Download
1 / 58

Nazwa szkoły: GIMNAZJUM NR 2 IM. POWSTAŃCÓW WIELKOPOLSKICH W WOLSZTYNIE - PowerPoint PPT Presentation


  • 97 Views
  • Uploaded on

DANE INFORMACYJNE. Nazwa szkoły: GIMNAZJUM NR 2 IM. POWSTAŃCÓW WIELKOPOLSKICH W WOLSZTYNIE ID grupy: 98/4_MF_G2 Kompetencja: MATEMATYCZNO-FIZYCZNA Temat projektowy: ŚREDNIE LICZB DODATNICH Semestr/rok szkolny: VI SEMESTR 2011/2012.

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about ' Nazwa szkoły: GIMNAZJUM NR 2 IM. POWSTAŃCÓW WIELKOPOLSKICH W WOLSZTYNIE ' - lee-becker


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript

DANE INFORMACYJNE

  • Nazwa szkoły:

  • GIMNAZJUM NR 2 IM. POWSTAŃCÓW WIELKOPOLSKICH W WOLSZTYNIE

  • ID grupy:

  • 98/4_MF_G2

  • Kompetencja:

  • MATEMATYCZNO-FIZYCZNA

  • Temat projektowy:

  • ŚREDNIE LICZB DODATNICH

  • Semestr/rok szkolny:

  • VISEMESTR 2011/2012


REALIZATORZY PROJEKTU

COMBIDATA Poland Sp. z o.o.

Uniwersytet Szczeciński


PATRONI PROJEKTU

ZachodniopomorskiKurator Oświaty

Wielkopolski Kurator Oświaty

Lubuski Kurator Oświaty


AGENDA

1. Dane informacyjne.

2. Średnia arytmetyczna.

3. Średnia geometryczna.

4. Średnia harmoniczna.

5. Nierówność Cauchy’ego.

6. Inne średnie.



ŚREDNIA

ARYTMETYCZNA


DEFINICJA

Średnia arytmetyczna n liczb- to suma tych liczb podzielona przez ilość n liczb.



PRZYKŁAD

Wybieramy liczby:

5, 3, 4, 4, 5, 5, 4, 3, 4, 4

i obliczamy ich średnią arytmetyczną.

Obliczenia: (5+3+4+4+5+5+4+3+4+4): 10= 4,1

Średnia arytmetyczna tych liczb to 4,1.


DEFINICJA GEOMETRYCZNA ŚREDNIEJ ARYTMETYCZNEJ

Jeżeli liczby a i b potraktujemy jako długości odcinków i zbudujemy trapez o podstawach a i b, to długość odcinka przechodzącego przez punkty C i D, które są środkami ramion trapezu jest średnią arytmetyczną długości podstaw.


ZASTOSOWANIE ŚREDNIEJ ARYTMETYCZNEJ

Średnia arytmetyczna jest najbardziej intuicyjną miarą oceny populacji stosowaną w codziennym życiu.

Możemy mówić o średniej ocen z przedmiotu, średniej płacy w firmie, średnim wzroście pewnej grupy ludzi itd.



PRZYKŁADOWE ZADANIA

Zadanie 1.

Na lekcji matematyki nauczycielka oddała klasówki. Średnia arytmetyczna punktów uzyskanych przez klasę z tego sprawdzianu wynosiła 3,6. Dwóch uczniów otrzymało po 2 pkt., siedmiu po 3 pkt., ośmiu po 4 pkt. Pozostali uczniowie dostali po 5 pkt.

Ilu uczniów pisało klasówkę?


ROZWIĄZANIE

Odp. : Klasówkę pisało 20 uczniów.


Zadanie 2.

W prywatnej hurtowni artykułów „Stalowych i Żeliwnych” łącznie z dyrektorem pracuje 13 osób . Jest ośmiu pracowników fizycznych, dwóch kasjerów, jeden księgowy i jeden zaopatrzeniowiec. Pracownicy fizyczni otrzymują po 1700 zł wynagrodzenia miesięcznie, kasjerzy po 1900zł, księgowy i zaopatrzeniowiec po 3200 zł, a dyrektor tyle co dwóch kasjerów. Oblicz jaka jest średnia miesięczna płaca w tej firmie.

PRZYKŁADOWE ZADANIA


ROZWIĄZANIE

Odp. : Średnie wynagrodzenie miesięczne wynosi 2123 zł.


ODPOWIEDNIK WAŻONY ŚREDNIEJ ARYTMETYCZNEJ

Czasem przy obliczaniu średniej niektóre z danych wejściowych mają większe znaczenie (większą wagę) niż inne.

Tu z pomocą przychodzi średnia ważona.


Przyk ad na redni wa on
PRZYKŁAD NA ŚREDNIĄ WAŻONĄ

2,9

Zadanie 1.

Oceny: sprawdziany 2, 5; kartkówki 4, 1, 2; zadanie domowe 3.

Sprawdziany mają wagę 3, kartkówki wagę 2, zadania domowe 1.

Średnia ważona ocen wynosi 2,9.


PRZYKŁAD NA

ŚREDNIĄ WAŻONĄ

Odp. : Średnia ważona wynosi 18,375.

Zadanie 2.

Oblicz średnią ważoną liczb 3,8,8,8,32,34,35 jeżeli liczby parzyste mają wagę 0,4 a nieparzyste 0,6.



DEFINICJA

Gdy wartości zmiennej występują z różną częstością, wówczas stosuje się wzór ważony na średnią geometryczną:

Średnia geometryczna jest pierwiastkiem n-tego stopnia z iloczynu n wartości zmiennej:



Definicja geometryczna redniej geometrycznej
DEFINICJA GEOMETRYCZNA ŚREDNIEJ GEOMETRYCZNEJ

Jeżeli liczby a i b potraktujemy jako długości odcinków i zbudujemy trapez o podstawach ai b, to długość odcinka równoległego do podstaw trapezu i dzielący trapez na dwa trapezy podobne jest równa średniej geometrycznej.


Za pomocą średniej geometrycznej można wyliczyć oprocentowanie odsetek.

Średnia geometryczna znajduje również zastosowanie przy badaniu średniego tempa zmian zjawisk, których rozwój przedstawiony jest w postaci szeregów dynamicznych.

ZASTOSOWANIE


ZADANIE oprocentowanie odsetek.

Podczas sezonowej pracy na plantacji truskawek Kasia zebrała 40 kobiałek, Tomek 72 kobiałki, a Zosia 75 kobiałek truskawek. Dziwnym trafem średnia liczba kobiałek truskawek zebranych przez pozostałe osoby stanowiła średnią geometryczną liczb kobiałek Kasi, Tomka i Zosi.

Oblicz, ile wszystkich osób pracowało na tej plantacji, wiedząc, że średnia liczba zebranych przez nich kobiałek truskawek była równa 61.


ROZWIĄZANIE oprocentowanie odsetek.


ZADANIA W EXCELU oprocentowanie odsetek.

Zadanie polega na obliczeniu średniej geometrycznej z liczb: 1,2,7,5,4. Wpisujemy je w pierwszej kolumnie w arkuszu Excela.


JAKIE KROKI KOLEJNO ROBIMY oprocentowanie odsetek.

W komórce C1 wpisujemy formułę:=ŚREDNIA.GEOMETRYCZNA(A1:A5)

i naciskamy Enter. Spowoduje to obliczenie odpowiedniejśredniej.


WYNIK MAMY JUŻ GOTOWY oprocentowanie odsetek.


ŚREDNIA HARMONICZNA oprocentowanie odsetek.


Średnia harmoniczna oprocentowanie odsetek.

Średnią harmoniczną

(dla liczb różnych od zera) nazywamy odwrotność średniej arytmetycznej odwrotności tych liczb.


Średnia harmoniczna oprocentowanie odsetek.

Mówiąc prościej …

Średnia harmoniczna jest to iloraz ilości pomiarów "n", dla których liczymy średnią przez sumę odwrotności tych liczb.


Wzór oprocentowanie odsetek.


Zadanie oprocentowanie odsetek.

Oblicz średnią harmoniczną dla liczb: 9, 4

Obliczenia:

Odp. : Średnia harmoniczna wynosi .


Definicja geometrycznej średniej harmonicznej oprocentowanie odsetek.

Jeżeli liczby a i b potraktujemy jako długości odcinków i zbudujemy trapez o podstawach a i b, to długość odcinka równoległego do podstaw trapezu i przechodzący przez punkt przecięcia przekątnych trapezu jest równa średniej harmonicznej.


Za pomoc redniej harmonicznej mo na obliczy np pr dko pojazdu g sto zaludnienia

Za pomocą średniej harmonicznej można obliczyć np. : oprocentowanie odsetek.

prędkość pojazdu

gęstość zaludnienia

ZASTOSOWANIE


Przykładowe zadanie oprocentowanie odsetek.

Turysta jechał rowerem przez 2 godziny z prędkością 15 km/h, a przez następne 4 godziny z prędkością 9 km/h.

Oblicz średnią prędkość jazdy za pomocą średniej harmonicznej.


Rozwiązanie oprocentowanie odsetek.

Odp.: Średnia prędkość rowerzysty to 11 km/h.


ZADANIA W EXCELU oprocentowanie odsetek.

Załóżmy, że chcemy obliczyć średnią harmoniczną następujących liczb: 5,4,5,3,7.

Wypełniamy arkusz w Excelu w następujący sposób: 


Następnie w komórce C1 wpisujemy następującą formułę: =ŚREDNIA.HARMONICZNA(A1:A5) 

Spowoduje to, że Excel obliczy nam średnią harmoniczną z wpisanych danych: 


Obliczanie średniej prędkości za pomocą średniej harmonicznej

Drogę z A do B samochód przebył z

prędkością  a z B do A z

prędkością  .

Jaka jest średniaprędkość na trasie A – B – A?


ROZWIĄZANIE harmonicznej

  • Oznaczmy przez s odległość od Ado B:

  • czas jazdy z Ado B,

  • czas jazdy z B do A.

Czas jazdy w obie strony wynosi: Prędkość średnia równa jest: 


Zadanie harmonicznej

Średnia harmoniczna dwóch kolejnych liczb nieparzystych wynosi 9,9.

Znajdź te liczby.


Rozwiązanie harmonicznej

2n+ 1 ; 1 liczba nieparzysta

2n+3 ; 2 liczba nieparzysta


Ponieważ nie potrafimy obliczyć tego równania zastosowaliśmy metodę prób i błędów.

Podstawiamy dowolne liczby (te które wydają się nam najbliższe wynikowi) aż do oczekiwanego skutku

Doszliśmy do wniosku, że tymi liczbami są 9 i 11.


Sprawdzenie zastosowaliśmy metodę prób i błędów.


Zadanie zastosowaliśmy metodę prób i błędów.

Średnia harmoniczna dwóch liczb jest równa 60. Wiedząc, że jedną z liczb jest 40, oblicz drugą liczbę.


Rozwi zanie
Rozwiązanie zastosowaliśmy metodę prób i błędów.

Wzór :

2 =

2 =

2-

x= 120


Odpowiednik zastosowaliśmy metodę prób i błędów.ważony średniej harmonicznej

  • Średnia ważona harmoniczna obliczana jest jak niżej:

    • Gdy wszystkie wagi są równe, wówczas średnia ważona harmonicznarówna się średniej harmonicznej.

  • Definicja średniej ważonej odgrywa ważną rolę w statystyce opisowej oraz pojawia się w innych formach w innych obszarach matematyki.


Zadanie: zastosowaliśmy metodę prób i błędów.Wybieramy dwie dowolne liczby dodatnie. Liczymy dla tych liczb średnią:- arytmetyczną,- geometryczną,- harmoniczną.Porównujemy wyniki.

Porównanie średnich


Obliczenia dla zastosowaliśmy metodę prób i błędów. liczb 5 i 3.

arytmetyczna > geometryczna > harmoniczna


NIERÓWNOŚĆ CAUCHY’EGO zastosowaliśmy metodę prób i błędów.

Nierówność Cauchy'egoo średnich dla liczb dodatnich a1, a2, ..., anstwierdza, że ciąg: średnia kwadratowa, średnia arytmetyczna, średnia geometryczna, średnia harmoniczna liczb a1, a2, ..., anjest nierosnący. Jej nazwa pochodzi od nazwiska Augustina Louisa Cauchy'ego.


AUGUSTIN LOUIS CAUCHY zastosowaliśmy metodę prób i błędów.

AugustinLouis Cauchy(1789 - 1857) – francuski matematyk. Zapoczątkował projekt postulujący i przedkładający dowody twierdzeń analizy matematycznej. Wywarł wielki wpływ na metodologię pracy ówczesnych matematyków oraz ich nowoczesnych następców. Jego publikacje obejmują w pełni ówczesną matematykę oraz fizykę matematyczną.


INNE RODZAJE ŚREDNICH zastosowaliśmy metodę prób i błędów.

Średnia kwadratowa

Średnia potęgowa

Średnia procentowa


Średnia kwadratowa zastosowaliśmy metodę prób i błędów.

Średnia kwadratowa n liczb,

jest to pierwiastek ze średniej arytmetycznej kwadratów tych liczb.

Średnia kwadratowa dwóch liczb a i b wyraża się wzorem :

Jeśli liczby a, b potraktujemy jako długości odcinków i zbudujemy trapez o podstawach a i b, wówczas długość odcinka równoległego do podstaw trapezu i dzielącego trapez na dwa trapezy o równych polach powierzchni jest równa średniej kwadratowej.


Bibliografia zastosowaliśmy metodę prób i błędów.

www.wikipedia.pl

www.math.edu.pl

www.matematyka.pisz.pl

www.google.pl<---wyszukiwarka obrazów oraz sieć

www.e-zadania.pl


DZIĘKUJEMY ZA UWAGĘ zastosowaliśmy metodę prób i błędów.

Grupa 98/4_mf_g2


ad