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Die Chaos-Theorie

Die Chaos-Theorie. Oder warum das Apfelmännchen sich selbst ähnlich ist und Computer einfach anfangen, falsch zu rechnen. Der Weg ins Chaos. Was ist Chaos?. Ist Fortpflanzung so einfach?. Der Flügelschlag des Schmetterlings. Seltsame Attraktoren. Das Apfelmännchen stellt sich vor.

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Die Chaos-Theorie

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Presentation Transcript

  1. Die Chaos-Theorie Oder warum das Apfelmännchen sich selbst ähnlich ist und Computer einfach anfangen, falsch zu rechnen...

  2. Der Weg ins Chaos Was ist Chaos? Ist Fortpflanzung so einfach? Der Flügelschlag des Schmetterlings Seltsame Attraktoren Das Apfelmännchen stellt sich vor Ist unser Sonnensystem stabil?

  3. Was ist Chaos? „Es ist eine metaphysische Doktrin, dass gleiche Ursachen gleiche Wirkungen nach sich zögen. Niemand kann sie bestreiten. Ihr Nutzen aber ist gering in einer Welt wie dieser, in der gleiche Ursachen niemals wieder eintreten und nichts zum zweiten Mal geschieht.“ James Clerk Maxwell 1879 „(...) es kann vorkommen, dass kleine Abweichungen in den Anfangsbedingungen schließlich große Unterschiede in den Phänomenen erzeugen. Ein kleiner Fehler zu Anfang wird später einen großen Fehler zur Folge haben. Vorhersagen werden unmöglich, und wir haben ein zufälliges Ereignis.“ Poincaré 1899 „Theorie komplexer Systeme“: behandelt die Dynamik deterministischer Systeme und ihre Unvorhersehbarkeit (Chaos).

  4. Population Entwicklung einer PopulationVerhulst-Prozess + =

  5. Population

  6. Population Der Raum ist begrenzt  je mehr Kaninchen, desto geringer der Zuwachs

  7. Population Rückkopplung der Funktion (Bevölkerungsbremse gegeben durch den begrenzten Raum r) Die Gleichung ist jetzt nicht-linear.

  8. Population r<3 xn pendelt sich auf 1 Wert ein 3<r<3,449 xn pendelt zwischen 2 Werten 3,499<r<3,544 xn pendelt zwischen 4 Werten 3,544<r<3,56441 xn pendelt zwischen 8 Werten 3,56441<r<3,568757 16 Werten 3,568757<r<3,5696911  32 Werten usw... 3,57<r Die Werte für xn sind nicht mehr vorraussagbar  Chaos

  9. Population

  10. Population

  11. Population Bifurkationspunkt: Wert ri der Periodenverdoppelung Feigenbaum-Zahl („Konstante des Chaos“): f=4,190610296620...

  12. Population

  13. Population Intermittenz r=3,82

  14. Population Bifurkationsdiagramm des Feigenbaumszenarios Intermittenz  Die Geburtenrate b ist gleichzusetzten mit dem Raum r.

  15. Population

  16. Attraktoren Attraktoren Beschreibung des Verhaltens eines Systems Das Pendel im Phasenraum gedämpft: Ort Ort Impuls Impuls • nulldimensionaler Attraktor Im zweidimensionalen Raum

  17. Attraktoren Vakuum: Ort Ort Impuls Impuls • eindimensionaler Attraktor im zweidimensionalen Raum

  18. Attraktoren Torus Kopplung zweier Pendel  zweidimensionaler Attraktor im dreidimensionalen Raum • seltsamer Attraktor des chaotischen Zustandes (nicht dreidimensional)

  19. Empfindlichkeit der Systeme Iteration: Verdoppelung, ausschließlich Dezimalstellen 0,707070; 0,414141; 0,828282; 0,656565; 0,313131; 0,626262; 0,252525; 0505050; 0,010101; 0,707170; 0,414341; 0,828682; 0,657365; 0,314731; 0,629462; 0,258924; 0,517849; 0,035698; 0,020202; 0,040404;0,080808 0,071396; 0,142792; 0,285584

  20. Fraktale Fraktale Wie lang ist die Küstenlinie Irlands? Abhängig von der Genauigkeit der Messung kann sie sogar unendlich lang sein. Selbstähnlichkeit ist in der Natur sehr häufig zu finden.

  21. Fraktale Idee: Mandelbrot in den 70er und 80er Jahren Fraktal von lat.: frangere = brechen Erzeugung durch Iteration mit dem Merkmal der Selbstähnlichkeit  chaotisches System lässt sich mit fraktaler Geometrie beschreiben.

  22. Fraktale Das Apfelmännchen Iteration eines algebraischen Ausdruckes mit komplexer Zahlen: • Ein Computer iteriert den Ausdruck bis zu 1000mal, • prüft, ob die Zahl endlich bleibt und trägt C im Koordinaten- • system auf. • endlich: C ist teil der „Mandelbrotmenge“; schwarz im Koordinatensystem • unendlich: Grau abgestuft, je nach Geschwindigkeit

  23. Fraktale

  24. Fraktale 2500-fach

  25. Fraktale 50000-fach 833333-fach 833333-fach

  26. Fraktale Bifurkationsdiagramm 2 702 702 702-fach

  27. Ist das Sonnensystem stabil? • Poincaré: Erste Fragestellung zur Chaosforschung Ende 19. Jh. • Zwei Objekte sind stabil, auch bei gravitativer Störung eines weiteren Planeten, sofern Umlaufzeiten nicht ein einfaches Verhältnis bilden (1/3, 2/3....) • Einfaches Verhältnis: Störung wird immens verstärkt, der Planet verlässt seine Bahn

  28. Quellen Die Entdeckung des Chaos; John Briggs, F. David Peat Metzler Physik Deterministisches Chaos; Jahresarbeit von Jörg Stadlinger www.wikipedia.de http://www.ginko.de/user/kremer/karsten/ap-gal/fract011.htm

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