în ecuaţie. A se nota că în cazul formei pătratice MPC=b+2cY, iar multiplicatorul este dat de relaţia dY0 / dZ = 1 / (1 - b - 2cY0) (10) unde Y0 este nivelul de echilibru al venitului naţional. • Al treilea motiv se referă la faptul că un model poate fi adesea transformat într-unul linear. Transformarea logaritmică poate fi utilizată în acest sens în numeroase cazuri. • Al patrulea motiv se referă la faptul că oricare funcţie calmă (nu una abruptă) poate fi în mod rezonabil aproximată, folosindu-se metodologii adecvate, printr-o funcţie lineară, cum este de exemplu în cazul utilizării dezvoltărilor seriilor Taylor.

14. Să considerăm, de exemplu, funcţia de producţie generală Y = F(K, L) (11) • Exprimând outputul ca o funcţie generală de capital şi muncă. Dacă funcţia este continuă, ea poate fi aproximată printr-o funcţie lineară prin simpla luare în considerare a porţiunii lineare din dezvoltarea seriei Taylor. Extensia în jurul nivelurilor de bază (K0 , L0) se poate scrie astfel în acest caz Y @ F(K0, L0) + (¶F/¶K)(K0, L0)(K - K0) + (¶F/¶L)(K0, L0)(L - L0) (12) unde funcţia şi derivatele sale parţiale sunt toate evaluate la nivelul de bază. Deci, într-o vecinătate mică în jurul punctului (K0 , L0) Y se poate aproxima suficient de rezonabil prin  Y @ a + bK + cL (13) unde, notând derivatele parţiale prin produsele marginale, MPK şi respectiv MPL, a = F(K0, L0) - MPK (K0, L0) K0 + MPL (K0, L0) L0 (14) b = MPK (K0, L0) (15) c = MPL (K0, L0) (16) • O altă caracteristică importantă a unui model econometric este faptul că el este stocastic, în opoziţie cu modelele deterministe. Un model stocastic include variabile aleatoare, în vreme ce un model determinist nu cuprinde asemenea variabile.

15. De regulă, se construieşte iniţial un model determinist, care apoi este transformat într-unul stocastic. În fizică este ilustrată această cale prin exemplul trecerii de la modelul determinist al mecanicii lui Newton la cel stocastic al mecanicii cuantice. Revoluţia acestei tranziţii a constat în observaţia fundamentală că nu se poate identifica poziţia exactă a unei particule elementare, dar se poate determina probabilitatea de distribuţie a acestei locaţii. • Pentru a aprecia natura stocastică a modelelor economice, considerăm iarăşi modelul macroeconomic prototip, constituit din ecuaţiile (1) şi (2), unde prima dintre acestea a fost înlocuită prin funcţia de consum lineară (7). Această funcţie relevă că, pentru oricare nivel dat al venitului naţional, consumul este determinat exact ca numărul a+bY. Este aceasta un fapt rezonabil? Evident nu! Alături de venit, oricare economist ştie că mulţi alţi factori pot afecta consumul, cum sunt averea, preţurile, gusturile şi obiceiurile etc. În plus, relaţia poate să nu fie aşa de simplă cum este redată prin ecuaţia (7), iar variabilele nu pot fi măsurate cu acurateţe. De aceea, este rezonabil să estimăm C la un nivel dat al lui Y ca o medie rezultată din aplicarea funcţiei lineare considerate. În general, consumul va cădea în cadrul unui anumit interval de încredere, adică C(Y) = a + bY + Î (17) unde Î este un termen aditiv al abaterii stocastice, care joacă rolul unui mecanism al şansei de realizare sau altfel spus probabilistic.

16. În general, toate ecuaţiile unui model econometric, cu excepţia celor de definiţie, a celor exprimând condiţiile de echilibru şi a identităţilor, trebuie să conţină termenul aditiv al abaterii stocastice. • Termenii stocastici sunt variabile aleatoare neobservabile având presupuse anumite proprietăţi, precum mediile, variaţiile sau dispersiile şi covarianţele. Valorile luate de către aceste variabile ale modelului sunt necunoscute cu certitudine, în consecinţă ele pot fi considerate ca mărimi aleatoare derivând dintr-o probabilitate de distribuţie. Includerea unor asemenea termeni ai abaterii stocastice în model este esenţială în vederea utilizării instrumentelor aşa-numitei inferenţe statistice pentru estimarea parametrilor modelului. • Modelele econometrice pot fi statice sau dinamice. • Un model static nu implică explicit dependenţa de timp, acesta nefiind esenţial pentru model. Simpla adăugare a timpului ca indice al variabilelor nu converteşte un model static într-unul dinamic. • Un model dinamic este unul în care timpul joacă un rol esenţial, adică dacă variabilele decalate (întârziate) sau diferenţele de-a lungul timpului în cazul variabilelor fac parte din model. Astfel, dacă vreo ecuaţie a modelului este una de diferenţe, atunci modelul este dinamic. Timpul joacă un rol esenţial de asemenea în cazul în care variabilele şi ratele lor de schimbare în timp sunt explicit considerate, ca în cazul unei ecuaţii diferenţiale.

17. Prototipul modelului macroeconomic este de fapt o generalizare a modelului grafic al determinării venitului naţional, ilustrând generalizarea fezabilă a unui model algebric. El reprezintă prototipul pentru diverse modele macroeconomice. Esenţialmente, modelul prototip macroeconomic este un model dinamic, în care timpul este o variabilă fundamentală. Concret, o variabilă endogenă este specificată ca dependentă de o valoare luată de o altă variabilă endogenă în anul precedent. Modelul macroeconomic prototip constă din următoarele trei ecuaţii structurale: Ct = g1 Yt + b1 + ÎCt (18) It = g2 Yt + b2 Yt-1 + b3 + ÎIt (19) Yt = Ct + It + Gt (20) unde Ct, It şi Yt reprezintă cele trei variabile endogene ale modelului, anume consumul, investiţiile şi respectiv venitul naţional în anul t. Gt reprezintă variabila exogenă a modelului, anume cheltuielile guvernamentale în anul t, iar Yt-1 este venitul în anul anterior, o variabilă endogenă decalată în timp (lagged). Variabilele ÎCt şi ÎIt reprezintă termenii abaterii stocastice pentru consum şi respectiv investiţii. Termenii gşi b sunt cinci parametri structurali care urmează a fi estimaţi.

18. Prima ecuaţie este funcţia consumului. • A doua determină cheltuielile de investiţii pe baza valorilor venitului atât a celui curent cât şi a celui din perioada precedentă. Cazul în care investiţia este autonomă, aşa cum a fost tratată anterior, reprezintă un caz special în care g2, b2 şi ÎIt sunt toate identice cu zero, astfel It este constanta b3. Alt caz important este acela în care b2 = -g2, unde investiţia urmează un aşa-numit mecanism accelerator. De această dată nivelurile investiţiei sunt bazate pe schimbările în venitul naţional, de unde rezultă It = g2 (Yt - Yt-1) + b3 + ÎIt (21) • Ultima ecuaţie a modelului (20) este condiţia de echilibru, specificând venitul naţional ca sumă a consumului, investiţiei şi cheltuielilor guvernamentale. • Modelul macroeconomic prototip poate fi prezentat şi sub forma unei diagrame flux, denumită şi schemă a săgeţilor, precum în figura 3. Aceasta arata efectele atât ale variabilelor exogene cât şi ale celor endogene decalate în timp asupra variabilelor endogene curente. De asemenea sunt relevate interacţiile dintre variabilele endogene. Valoarea venitului naţional curent influenţează investiţiile viitoare, aşa cum arată linia întreruptă, care poate fi conectată la investiţiile din anul următor.

19. Figura 3.

20. Condiţia de echilibru poate fi utilizată pentru a elimina o ecuaţie şi o variabilă endogenă. În acest caz, oricare dintre cele trei variabile endogene poate fi eliminată. Pentru a elimina I, ecuaţia (19) poate fi substituită în (20) pentru a obţine cele două ecuaţii structurale, (18) şi respectiv Yt=[1/(1 - g2)]Ct +[b2/(1 - g2)]Yt-1 + [1/(1 - g2)]Gt + b3/(1 - g2) + ÎIt/(1 - g2) (22) • Forma structurală, în notaţie matriceală, se afla in suportul de curs (23). • Ecuaţiile în forma redusă sunt uşor de obţinut prin substituţie sau prin inversarea matricei 2x2 care postmultiplică vectorul variabilelor endogene, postmultiplicând această inversă în (23) şi rezolvând pentru (Ct Yt). Rezultatul este Yt = [b2/(1 - g1 - g2)]Yt-1 + [1/(1 - g1 - g2)]Gt + (b1 + b3)/(1 - g1 - g2) + + (ÎCt + ÎIt)/(1 - g1 - g2) (24) Ct = [g1b2/(1 - g1 - g2)]Yt-1 + [g1/(1 - g1 - g2)]Gt + + [g1b3 + (1 - g2)b1]/(1 - g1 - g2) + [g1ÎCt + (1-g2)ÎIt]/(1 - g1 - g2) (25) • Aceste ecuaţii determină venitul curent şi consumul ca funcţii de venitul din perioada precedentă şi cheltuielile guvernamentale curente. În general, ecuaţiile formei reduse dau fiecare variabilă endogenă curentă ca o funcţie de toate variabilele endogene din perioada precedentă, de toate variabilele exogene şi de toţi termenii abaterii stocastice.

21. Mulţimea tuturor variabilelor exogene (determinate în afara modelului) şi a tuturor variabilelor endogene din perioada precedentă se numeşte mulţimea variabilelor predeterminate. • Ecuaţia (24) arată efectul unei schimbări ceteris paribus în cheltuielile guvernamentale asupra venitului, conform relaţiei ¶Yt / ¶Gt = 1 / (1 - g1 - g2) (26) • Acest rezultat este cunoscut ca impactul multiplicator, deoarece el indică impactul cheltuielilor guvernamentale asupra venitului. El este denumit multiplicatorul pe termen scurt (short-term multiplier), devreme ce el arată efectul cheltuielilor guvernamentale curente asupra venitului curent. În cazul special în care investiţia este predeterminată, pentru care g2=0, impactul multiplicator este similar cu multiplicatorul descris de relaţia (6), inversul unităţii mai puţin înclinaţia marginală spre consum: ¶Yt / ¶Gt (pentru g2=0) = 1 / (1 - g1) = 1 / (1 – MPC) (27) • Forma redusă a ecuaţiei pentru Y, relaţia (24), este o ecuaţie a diferenţei de ordinul întâi, care se poate scrie astfel Yt = p1Yt-1 + p2Gt + p3 + ut (28) unde p1 = b2p2, p2 = 1/(1 - g1 - g2), p3 = (b1 + b3)p2, ut = (ÎCt + ÎIt)p2 (29) • Dacă această ecuaţie a diferenţei este rezolvată, rezultatul, cunoscut ca ecuaţia formei finale, va permite calculul multiplicatorilor, pe termen scurt şi pe termen lung, pentru venit.

22. A rezolva ecuaţia diferenţei prin iteraţie, a se nota că relaţia (28) implică Yt-1 = p1Yt-2 + p2Gt-1 + p3 + ut-1 (30) •  Substituţia lui (30) în (28) produce Yt = p12 Yt-2 + p2 (Gt + p1Gt-1) + p3(1 + p1) + (ut + p1ut-1) (31) • Similar, determinarea lui Yt-2 din (28) şi introducerea rezultatului în (31) produce Yt = p13 Yt-3 + p2 (Gt+p1Gt-1+p12 Gt-2) + p3(1+p1+p12) + (ut+p1ut-1+p12 ut-2) (32) • Continuând procesul de iterare înapoi până la anul de bază, t=0, va rezulta Yt = p1t Y0 + p2 (Gt + p1Gt-1 + p12 Gt-2 + ... + p1t-1 G1) + p3(1 + p1 + p12 + ... + p1t-1) + + (ut + p1ut-1 + p12 ut-2 + ... + p1t-1 u1) (33) • Această ecuaţie este cunoscută ca ecuaţia formei finale pentru venit. Pe baza acesteia se pot calcula toţi multiplicatorii venitului, atât pe termen scurt cât şi pe termen lung. Astfel, impactul multiplicator, exprimând efectul unei schimbări în cheltuielile guvernamentale asupra venitului curent, se obţine din (33): ¶Yt / ¶Gt = p2 = 1 / (1 - g1 - g2) (34) similar ca mai sus.

23. Să considerăm acum efectul unei schimbări a cheltuielilor guvernamentale în perioada precedentă asupra venitului curent. Din (33) rezultă ¶Yt / ¶Gt-1 = p2 p1 (35) • Însumând (34) şi (35) rezultă efectul cumulat asupra venitului. Rezultatul este multiplicatorul cumulativ pentru două perioade (two-period cumulative multiplier), iar relaţia de calcul, în cazul considerării unei modificări constante a lui G, este ¶Yt / ¶Gt (pentru DGt-1=DGt) = p2 (1 + p1) = (1 - g1 - g2 + b2) / (1 - g1 - g2)2 (36) • Multiplicatorul cumulativ pentru trei perioade (three-period cumulative multiplier): ¶Yt / ¶Gt (pentru DGt-2=DGt-1=DGt) = p2 (1 + p1 + p12) (37) • Multiplicatorul cumulativ pentru r perioade (r-period cumulative multiplier) reprezintă răspunsul la o creştere în cheltuielile guvernamentale atât în perioada curentă cât şi în r-1 perioade precedente. Exprimarea sa este: ¶Yt / ¶Gt (pentru DGt-i=DGt, i=1, 2, ..., r-1) = p2 (1 + p1 + p12 + ... + p1r-1) (38) • Considerând că r tinde la infinit se obţine multiplicatorul pe termen lung (long-term multiplier): ¶Yt / ¶Gt (pentru r=+¥) = p2 (1+ p1+p12 + ...) = p2 / (1-p1) = 1 / (1-g1- g2-b2) (39) unde s-au utilizat rezultatul sumei unei serii geometrice (presupunând 0 £ p1 < 1) şi definiţiile din (29).

24. Multiplicatorul pe termen lung are interpretarea schimbării în venit provocată de creşterea cu o unitate a cheltuielilor guvernamentale nu doar în perioada curentă, ci şi în oricare perioadă trecută, extinderea fiind infinită înapoi în timp. El este deci răspunsul la un nou nivel sustenabil al cheltuielilor guvernamentale. În mod alternativ, el poate fi interpretat ca schimbare în venitul viitor indusă de o creştere permanentă în volumul cheltuielilor guvernamentale. • Dacă b1, b2 şi g2 sunt toţi pozitivi, impactul multiplicator (26) sau (34) şi multiplicatorul pe termen lung (39) vor defini limita inferioară şi respectiv limita superioară pentru toţi multiplicatorii cheltuielilor guvernamentale, măsurând efectul modificării cu o unitate a volumului cheltuielilor guvernamentale asupra venitului, anume o valoare plasată între 1 / (1 - g1 - g2) şi 1 / (1 - g1 - g2 - b2) (40) în funcţie de numărul de ani pentru care modificarea a fost implementată. • Cu ajutorul parametrilor estimaţi este posibilă obţinerea valorilor numerice pentru diverşi multiplicatori, această procedură făcând parte şi din aşa-numita analiză structurală (structural analysis). De asemenea, cu ajutorul acestor estimări este posibilă generarea unor variante de prognoză (forecast), cum este de exemplu prognozarea venitului naţional pentru anul viitor. Totodată, pe baza modelului se pot realiza studii privind evaluarea politicilor (policy evaluation), cum sunt de exemplu cele de comparare a unor niveluri alternative ale cheltuielilor guvernamentale prin prisma impactului asupra venitului naţional, consumului şi investiţiilor.

25. Experimentul aplicării modelului pentru economia românească în perioada 1998-2005 a condus la următoarele rezultate: g1 = 0.6884137417b1 = 51588.399 g2 = 0.1658331431b2 = 0.0560204040b3 = -17764.519 • short-term multiplierp2 = 6.8609168224 ( p2 = 1 / (1 - g1 - g2) ) p1 = 0.3843513323 ( p1 = b2p2 şi 0 £p1 < 1) p3 = 232062.830 ( p3 = (b1 + b3)p2 ) p2 p1 = 2.6370025213 p2 / (1 - p1) = 11.1442080233 • long-term multiplier 1 / (1 - g1 - g2 - b2) = 11.1442080233 • In figurile de mai jos sunt redate rezultatele estimărilor: a) în cazul ecuaţiei consumului (figurile 4a şi 4b) R^2 (Coefficient of Determination) = 0.9996042414 R (Correlation Coefficient) = 0.9998021011 R*^2 (Adjusted R^2) = 0.9995382816 Durbin-Watson Ratio = 2.173958585 b) în cazul ecuaţiei investiţiilor (figurile 5a şi 5b) R^2 (Coefficient of Determination) = 0.9990132439 R (Multiple Correlation Coefficient) = 0.9995065002 R*^2 (Adjusted R^2) = 0.9985198658 Durbin-Watson Ratio = 1.98391621

26. Figurile 4a si 4b.

27. Figurile 5a si 5b.

28. Scurta istorie a modelarii economice • Modelele macroeconometrice reprezintă una dintre aplicaţiile principale ale estimării ecuaţiilor simultane. Acest tip de modele folosesc în general teoria Keynesiană pentru determinarea venitului naţional (în mod uzual măsurat ca PIB sau PNB) şi a componentelor sale, consumul şi investiţiile, precum şi a altor variabile macroeconomice. • Toate modelele macroeconometrice conţin aceleaşi elemente de bază ca modelul prototip: o funcţie de consum or un grup de astfel de funcţii, o funcţie de investiţii sau un grup de astfel de funcţii şi o condiţie de echilibru al venitului naţional sau un grup de astfel de condiţii. • Modelele macroeconometrice folosite de diverşi autori în cazul concret al unor economii naţionale implică de regulă un grad mai mare de dezagregare. Modelul prototip dezagregă venitul naţional doar în trei componente, dintre care două sunt determinate endogen în model. Numeroase modele macroeconomice extind dezagregarea în interiorul celor două componente ale venitului naţional. Astfel, consumul poate fi dezagregat în consum de bunuri şi consum de servicii, iar prima categorie de consum poate ea însăşi să fie mai departe dezagregată în bunuri durabile (de exemplu, automobile) şi bunuri non-durabile (de exemplu, alimente). • Investiţiile pot fi dezagregate în capital fix productiv, acumularea de inventar şi construcţii ale rezidenţilor. • Venitulpoate fi dezagregat in diferite componente: venit din muncă şi venit din capital, în vreme ce outputul poate fi dezagregat pe sectoare de producţie. De asemenea, modelele macroeconomice pot include mai multe ecuaţii şi variabile prin luarea în considerare a altor factori, care sunt focalizaţi exclusiv asupra variabilelor venitului naţional. Printre aceştia se numără preţurile, salariile, ratele dobânzilor, forţa de muncă şi şomajul etc.

29. Tendinţele, pe măsură ce ne apropiem de zilele noastre, au fost, pe de o parte, de creştere a numărului modelelor macroeconometrice aplicate pe cazul a unui număr tot mai mare de ţări, şi, pe de altă parte, de utilizare a unui număr tot mai mare de variabile şi ecuaţii. • Stimulul principal pentru accentuarea acestor tendinţe a provenit din creşterea capacităţii de prelucrare a datelor şi a vitezei de lucru a noilor calculatoare, dar şi din perfecţionarea tehnicilor econometrice. • Primele modele macroeconometrice, aşa-numitele modele mici, precum Modelul interbelic al lui Klein şi Modelul Morishima-Saito, s-au limitat de regulă la un număr de ecuaţii stocastice mai mic de zece. • Următoarele, denumite modele de dimensiune medie, precum Modelul Klein-Goldberger şi Modelul Wharton, au inclus între zece şi o sută de ecuaţii. • Generaţiile următoare de modele, incluzând Modelul Brookings, Modelul MPS şi Modelul DRI, modele denumite mari, folosesc deja mai mult de o sută de ecuaţii. În continuare, se prezinta pe scurt câteva dintre modele macroeconometrice folosite: • Primul model macroeconometric a fost cel construit de Tinbergen pentru a studia ciclurile afacerilor în economia americană în perioada 1919-1932. • Modelul interbelic Klein a fost construit de Lawrence R. Klein pentru analza economiei americane în perioada dintre cele două războaie mondiale, anume între 1921-1941. • Modelul Morishima-Saito, de asemenea aplicat în cazul economiei americane, pentru perioada 1902-1952 (exceptând intervalul 1941-1945), este un model de creştere economică pe termen lung. • Modelul Klein-Goldberger este un model econometric de talie medie aplicat pentru economia americană în perioada 1929-1952 (excluzând însă anii războiului, 1942-1945).

30. Modelul Wharton este un descendent al modelului precedent, de care totuşi diferă în principal prin următoarele trei aspecte: este estimat prin utilizarea datelor trimestriale, varianta iniţială a modelului bazându-se pe 68 observaţii, între 1948.1 - 1964.4; a fost în mod explicit conceput pentru elaborarea de prognoze privind viitorul economiei, în particular pentru componentele venitului naţional şi pentru şomaj; implică un grad mai mare de dezagregare, o mai bună tratare a identităţilor contabile şi o mai bună integrare a sectorului monetar. • Modelul Brookings a fost la vremea realizării sale la începutul anilor ’60 ai secolului trecut cel mai mare şi mai ambiţios model macroeconometric model al economiei americane. El este un model trimestrial foarte dezagregat, cuprinzând în versiunea standard 176 variabile endogene şi 89 variabile exogene. Modelul reprezintă în detaliu structura economiei, fiind utilizat pentru analiza structurală a ciclurilor şi pentru evaluarea creşterii şi a politicilor. Modelul a fost estimat utilizându-se datele trimestriale ajustate sezonier pentru intervalul 14949-1960. • Modelul MPS este versiunea publică a unui model econometric dezvoltat de Federal Reserve Board, MIT şi Universitatea din Pennsylvania, fiind utilizat pentru prognoză şi evaluarea politicilor de către Sistemul Federal de Rezerve din SUA. • Modelul DRI, dezvoltat de Data Resources, Inc., este unul dintre cele mai mari modele ale economiei americane, fiind foarte dezagregat, în special datorită influenţelor venite de la modelele Brookings, Wharton şi alte modele timpurii.

31. Cicluri endogene si modele non-lineare • Economiştii matematicieni au arătat în mod tradiţional preferinţă pentru utilizarea modelelor lineare sau cel puţin linearizabile în vecinătatea unei soluţii. Desigur, utilizarea unor modelele care au doar o singură soluţie sau poziţie de echilibru, care pot fi rezolvate în mod explicit, mai degrabă decât utilizând proceduri numerice iterative, şi care au proprietăţi statistice rezonabil de simple este explicabilă pentru stadiile incipiente ale dezvoltării ştiinţei economice. Astfel de modele pot fi analizate utilizând un arsenal limitat de tehnici, rezultatele fiind adesea ambigue. • Modelele non-lineare timpurii conţinând soluţii multiple, cum sunt acelea produse de unii economişti importanţi, precum Marshall şi Walras, au fost complet ignorate pentru o lungă perioadă. • În analiza proceselor dinamice, accentul a fost pus pe utilizarea ecuaţiilor diferenţiale lineare simple care produc cicluri de tip regulat. De asemenea, s-a înţeles necesitatea trasării unei distincţii clare între sistemele deterministe care produc un comportament regulat, deci predictibil, şi seriile statistice care reflectă un comportament aleator sau stohastic, deci imprevizibil. Comportamentul haotic al acestor serii dinamice a fost interpretat simplu ca fiind stohastic, iar, în estimarea modelelor lineare, observaţiile neconvenabile au fost catalogate drept accidentale şi, în consecinţă, ignorate.

32. În ultimii ani, totuşi, se observă o creştere impresionantă a interesului comunităţii ştiinţifice pentru analiza sistemelor non-lineare. Cercetarea unor astfel de sisteme, demarată prin studiile realizate de cercetători din domeniul matematicii şi al ştiinţelor naturale, a condus la dezvoltarea unor concepte şi metode fundamental noi. Cu toate că aplicarea acestora în cadrul ştiinţei economice se află încă în faza de început, au fost deja obţinute unele rezultate remarcabile de mare interes pentru economişti. • Există numeroase domenii şi contexte economice în care metodele non-lineare se pot dovedi foarte folositoare, precum comportamentul piaţelor de capital şi a ratelor de schimb, problemele datoriei externe, depresiunile economice, hiperinflaţia şi riscul bancar ş.a. • Majoritatea studiilor din fazele incipiente au început cu analiza numerică a modelelor non-lineare extrem de simple, ceea ce astăzi reprezintă doar baza prelucrării datelor şi a calculului cu ajutorul PC-ului. S-a descoperit astfel că chiar cele mai simple modele non-lineare sunt capabile să repoducă o vastă varietate de proprietăţi. De exemplu, s-a descoperit că schimbări foarte mici ale valorii parametrilor produc rezultate surprinzătoare, precum este chiar în cazul unor modele clasice simple, care se considerau în trecut ca având un comportament ciclic clar şi uşor predictibil. Aceasta a condus în mod natural la idea de “haos determinist”. • Acest tip de exerciţiu numeric poate fi astăzi reprodus de oricare utilizator care dispune de un calculator personal. Rezultatele numerice obţinute prin utilizarea unor modele specifice au condus totodată la căutarea de rezultate mai generale, încurajând dezvoltarea unor concepte fundamental noi, adesea la un nivel mai înalt de abstractizare. În mod particular, conceptele de echilibru, stabilitate şi dimensiune au trebuit să fie revizuite.

33. În domeniul analizei dinamicii macroeconomice există astăzi o mare varietate de metode şi tipuri de abordare pentru studierea fluctuaţiilor din economie şi din datele financiare. Aceste abordări au fost inspirate de o serie de curente de gândire, precum cel Keynesist, cel monetarist sau acela al aşteptărilor raţionale, şi au fost denumite drept modele ale ciclului afacerilor Keynesian, ale expectaţiilor conducând la cicluri sau ale ciclului afacerilor reale. • Pe de altă parte, există o vastă literatură, publicată de către revistele statistice sau econometrice, privind metodele empirice de testare a mecanismelor care generează date non-lineare. Desigur, există deja o lungă istorie a teoriei ciclului afacerilor şi a metodelor empirice. Persistenţa ciclurilor a fost observată încă de către economiştii secolului al nouăsprezecelea, iar teorii riguroase ale fluctuaţiilor şi ale ciclurilor afacerilor au început a se contura în deceniile patru şi cinci ale secolului trecut, prin contribuţiile lui Kalecki, Frisch, Kaldor, Hicks, Samuelson şi Goodwin. Încă din acele timpuri, s-au cristalizat două posibile perspective ale analizei ciclului afacerilor: crearea lor fie prin mecanisme generatoare de oscilaţii - aşa-numitele cicluri endogene non-lineare fie prin şocuri aleatoare asupra unui sistem economic fundamental stabil - aşa-numitele cicluri stocastice Slutsky-Frisch. • Cel puţin până prin anii 70, marea majoritate a econometricienilor au lucrat în tradiţia de modelelor de tip Slutsky-Frisch a ciclurilor stocastice ale afacerilor, folosind tehnici econometrice lineare. De regulă, nu au fost luate în considerare ciclurile endogene, concentrarea asupra mecanismului generator de date nonlineare stocastice a fost foarte rară (ca excepţii notabile menţionăm studiile elaborate de Klein şi Preston). • Literatura privind nonlinearităţile în ciclul afacerilor s-a dezvoltat rapid în ultima vreme. Aceasta s-a focalizat pe analiza seriilor de timp univariate şi multivariate, metodele încercând să detecteze mecanismele generatoare de date pentru mişcările oscilatorii sau haotice (Blatt, 1978, Brock, 1986, şi Ramsey, 1988).

34. Prin intermediul noilor metode statistice precum testul BDS, testul pragurilor, testul ireversibilităţii timpului sau modelele ARCH, GARCH sau bilineare au fost descoperite structuri nonlineare semnificative în seriile de date din economie şi finanţe (Brock, Hsie şi LeBaron, 1991, Tong, 1990, Brock, 1992 şi Granger şi Terasvirta, 1993) şi au fost modelate structuri nonlineare semnificative. • Prima abordare sistematică a seriile dinamice referitoare la ciclul afacerilor a fost realizată de către Burns şi Mitchell (1946). Studiul lor s-a concentrat pe tratarea separată a fiecărui ciclu ca fiind un episod separat, pornind de la un nivel minim printr-o expansiune până se atinge un vârf, urmată apoi de o contracţie spre un alt nivel minim. De regulă, ciclul afacerilor a fost caracterizat prin lungimea medie a perioadelor de expansiune şi a celor de contracţie, prin amplitudinea fluctuaţiilor şi prin comportamentul variabilelor economice în interiorul unui ciclu. Acest tip de caracterizare a ciclului afacerilor a fost şi este încă intens folosită de către numeroşi cercetători în aşa-numita tradiţie NBER (National Bureau of Economic Research), aşa cum au procedat Friedman şi Schwartz (1963) în opera lor fundamentală “Monetary History”. • Majoritatea macroeconometricienilor însă au abandonat metodologia Burns-Mitchell, invocându-se faptul că aceasta este doar parţial obiectivă şi că seriile generate de ea nu au bine definite proprietăţile statistice. Multe dintre studiile mai recente au operat în schimb sub ipoteza că variabilele urmează procese stocastice lineare cu coeficienţi constanţi. Acest mod de abordare permite o mai bună integrare a teoriei macroeconomice cu econometria. În schimbul acestei integrări şi a bunei înţelegeri a proprietăţilor statistice, comparativ cu “bogăţia” analizei Burns-Mitchell, s-a pierdut totuşi posibilitatea de a analiza asimetriile între recesiuni şi expansiuni sau noţiunea de timp al ciclului afacerilor (diferit de timpul calendaristic) ş.a.

35. Evoluţia macroeconomiei reflectă interacţiunea mai multor moduri de comportament. Prin mod de comportament se înţelege o structură particulară a comportamentului dinamic, precum creştere sau fluctuaţie, cauzată de o mulţime particulară de procese cu reacţie inversă. Cel mai important mod este creşterea exponenţială pe termen lung a economiei mondiale. Această creştere exponenţială (atât cauză cât şi consecinţă a industrializării, creşterii populaţiei, acumulării capitalului, progresului tehnologic şi accidentului istoric) s-a accelerat dramatic de la începerea revoluţiei industriale, transformând virtual fiecare aspect al lumii în care trăim. • Totuşi, dezvoltarea economică în jurul trendului creşterii este încă departe de a fi regulată. Desigur, fluctuaţiile ciclice sunt o trăsătură persistentă a vieţii economice. Istoricii economiei au identificat câteva cicluri distincte, între care ciclul afacerilor pe termen scurt (3-7 ani), ciclul construcţiilor sau al lui Kuznets (15-25 ani) şi ciclul sau valul lung, denumit şi ciclul Kondratieff (40-60 ani). • Dezbaterile continuă şi azi în legătură cu cauzele ciclului afacerilor pe termen scurt, de altfel cel mai studiat dintre toate tipurile. Cauzele şi chiar existenţa ciclurilor lungi sunt încă mai controversate în literatură. Unul dintre principalele “mistere” a fost acela al existenţei a doar câtorva periodicităţi distincte, mai degrabă decât a ciclurilor de toate frecvenţele. Întrebarea firească este cum pot interacţiona diferitele cicluri? În plus, în ciuda unor notabile excepţii (Goodwin, 1951 şi Kaldor, 1940), până recent, cele mai multe modele ale ciclurilor economice au fost lineare.

36. Dacă sistemul economic este linear, ciclurile produse de diferite firme, industrii şi naţiuni ar putea evolua independent unul de altul şi comportamentul total ar putea fi suprapunerea lineară a modurilor independente. În vreme ce firmele individuale ar putea prezenta fluctuaţii, agregatul mai multor firme oscilând independent ar putea fi perfect constant, deci s-ar putea să nu existe nici un ciclu al afacerilor ca fenomen macroeconomic. Se constată că în vreme ce difuzia ciclurilor afacerilor a beneficiat de o considerabilă atenţie empirică, înţelegerea teoretică a sincronizării a rămas în urmă. Astfel, multe teorii găsesc cauza sincronizării în sursele comune ale variaţiei externe, fie politicile monetare guvernamentale fie cele fiscale, schimbările în cererea agregată sau şocuri şi expectaţii puternic corelate (Burns, 1969, Mitchell, 1927, Zarnowitz, 1985). • Teoria dinamicii moderne oferă însă altă explicaţie: modul non-linear închis. În sistemele non-lineare suprapunerea nu este posibilă. În schimb, periodicităţile oscilatorilor cuplaţi se pot ajusta între ele pentru a realiza un raport raţional sau un număr cheie (în sensul constantelor universale). Modul acesta de comportament a fost demonstrat în numeroase sisteme naturale (mişcarea Lunii în jurul Pământului, vizibilă fiind doar una dintre feţe, ca unul dintre exemple). Se consideră că această teorie poate oferi explicaţii mai robuste decât explicaţiile anterioare şi poate crea posibilitatea unor fenomene non-lineare precum bifurcaţiile dublării perioadei, soluţii periodice multiple simultane şi haos determinist. Acest mod de comportament face de asemenea posibilă apariţia aşa-numitei scări a diavolului, o structură fractală neuzuală. Toate aceste fenomene şi proprietăţi ale analizei non-lineare au fost demostrate pe baza unui model relativ simplu al ciclului lung, precedat de modelele valului lung, formalizate şi dezvoltate în cadrul grupului de sisteme dinamice de la MIT (Forrester, Graham, Senge, Sterman ş.a.). Sintetic, rezultatele modelului se observa in figura 6.

37. Figura 6.

38. Sisteme globale unidimensionale cu timp discret • Ecuaţia logistică a jucat un rol important în dezvoltarea matematicii haosului, oferind totodată, datorită utilizării sale frecvente în aplicaţii economice, un punct util de pornire în prezentarea unor idei fundamentale ale modelării non-lineare economice. • Să considerăm variabila Yt , unde 0 £ Yt£1 şi t = 1, 2, 3, … Sistemul dimamic discret: Yt+1= f (Yt ) = mYt (1 - Yt ) (1) este cunoscut în literatură sub denumirea de ecuaţie logistică. Un exemplu este oferit de următorul model dinamic simplu al cheltuielilor pentru reclamă ale unei firme. Presupunem că între cheltuielile pentru reclamă şi nivelul profitului există următoarea legătură: pe măsură ce cheltuielile de reclamă, Yt , cresc, profitul firmei, Xt , mai întâi se majorează, apoi, după ce atinge un maxim, începe să scadă. Considerăm, de asemenea, că cheltuielile pentru reclamă din perioada următoare sunt proporţionale cu profitul din perioada curentă, adică: Xt = lYt (1 - Yt ), l > 0 (2) Yt+1 = gYt , g > 0 (3) • Combinând aceste două ecuaţii se obţine ecuaţia logistică (1), unde m = lg. • Comportamentul sistemului, functie de diverse valori ale parametrului msunt redate in figurile urmatoare (7, 8 si 9).

39. Figura 7. m = 2,0 m = 2,8

40. Figura 8. m = 3,2 m = 3,5

41. Figura 9. m = 3,58 m = 3,83

42. Informaţia despre comportamentul modelului logistic pentru diversele valori ale lui m pot fi vizualizate sub forma unei diagrame, precum aceea din figura 2, unde m este măsurat pe axa absciselor, iar Y pe aceea a ordonatelor. Pentru acele valori ale lui m care generează comportament haotic, o linie verticală solidă se conturează pe grafic. • Figura 10 ilustrează proprietăţile lui Y pentru m cuprins între 2,0 şi 4,0. Aceasta este cunoscută în literatură ca o diagramă a bifurcaţiilor, unde fiecare punct, corespunzând unei dublări a perioadei, redă multiplicarea ramurilor diagramei (adică bifurcaţiile). Pentru valori ale lui m între 3,57 şi 4,0, diagrama bifurcaţiilor prezintă benzi negre corespunzând haosului, separate de ferestre. De asemenea, în cadrul acestor ferestre apar cicluri de ordin impar (cicluri impare). Aceasta semnifică în general, aşa-numita ordine în interiorul haosului. O altă caracteristică a logisticii, când utilizăm reprezentarea sub forma diagramei bifurcaţiilor, este aceea că dacă fiecare fereastră este privită mai de aproape (mărim rezoluţia), diagrama se prezintă exact ca o copie a diagramei integrale (aceasta este cunoscută sub denumirea de autosimilaritate). • Ecuaţia logistică reprezintă un exemplu de proces unidimensional cu timp discret. Alte exemple sunt următoarele: Yt+1= Yt exp (m (1- Yt)), m > 0 (4) Yt+1= Yt + m Yt (Yt2 – 1 ) (5) Yt+1= m sin (Yt) (6) Acestea sunt denumite logistică exponenţială, triunghiulară, cubică şi respectiv trigonometrică. Proprietăţile logisticilor de mai sus capătă semnificaţii suplimentare atunci când se face extinderea la întreg spaţiul unidimensional.

43. Figura 10. m

44. S-a arătat că pentru 0 < m < 1, originea este punctul fix stabil, pentru 1 < m < 3, există un punct fix stabil egal cu 1-1/m. Acestea au fost găsite pe cale analitică, iar calculele numerice au permis descoperirea faptului că pe măsură ce parametrul m este crescut dincolo de valoarea 3 procesul intră într-o fază ciclică, în care are loc o dublare a perioadei, până ce se atinge faza de haos determinist. Mai departe, pe măsură ce m continuă să crească apar noi şi noi “ferestre” adiţionale ale dublării perioadei, care de asemenea conduc la zone de haos. Identificarea tuturor valorilor lui m pentru care se înregistrează dublarea perioadei se dovedeşte dificilă dacă nu se dispune de un calculator foarte performant. • O astfel de încercare l-a condus pe Feigenbaum (1978) la descoperirea unei proprietăţi cu mult mai generale decât s-ar fi întrevăzut iniţial prin simpla simulare numerică. Rezultatul a fost descoperirea unei constante universale, care astăzi îi poartă numele. • Pentru a demonstra constanta universală a lui Feigenbaum, definim mn ca un punct al dublării perioadei. Considerăm următorul rată d = ( mn - mn-1 ) / ( mn+1 - mn ) (7) care exprimă raportul dintre schimbarea anterioară a parametrului necesară obţinerii dublării perioadei şi schimbarea curentă necesară dublării perioadei ciclice.

45. O implicaţie directă a relaţiei de mai sus este că, dacă se cunosc mn-1 şi mn , atunci este posibilă calcularea lui mn+1. De exemplu, după cum am arătat anterior, primele două puncte în care se observă o dublare a perioadei ciclurilor sunt mn-1= 3 şi respectiv mn = 3,449. Prin substituire, se obţine: mn+1= mn + ( mn - mn-1 ) / d@ 3,56 (8) • Aşa cum s-a arătat, valorile lui m în zona de haos, 3,57 < m < 4, produc cicluri de ordin impar. Identificarea unui ciclu de perioadă trei a devenit relevantă pentru înţelegerea proprietăţilor modelelor economice începând cu demonstraţia lui Sarkovskii, care a arătat că dacă se dovedeşte că un model prezintă un ciclu de perioadă trei, atunci el poate genera cicluri de toate ordinele posibile (a se vedea Guckenheimer şi Holmes, 1983). Acest rezultat a fost demostrat de noi pentru cazul modelului logistic, unde s-a arătat că acesta prezintă un ciclu de perioadă trei ca de altfel şi cicluri impare de ordin superior şi chiar cicluri regulate. • Li şi Yorke (1975), utilizând rezultatul lui Sarkovskii, au demostrat că dacă o hartă are un ciclu de perioadă trei, atunci ea prezintă comportament periodic şi aperiodic. Cartografierile (simulările) care satisfac această proprietate generează haos în sensul Li-Yorke. O exprimare sintetică poate fi următoarea: perioada trei implică haos. • Să considerăm o serie cronologică dată de Yt . Dacă una din următoarele condiţii este satisfăcută Yt+3 < Yt < Yt+1 < Yt+2(9) Yt+3 > Yt > Yt+1 > Yt+2 (10) atunci două traiectorii distincte în timp ale lui Yt , deşi pot fi întâmplător foarte apropiate una de alta, în viitor se vor îndepărta semnificativ. Traiectoria lui Yt poate demonstra cicluri de periodă k, cu k > 1. Astfel, dacă combinăm cu prima propoziţie, o traiectorie care prezintă un ciclu de perioadă k trebuie să se îndepărteze de la acest ciclu după o anumită perioadă de timp.

46. Sisteme globale multidimensionale cu timp discret • Una dintre cele mai cunoscute hărţi multivariabile discrete este aceea a lui Henon (1976), care se bazează pe următorul set de ecuaţii non-lineare discrete: Xt+1 = 1 - gXt2 + Yt (11) Yt+1 = b Xt (12) unde g şi b sunt parametri pozitivi. În figura 11 sunt prezentate grafic proprietăţile modelului lui Henon, pentru valorile g= 1,4 şi b= 0,3. • Drept exemplu al modelelor economice discrete non-lineare multivariabile este modelul ciclului afacerilor al lui Kaldor (a se vedea Lorenz, 1989, p.130): Yt+1 - Yt = a [It (Yt , Kt) - St (Yt)] (13) Kt+1 - Kt = It (Yt , Kt) - dKt(14) It (Yt , Kt) = c2-1/[(dYt + e)2] + eYt + a (f / Kt)g (15) St = s Yt (20) unde Yt este output-ul, Kt – stocul de capital, It – investiţiile brute, St – economiile, d – rata de depreciere a capitalului, iar a, c, d, e, e, a, f, g şi s sunt parametri (pentru aplicaţii, pentru calibrarea modelului, se iau în considerare diverse seturi de valori pentru parametri, un astfel de set fiind: d=0,05, a=20,0, c=20,0, d=0,01, e=0,00001, e=0,05, a=5,0, f=280,0, g= 4,5 şi s=0,21). Ecuaţia (13) arată că schimbările în output apar când există un ecart între economii şi investiţii, pe când ecuaţia (14) relevă faptul că sporuri nete ale stocului de capital apar atunci când investiţiile brute depăşesc ca volum investiţiile de înlocuire, dKt. Non-linerităţile sunt introduse în model prin funcţia sigmoidă a investiţiilor dată de relaţia (19), iar ecuaţia (20) reprezintă funcţia lineară simplă a economiisirii. A se vedea figura 12.

47. Figura 11.

48. Figura 12.

49. Sisteme globale cu timp continuu • În paragrafele precedente, analiza a avut în vedere demonstrarea faptului că introducerea unor non-linearităţi în modelele economice discrete unidimensionale sau multidimensionale pot genera comportamente haotice ale sistemelor. În particular, mişcarea haotică a fost identificată atunci când procesul sau procesele înregistrează salturi neregulate pe atractor. Dar modelele economice sunt adesea construite şi prin considerarea de sisteme cu timp continuu. De aceea, pentru a avea o imagine completă asupra modelării sistemelor economice, considerăm utilă investigarea condiţiilor care pot genera haos şi în cazul clasei modelelor continue. • În virtutea proprietăţilor modelelor cu timp continuu, haosul nu poate fi definit în termenii de salturi discrete pe suprafaţa unui atractor, ca în cazul modelelor discrete. Mai degrabă, în acest caz, traiectoria pe atractor este necesar a fi lină. Această cerinţă a condus la definirea, de către Ruelle şi Takens (1971), a aşa-numiţilor atractori stranii. • Conceptul de atractor straniu a fost exprimat iniţial în termenii sistemelor cu timp continuu, dar în ultima vreme există tendinţa de aplicare a sa şi în cazul sistemelor discrete. Pentru ca un atractor să fie “straniu”, este necesară satisfacerea următoarelor proprietăţi (a se vedea Ruelle, 1979): 1 – toate traiectoriile să rămână într-o regiune strict limitată a spaţiului; 2 – dependenţa (sensibilitatea) faţă de condiţiile iniţiale; 3 – atractorul nu poate fi spart (divizat) în două sau mai multe obiecte separate prin nici o procedură.

50. Atractorul Lorenz are la bază următorul sistem continuu tridimensional de ecuaţii (Lorenz, 1963): dX/dt = - a (X - Y) (21) dY/dt = bX - Y - XZ (22) dZ/dt = -gZ + XY a, b, g > 0 (23) • Proprietăţile atractorului Lorenz se pot reliefa prin utilizarea următoarelor valori ale parametrilor: a = 10,0, b = 60,0 şi g= 8/3. Cu toate că există trei parametri de control, parametrul cheie este b (a se vedea Gilmore, 1981). Trăsătura cheie a atractorului este forma de “fluture”, fiecărei aripi a acestuia fiindu-i asociat câte un punct fix instabil. • Un alt atractor, de asemenea straniu, a fost descoperit de Rossler (1976). Atractorul lui Rossler se bazează pe următorul sistem tridimensional continuu de ecuaţii: dX/dt = - (Y + Z) (24) dY/dt = X + aY (25) dZ/dt = -b-gZ + XZ a, b, g > 0 (26) • Trăsătura surpinzătoare a acestui model este că comportamentul haotic este generat dintr-un model cu o structură non-lineară chiar mai simplă decât în cazul sistemului de ecuaţii al modelului lui Lorenz. • Parametrul cheie pentru determinarea caracteristicilor traiectoriei variabilelor este g. Acest parametru joacă acelaşi rol ca parametrul m în modelul logistic, el determinând punctele critice la care apare o dublare a perioadei ca şi pe cele unde apare haosul. Efectul dublării perioadei se poate obţine prin simularea modelului pentru valori diferite ale lui g, cu a= b = 0,2. • Structura atractorului straniu Rossler este redată în figura 13. Cele trei imagini bidimensionale arată că atractorul apare ca o pâlnie cu diametrul crescând pe măsură ce g creşte.