1 / 34

Kombinatorika

Kombinatorika. Véges halmazok. Kombinatorika. A kombinatorika a matematika egyik ága, amely véges halmazok elemeinek kiválasztásával és sorba rendezésével foglalkozik. Permutációk. Valamely véges halmaz elemeinek egy lehetséges sorrendjét a halmaz egy permutációjának nevezzük. 3 elem.

lazaro
Download Presentation

Kombinatorika

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Kombinatorika Véges halmazok

  2. Kombinatorika • A kombinatorika a matematika egyik ága, amely véges halmazok elemeinek kiválasztásával és sorba rendezésével foglalkozik. Tóth István – Műszaki Iskola Ada

  3. Permutációk • Valamely véges halmaz elemeinek egy lehetséges sorrendjét a halmaz egy permutációjának nevezzük. 3 elem 4 elem 2 elem 2 6 24 Tóth István – Műszaki Iskola Ada

  4. A permutációk száma P2=2! P2=2·1=2 2 elem: P2=2 P3=3! 3 elem: P3=3·2=3·P2=6 P3=3·2·1=6 P4=4! P4=4·3·2·1=24 4 elem: P4=4·6=4·P3=24 P5=5! P5=5·4·3·2·1=120 5 elem: P5=5·24=5·P4=120 ... Pn=n·(n-1)·(n-2)·...·2·1 n elem: Pn=n·Pn-1 Faktoriális: n!=n·(n-1)·(n-2)·...·2·1 Pn=n! Tóth István – Műszaki Iskola Ada

  5. A faktoriális tulajdonságai Pl: 4! = 4·3! 12! = 12·11! • Oldd meg az egyenleteket: • Egyszerűsítsd a törteket: * Tóth István – Műszaki Iskola Ada

  6. Példák • A „Sorakozó!” vezényszóra 10 tanuló sorakozik fel tetszőleges sorrendben. Hányféleképpen tehetik ezt meg? • Írd fel az A = {a, b, c} halmaz elemeinek összes lehetséges sorrendjét. Tóth István – Műszaki Iskola Ada

  7. Feladatok • Hány különböző módon ülhet le 4 személy 4 székre? • Hányféleképp ülhet le 6 lány és 6 fiú 12 egy sorba rakott székre úgy, hogy egymás mellett különböző neműek ülhetnek. • Hányféleképp ülhet le 6 lány és 6 fiú 12 körbe rakott székre úgy, hogy egymás mellett különböző neműek ülhetnek. • Hány lehetséges sorrendje lehet egy futóversenynek, ha a versenyzők száma 8. • Hány 5 jegyű, 25-tel kezdődő szám írható fel az 1,2,3,4,5 számjegyekből, úgy, hogy a számjegyek ne ismétlődjenek? Tóth István – Műszaki Iskola Ada

  8. Feladatok • Hány 6 jegyű 5-tel osztható szám írható fel a 0, 1, 2, 3, 4, 5 számjegyekből úgy, hogy a számjegyek ne ismétlődjenek? • Az 1234 alap-permutációból alkotott permutációk közül hányadik a 3421? • Hányadik permutáció a JÓSKA, az AJKÓS alap-permutációból. • Hogyan szól az AGIKLO alap-permutáció 586. permutációja? Tóth István – Műszaki Iskola Ada

  9. Ismétlés nélküli variációk • Egy A halmaz elemeiből alkotható k elemszámú sorozatokat az A halmaz k-ad osztályú ismétlés nélküli variációinak nevezzük (k≤n). 3 elem (n=3) 1. osztály (k=1) 2. osztály (k=2) 3. osztály (k=3) Tóth István – Műszaki Iskola Ada

  10. Ismétlés nélküli variációk száma Tóth István – Műszaki Iskola Ada

  11. Példák • Legyen A = {1, 2, 3, 4}. Írjuk fel az A halmaz különböző elemeiből alkotható összes kétjegyű és háromjegyű számot. • 8 jelölt vizsgázik szóbelileg matematikából. az első napra 5 jelöltet kell beosztani. Hány beosztás lehetséges az első napra? Tóth István – Műszaki Iskola Ada

  12. Feladatok • Hány különböző számjegyű 4-jegyű szám írható fel az 1, 2, …, 9 számjegyekből? • Hány különböző számjegyű 4-jegyű szám írható fel a 0, 1, 2, …, 9 számjegyekből? • Hányféleképp tudunk kiválasztani 9 jelölt közül négyet, 4 különböző munkahelyre. • 12 versenyző között hányféleképp oszthatjuk ki az arany, ezüst ill. bronzérmet? Tóth István – Műszaki Iskola Ada

  13. 4 elem: Ismétlés nélküli kombinációk • Az n elemű A halmaz k elemet tartalmazó részhalmazait az A halmaz k-ad osztályú kombinációinak nevezzük. 3. osztály (k=3) 1. osztály (k=1) 2. osztály (k=2) Tóth István – Műszaki Iskola Ada

  14. A kombinációk száma n=4, k=3 Tóth István – Műszaki Iskola Ada

  15. Új művelet: „n” a „k” felett Az ismétlés nélküli kombinációk száma Tóth István – Műszaki Iskola Ada

  16. Példa • Az iskola sakkcsoportjába 5 tanuló jár. Hányféleképp állíthatunk össze 3 tagú csapatot belőlük? • Feltételezzük, hogy a csapatban mindenki egyenrangú – nem fontos a sorrend, csak a csapattagok személye – ismétlés nélküli kombináció:

  17. Feladatok • Írjuk fel az 1, 2, 3, 4, 5 elemek másodosztályú kombinációit. • Írjuk fel az 1, 2, 3, 4, 5 elemek harmadosztályú kombinációit. • Egy sakktornán 15 sakkozó vesz részt. Ha mindenki mindenkivel pontosan egyszer játszik, hány mérkőzést játszanak ezen a tornán?

  18. Ismétléses permutációk • Ha az A halmaz elemeiből álló sorozatban az x1 elem k1-szer, az x2 elem k2-ször, … az xn elem kn-szer szerepel, a sorozatot az A halmaz ismétléses permutációjának nevezzük.

  19. 11122122233 6 különböző elem összes sorrendje: Az ismétléses permutációk száma • Összesen hány olyan hatjegyű számot írhatunk fel az 1, 2, 3 számjegyekből, amelyekben az 1 kétszer, a 2 háromszor és a 3 egyszer szerepel? 112223112232 112322 113222,stb. Megoldás:

  20. Az ismétléses permutációk száma • Hányféleképp lehet egy polcon egymás mellé rakni 3 angol, 2 francia és 5 német szótárt, ha az azonos nyelvű szótárak között nem teszünk különbséget?

  21. Feladatok • Írd fel az 1,2,2,3,3 elemek összes permutációit! • Három angol, két német és három orosz futó áll rajthoz a futóversenyen. Hányféle sorrend lehetséges, ha csak a nemzetek közötti eredmény a mérvadó? • Hányféle gyöngysor készíthető 10 fehér és 15 türkizkék gyöngyből?

  22. Ismétléses variációk • Ha az A halmaz elemeiből álló k tagú sorozatban vannak egyenlő eleme is, akkor ezt a sorozatot az A halmaz k-ad osztályú ismétléses variációjának nevezzük.

  23. A számjegyek ismétlődnek! Ismétléses variációk • Az A = {1, 2, 3, 4} halmaz elemeiből alkotható kétjegyű számok: 11 21 31 41 12 22 32 42 13 23 33 43 14 24 34 44 Összesen 16 = 42 ilyen szám van.

  24. Az ismétléses variációk száma • Az x1x2...xk sorozatban az elemek ismétlődhetnek. • Bármely helyre az A halmaz bármelyik eleme tehető:n·n·... ·n=nk eset.

  25. Példa • Hány háromjegyű számot írhatunk fel • az 1,2,3,4,5 • a 0,1,2,3,4,5 számjegyekből?

  26. Feladatok • Írd fel az 1,2,3,4 elemek harmadosztályú ismétléses variációit! • A széf „kombinációs” zárán 4 tárcsa található, melyek mindegyikén a 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C jelek láthatóak. Hány különböző variáció lehetséges a zár kinyitásához? • A sportfogadás szelvényen 13 mérkőzés eredményére lehet fogadni (1 – hazai győzelem, 2 – vendéggyőzelem és 0 – döntetlen). Hány szelvényt kell kitölteni a biztos találathoz?

  27. Ismétléses kombinációk • Ha n elem k-ad osztályú kombinációjában megengedjük, hogy ugyanaz elem többször is szerepeljen, akkor n elem k-ad osztályú ismétléses kombinációját kapjuk. • Például: A={1,2,3,4}. Másodosztályú ismétléses kombinációk: 11 12 13 14 22 23 24 33 34 44

  28. Az ismétléses kombinációk száma • Hét versenyző hányféleképpen vihet el öt első díjat egy öttusaversenyen? • Négy ötdinárossal hány különböző dobás lehetséges (fejek és írások száma)?

  29. Binomiális tétel • Binom: kéttagú algebrai kifejezés (a+b). • Binomok hatványai:

  30. Binomiális tétel • Általában: Minden tagot, minden taggal szorozunk: A kifejtett binom egy tagja: Mennyi a Bk+1? Ismétléses permutáció!!

  31. Binomiális tétel Rövidebben:

  32. 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 A Pascal háromszög n-edik sorának k-adik eleme: A Pascal háromszög

  33. Hogyan szól a kifejezés 5. tagja? A kifejezés melyik tagja nem tartalmaz x-et? Feladatok

More Related