10 장 . 그래프 (Graph) 1 절 . 그래프 2 절 . 그래프 표현 3 절 . 그래프 탐색 4 절 . 신장트리 및 최소비용 신장트리

1. 10장. 그래프(Graph) 1절. 그래프 2절. 그래프 표현 3절. 그래프 탐색 4절. 신장트리 및 최소비용 신장트리 이 완 직 (wjlee@pnu.ac.kr) 2010년 1학기

2. 1. 그래프 • 선형 자료구조나 트리 자료구조로 표현하기 어려운“多:多”의 관계를 가지는 원소들을 표현하기 위한 자료구조 • 정점(vertex)과 간선(edge)들의 집합

3. 1.1 그래프 종류 • 무방향 그래프 • 두 정점을 연결하는 간선의 방향이 없는 그래프로서 양방향으로 갈 수 있다. V(G1) ={A, B, C, D} E(G1)={(A, B), (A, C), (A, D), (B, C), (C, D)} V(G2) ={A, B, C, D} E(G2) ={(A, B), (A, C)}

4. 1.1 그래프 종류 • 방향 그래프 • 간선이 방향을 가지고 있는 그래프로서 도로의 일방통행 길처럼 간선을 통하여 한쪽 방향으로만 갈수 있다. V(G3)={A, B, C, D}       E(G3)={<A, B>, <A, D>, <D, B>, <C, D>} V(G4)={A, B, C, D}       E(G4)={<A, B>, <A, C>}

5. 1.1 그래프 종류 • 완전 그래프 • 각 정점에서 다른 모든 정점을 연결하여 가능한의 최대 간선수를 가진 그래프이다.

6. 1.1 그래프 종류 • 부분 그래프 • 원래의 그래프에서 일부의 정점이나 간선을 제외하여 만든 그래프 • 그래프 G와 부분 그래프 G'는 다음과 같은 관계를 갖는다. V(G')⊆V(G),  E(G')⊆E(G)

7. 1.1 그래프 종류 • 가중치 그래프(weighted graph) 또는 네트워크(network) 간선에 비용이나 가중치가 할당된 그래프

8. 1.2 그래프 관련 용어 • 인접 정점(adjacent vertex) • 간선에 의해 연결된 정점을 의미한다. • 차수(degree) • 정점에 부속되어 있는 간선의 수를 말한다. • 방향 그래프의 진입차수(in-degree) • 정점을 머리로 하는 간선의 수로서 외부에서 오는 간선의 수 • 방향 그래프의 진출차수(out-degree) • 정점을 꼬리로 하는 간선의 수의 수로서 외부로 향하는 간선의 수 • 경로(path) • 그래프에서 간선을 따라 갈 수 있는 길을 순서대로 나열한 것.

9. 1.2 그래프 관련 용어 • 경로길이(path length) • 경로를 구성하는 간선의 수 • 사이클(cycle) • 단순경로 중에서 경로의 시작 정점과 마지막 정점이 같은 경로 • 그래프와 트리의 차이점 • 트리는 사이클을 허용하지 않는다.

10. 2. 그래프의 표현 • 그래프를 표현 • 정점에 대한 집합과 정점에 부속된 간선이 집합을 표현 • 그래프를 구현하기 위해서 필요한 연산

11. 2.1 인접 행렬(adjacent matrix) • 행렬에 대한 2차원 배열을 사용하는 순차 자료구조 방법으로서 그래프를 메모리에 표현한 것

12. [예제 10-1] 인접 행렬

13. 2.2 인접 리스트(adjacent list) • 각 정점에 대한 인접 정점들을 단순 연결 리스트로 표현한 것

14. [예제 10-2] 인접 리스트

15. [예제 10-2] 수행 결과

16. 3. 그래프 탐색 • 그래프의 가장 기본적인 연산으로, 하나의 정점으로부터 시작하여 차례대로 모든 정점들을 한 번씩 방문하는 것 • 그래프 탐색의 2가지 방법 • 깊이 우선 탐색(DFS: depth-first search) • 너비우선 탐색(BFS: breadth-first search)

17. 3.1 깊이우선 탐색(DFS) • 한 방향으로 갈 수 있을 만큼 계속 가다가 더 이상 갈 수 없게 되면,가장 마지막에 만났던 갈림길 간선이 있는 정점으로 되돌아온 후, 이곳으로부터 다른 방향의 간선으로 탐색을 계속 반복하여 결국 모든 정점을 방문하는 방법이다. • 그래프의 시작 정점 v를 결정하여 방문하고 방문하였다는 표시를 한다. • 정점 v에 인접한 정점 중에서 아직 방문하지 않은 정점 w가 있으면 정점 v를 스택에 push하고 w를 방문한다. 그리고 w를 v로 하여 다시 를 반복한다. 방문하지 않은 정점이 없으면,탐색의 방향을 바꾸기 위해 스택을 pop하여 받은 가장 마지막 방문 정점을 v로 하여 다시 를 수행한다. • 스택이 공백이 될 때까지 를 반복한다.

18. 3.1 깊이우선 탐색(DFS) • 그래프 G에 대한 깊이우선 탐색 알고리즘 • 초기상태 • 배열 visited를 false로 초기화하고 공백 스택을 생성

19. 3.1 깊이우선 탐색(DFS) • 정점 A를 시작으로 깊이우선 탐색을 시작한다. visited[A] ← true; A 방문;

20. 정점 A에 방문하지 않은 정점 B, E가 있으므로 A를 스택에 push하고 인접정점 B와 E 중, 오름차순에 따라 B를 선택하여 탐색을 계속 push(stack, A); visited[B] ← true; B 방문;

21. 정점 B에 방문하지 않은 정점 C, D가 있으므로 B를 스택에 push하고 인접정점 C와 D 중에서 오름차순에 따라 C를 선택하여 탐색을 계속 push(stack, B); visited[C] ← true; C 방문

22. 정점 C에 방문하지 않은 정점 D, E가 있으므로 C를 스택에 push하고 인접정점 D와 E 중 오름차순에 따라 D를 선택하여 탐색을 계속 push(stack, C); visited[D] ← true; D 방문;

23. 정점 D에서 방문하지 않은 인접정점이 없으므로, 마지막 정점으로 돌아가기 위해서 스택을 pop하여 받은 정점 C에 대하여 방문하지 않은 인접정점이 있는지 확인한다. pop(stack);

24. 정점 C에 방문하지 않은 정점 E가 있으므로 C를 스택에 push하고 인접정점 E를 선택하여 탐색을 계속한다. push(stack, C); visited[E] ← true; E 방문;

25. 정점 E에 방문하지 않은 정점 F가 있으므로 E를 스택에 push하고 인접정점 F를 선택하여 탐색을 계속한다. push(stack, E); visited[F] ← true; F 방문;

26. 정점 F에서 방문하지 않은 인접정점이 없으므로, 마지막 정점으로 돌아가기 위해서 스택을 pop하여 받은 정점 E에 대하여 방문하지 않은 인접정점이 있는지 확인한다. pop(stack);

27. 정점 E에서 방문하지 않은 인접정점이 없으므로, 마지막 정점으로 돌아가기 위해서 스택을 pop하여 받은 정점 C에 대하여 방문하지 않은 인접정점이 있는지 확인한다. pop(stack);

28. 정점 C에서 방문하지 않은 인접정점이 없으므로, 마지막 정점으로 돌아가기 위해서 스택을 pop하여 받은 정점 B에 대하여 방문하지 않은 인접정점이 있는지 확인한다. pop(stack);

29. 정점 B에서 방문하지 않은 인접정점이 없으므로, 마지막 정점으로 돌아가기 위해서 스택을 pop하여 받은 정점 A에 대하여 방문하지 않은 인접정점이 있는지 확인한다. pop(stack);

30. A에 방문하지 않은 인접 정점이 없고, 스택도 공백이므로 종료 • 스택 탐색한 경로 순서는 A-B-C-D-E-F이다 1) 5) 2) 3) 6) 4)

31. 3.2 너비우선 탐색(BFS) • 시작 정점으로부터 인접한 정점들을 모두 차례로 방문하고, 방문했던 정점을 시작으로 하여 다시 인접한 정점들을 차례로 방문하는 방식 • 시작 정점 v를 결정하여 방문하고 방문 표시를 한다. • 정점 v에 인접한 정점들 중에서 방문하지 않은 정점을 차례로 방문하면서 큐에 enQueue한다. • 방문하지 않은 인접한 정점이 없으면, 방문했던 정점에서 인접한 정점들을 다시 차례로 방문하기 위해 큐에서 deQueue하여 구한 정점에서 를 반복한다. • 큐가 공백이 될 때까지 ~을 반복한다.

32. 초기상태 • 배열 visited를 false로 초기화하고 공백 큐를 생성

33. 정점 A를 시작으로 너비우선 탐색을 시작한다. visited[A] ← true; A 방문;

34. 방문하지 않은 정점 A의 모든 인접정점 B, E를 방문하고, 큐에 enQueue한다. visited[(방문하지 않은 A의 인접정점 B와 E)] ← true; (방문하지 않은 A의 인접정점 B와 E) 방문; enQueue(Q, (방문하지 않은 A의 인접정점 B와 E)); B와 E에 방문

35. 정점 A에 대한 인접정점들을 처리했으므로 너비우선 탐색을 계속 수행할 다음 정점을 찾기 위해 큐를 deQueue하여 정점 B를 구한다. v ← deQueue(Q);

36. 방문하지 않은 정점 B의 인접정점 C를 방문하고 큐에 enQueue visited[(방문하지 않은 B의 인접정점 C)] ← true; (방문하지 않은 B의 인접정점 C 방문; enQueue(Q, (방문하지 않은 B의 인접정점 C));

37. 정점 B에 대한 인접정점들을 처리했으므로 너비우선 탐색을 계속 수행할 다음 정점을 찾기 위해 큐를 deQueue하여 정점 E를 구한다. v ← deQueue(Q);

38. 정점 E의 방문하지 않은 인접정점 F를 방문하고 큐에 enQueue visited[(방문하지 않은 E의 인접정점 F)] ← true; (방문하지 않은 E의 인접정점 F 방문; enQueue(Q, (방문하지 않은 E의 인접정점 F));

39. 정점 E에 대한 인접정점들을 처리했으므로 너비우선 탐색을 계속 수행할 다음 정점을 찾기 위해 큐를 deQueue하여 정점 C를 구한다. v ← deQueue(Q);

40. 방문하지 않은 정점 C의 인접정점 D를 방문하고 큐에 enQueue visited[(방문하지 않은 C의 인접정점 D)] ← true; (방문하지 않은 C의 인접정점 D) 방문; enQueue(Q, (방문하지 않은 C의 인접정점 D));

41. 정점 C에 대한 인접정점들을 처리했으므로 너비우선 탐색을 계속 수행할 다음 정점을 찾기 위해 큐를 deQueue하여 정점 F를 구한다. v ← deQueue(Q);

42. 정점 F에는 방문하지 않은 인접정점이 없으므로 너비우선 탐색을 계속 수행할 다음 정점을 찾기 위해 큐를 deQueue하여 정점 D를 구한다. v ← deQueue(Q);

43. 방문하지 않은 정점 D의 인접정점이 없으므로 너비우선 탐색을 계속 수행할 다음 정점을 찾기 위해 큐를 deQueue하는데 큐가 공백이므로 너비우선 탐색을 종료한다. • 그래프 G의 너비우선 탐색 경로는A—B—E—C—F—D이다.

44. 4. 신장 트리와 최소비용 신장 트리 • 신장 트리(spanning tree) • n개의 정점으로 이루어진 무방향 그래프 G에서 n개의 모든 정점과 n-1개의 간선으로 만들어진 트리 • 최소의 간선을 이용해 모든 정점을 연결한 그래프 • 깊이우선 신장 트리(depth first spanning tree) • 깊이우선 탐색을 이용하여 생성된 신장 트리 • 너비우선 신장 트리(breadth first spanning tree) • 너비우선 탐색을 이용하여 생성된 신장 트리

45. 4. 신장 트리와 최소비용 신장 트리 • G1의 깊이우선 신장 트리 및 너비우선 신장 트리

46. 4. 신장 트리와 최소비용 신장 트리 • 그래프 G1과 신장 트리의 예

47. 4.1 최소비용 신장 트리 • 최소비용 신장 트리(MCST: Minimum Cost Spanning Tree) • 주어진 무방향 가중치 그래프의 신장 트리 중 전체 가중치의 합이 최소가 되는 트리 • 활용분야 • 도로의 길이가 최소가 되도록 하는 도로망 건설 • 최소의 네트워크 선을 사용하여 시스템을 연결해야 하는 통신망 설계 • 최소비용 신장 트리를 만드는 알고리즘 • 크루스칼(Kruskal) 알고리즘와 프라임(Prime) 알고리즘

48. 4.2 크루스칼 알고리즘 • Greedy Algorithm의 일종 • “일단 가설 비용이 제일 싼 것부터 먼저 건설하고 보자” • “당장 눈앞에 보이는 이득을 추구하는 것이 추후에 전체적으로 크게 봐도 이득이 된다” ❶ 그래프 G의 모든 간선을 가중치에 따라 오름차순으로 정리한다. ❷ 그래프 G에 가중치가 가장 작은 간선을 삽입한다. 이때 사이클을 형성하는 간선은 삽입할 수 없으므로 이런 경우에는 그 다음으로 가중치가 작은 간선을 삽입한다. ❸ 그래프 G에 n – 1 개의 간선을 삽입할 때까지 ❷를 반복한다. ❹ 그래프 G의 간선이 n - 1개가 되면 최소비용 신장 트리가 완성된다.

49. Kruskal 알고리즘을 이용하여 G의 최소 비용 신장 트리 만들기 초기 상태 : 그래프 G의 간선을 가중치에 따라서 오름차순 정렬

50. ① 가중치가 가장 작은 간선 (E,G) 삽입. • (현재 삽입한 간선의 수 : 1개)