vwo B Samenvatting Hoofdstuk 15

1. vwo B Samenvatting Hoofdstuk 15

2. Optimaliseren van oppervlakten en lengten Bij het aantonen dat een formule juist is moet je stap voor stap de formule afleiden. Je mag je niet beperken tot het geven van een aantal getallenvoorbeelden. 15.1

3. a opgave 9 b geeft kwadrateren geeft voldoet De maximale waarde van L is 15.1

4. a opgave 25 K = kosten AB’+ kosten BB’ ≈68 852 euro b AC : BC = 2 : 1 AC + BC = AB K = kosten AC + kosten BC ≈68 028 euro 15.2

5. c opgave 25 K = kosten AP + kosten BP Voer in De optie minimum geeft x≈ 424 en y = 65 721 De minimale kosten zijn 65 721 euro. 15.2

6. Harmonische trillingen • Bij een eenparige cirkelbeweging van een punt P hoort een • harmonische trilling van de projectie P’ van P op de y-as. • Omlooptijd is trillingstijd bij trillingen • Frequentie in hertz is het aantal trillingen per seconde. • Amplitude is maximale uitwijking bij trillingen • Bij een harmonische trilling met amplitude b en frequentie f • hoort een formule van de vorm u = b sin(c(t – t0)) met • c = 2πf en t de tijd in seconden. • Op t = t0 wordt de evenwichtsstand stijgend gepasseerd. • De trillingstijd is seconde. 15.3

7. Trillingen met gelijke frequentie • Een samengestelde trilling is een trilling die de som is van twee of meer • trillingen. • De formule van de samengestelde trilling u = u1 + u2 met u1 en u2 • harmonische trillingen met gelijke frequentie en gelijke amplitude is te • herleiden tot de vorm u = b sin(c(t – d)). 15.3

8. Parametervoorstellingen van Lissajous-figuren • Een lissajous-figuur is de baan van een punt dat gelijktijdig deelneemt • aan twee harmonische trillingen in verschillende richtingen. • We bekijken Lissajous-figuren beschreven door een parametervoorstelling • van de vorm • Deze parametervoorstelling hoort bij een punt dat gelijktijdig een • harmonische trilling uitvoert in de richting van de x-as en van de y-as. 15.4

9. In de x-richting 2 periodes, dus a = 2. In de y-richting 3 periodes, dus b = 3. x = sin(2t) x is maximaal voor x is minimaal voor x = 0 voor y = sin(3t) y is maximaal voor y is minimaal voor y = 0 voor a opgave 50 b 15.4

10. a opgave 66 15.5

11. b opgave 66 15.5

12. c opgave 66 geeft Voor is ABCD een rechthoek en is Dus de formule klopt ook voor Voer in d De optie intersect geeft x≈ 64 en x ≈ 138. geeft De optie maximum en y1 geeft x≈ 103 en x ≈ 51,5. De oppervlakte is maximaal voor e 15.5

13. Snelheid en integraal • Bij een tijd-afstandformule is de formule van de snelheid v • de afgeleide van s. • Dus s’ = v. • Hieruit volgt dat s een primitieve is van v en • dat de afgelegde afstand gedurende een • tijdsinterval gelijk is aan de bijbehorende • oppervlakte onder de grafiek van v. • Algemeen geldt bij een functie f dat • Voor elke functie f met afgeleide f’ geldt dan 15.6

14. Zwaartepunt en integraal • Van een vlakdeel V dat boven de x-as ligt • en wordt ingesloten door de grafiek van f, • de x-as en de lijnen x = a en x = b is de • x-coördinaat van het zwaartepunt • In figuur 15.62 wordt het vlakdeel V ingesloten • door de grafieken van f en g. • In dit geval is opp. van V 15.6