kombinatorika n.
Download
Skip this Video
Loading SlideShow in 5 Seconds..
Kombinatorika PowerPoint Presentation
Download Presentation
Kombinatorika

Loading in 2 Seconds...

play fullscreen
1 / 34

Kombinatorika - PowerPoint PPT Presentation


  • 168 Views
  • Uploaded on

Kombinatorika. Véges halmazok. Kombinatorika. A kombinatorika a matematika egyik ága, amely véges halmazok elemeinek kiválasztásával és sorba rendezésével foglalkozik. Permutációk. Valamely véges halmaz elemeinek egy lehetséges sorrendjét a halmaz egy permutációjának nevezzük. 3 elem.

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about 'Kombinatorika' - lazaro


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
kombinatorika

Kombinatorika

Véges halmazok

kombinatorika1
Kombinatorika
  • A kombinatorika a matematika egyik ága, amely véges halmazok elemeinek kiválasztásával és sorba rendezésével foglalkozik.

Tóth István – Műszaki Iskola Ada

permut ci k
Permutációk
  • Valamely véges halmaz elemeinek egy lehetséges sorrendjét a halmaz egy permutációjának nevezzük.

3 elem

4 elem

2 elem

2

6

24

Tóth István – Műszaki Iskola Ada

a permut ci k sz ma
A permutációk száma

P2=2!

P2=2·1=2

2 elem: P2=2

P3=3!

3 elem: P3=3·2=3·P2=6

P3=3·2·1=6

P4=4!

P4=4·3·2·1=24

4 elem: P4=4·6=4·P3=24

P5=5!

P5=5·4·3·2·1=120

5 elem: P5=5·24=5·P4=120

...

Pn=n·(n-1)·(n-2)·...·2·1

n elem: Pn=n·Pn-1

Faktoriális: n!=n·(n-1)·(n-2)·...·2·1

Pn=n!

Tóth István – Műszaki Iskola Ada

a faktori lis tulajdons gai
A faktoriális tulajdonságai

Pl:

4! = 4·3! 12! = 12·11!

  • Oldd meg az egyenleteket:
  • Egyszerűsítsd a törteket:

*

Tóth István – Műszaki Iskola Ada

p ld k
Példák
  • A „Sorakozó!” vezényszóra 10 tanuló sorakozik fel tetszőleges sorrendben. Hányféleképpen tehetik ezt meg?
  • Írd fel az A = {a, b, c} halmaz elemeinek összes lehetséges sorrendjét.

Tóth István – Műszaki Iskola Ada

feladatok
Feladatok
  • Hány különböző módon ülhet le 4 személy 4 székre?
  • Hányféleképp ülhet le 6 lány és 6 fiú 12 egy sorba rakott székre úgy, hogy egymás mellett különböző neműek ülhetnek.
  • Hányféleképp ülhet le 6 lány és 6 fiú 12 körbe rakott székre úgy, hogy egymás mellett különböző neműek ülhetnek.
  • Hány lehetséges sorrendje lehet egy futóversenynek, ha a versenyzők száma 8.
  • Hány 5 jegyű, 25-tel kezdődő szám írható fel az 1,2,3,4,5 számjegyekből, úgy, hogy a számjegyek ne ismétlődjenek?

Tóth István – Műszaki Iskola Ada

feladatok1
Feladatok
  • Hány 6 jegyű 5-tel osztható szám írható fel a 0, 1, 2, 3, 4, 5 számjegyekből úgy, hogy a számjegyek ne ismétlődjenek?
  • Az 1234 alap-permutációból alkotott permutációk közül hányadik a 3421?
  • Hányadik permutáció a JÓSKA, az AJKÓS alap-permutációból.
  • Hogyan szól az AGIKLO alap-permutáció 586. permutációja?

Tóth István – Műszaki Iskola Ada

ism tl s n lk li vari ci k
Ismétlés nélküli variációk
  • Egy A halmaz elemeiből alkotható k elemszámú sorozatokat az A halmaz k-ad osztályú ismétlés nélküli variációinak nevezzük (k≤n).

3 elem (n=3)

1. osztály (k=1)

2. osztály (k=2)

3. osztály (k=3)

Tóth István – Műszaki Iskola Ada

ism tl s n lk li vari ci k sz ma
Ismétlés nélküli variációk száma

Tóth István – Műszaki Iskola Ada

p ld k1
Példák
  • Legyen A = {1, 2, 3, 4}. Írjuk fel az A halmaz különböző elemeiből alkotható összes kétjegyű és háromjegyű számot.
  • 8 jelölt vizsgázik szóbelileg matematikából. az első napra 5 jelöltet kell beosztani. Hány beosztás lehetséges az első napra?

Tóth István – Műszaki Iskola Ada

feladatok2
Feladatok
  • Hány különböző számjegyű 4-jegyű szám írható fel az 1, 2, …, 9 számjegyekből?
  • Hány különböző számjegyű 4-jegyű szám írható fel a 0, 1, 2, …, 9 számjegyekből?
  • Hányféleképp tudunk kiválasztani 9 jelölt közül négyet, 4 különböző munkahelyre.
  • 12 versenyző között hányféleképp oszthatjuk ki az arany, ezüst ill. bronzérmet?

Tóth István – Műszaki Iskola Ada

ism tl s n lk li kombin ci k

4 elem:

Ismétlés nélküli kombinációk
  • Az n elemű A halmaz k elemet tartalmazó részhalmazait az A halmaz k-ad osztályú kombinációinak nevezzük.

3. osztály (k=3)

1. osztály (k=1)

2. osztály (k=2)

Tóth István – Műszaki Iskola Ada

a kombin ci k sz ma
A kombinációk száma

n=4, k=3

Tóth István – Műszaki Iskola Ada

az ism tl s n lk li kombin ci k sz ma

Új művelet:

„n” a „k” felett

Az ismétlés nélküli kombinációk száma

Tóth István – Műszaki Iskola Ada

p lda
Példa
  • Az iskola sakkcsoportjába 5 tanuló jár. Hányféleképp állíthatunk össze 3 tagú csapatot belőlük?
  • Feltételezzük, hogy a csapatban mindenki egyenrangú – nem fontos a sorrend, csak a csapattagok személye – ismétlés nélküli kombináció:
feladatok3
Feladatok
  • Írjuk fel az 1, 2, 3, 4, 5 elemek másodosztályú kombinációit.
  • Írjuk fel az 1, 2, 3, 4, 5 elemek harmadosztályú kombinációit.
  • Egy sakktornán 15 sakkozó vesz részt. Ha mindenki mindenkivel pontosan egyszer játszik, hány mérkőzést játszanak ezen a tornán?
ism tl ses permut ci k
Ismétléses permutációk
  • Ha az A halmaz elemeiből álló sorozatban az x1 elem k1-szer, az x2 elem k2-ször, … az xn elem kn-szer szerepel, a sorozatot az A halmaz ismétléses permutációjának nevezzük.
az ism tl ses permut ci k sz ma

11122122233

6 különböző elem összes sorrendje:

Az ismétléses permutációk száma
  • Összesen hány olyan hatjegyű számot írhatunk fel az 1, 2, 3 számjegyekből, amelyekben az 1 kétszer, a 2 háromszor és a 3 egyszer szerepel?

112223112232 112322 113222,stb.

Megoldás:

az ism tl ses permut ci k sz ma1
Az ismétléses permutációk száma
  • Hányféleképp lehet egy polcon egymás mellé rakni 3 angol, 2 francia és 5 német szótárt, ha az azonos nyelvű szótárak között nem teszünk különbséget?
feladatok4
Feladatok
  • Írd fel az 1,2,2,3,3 elemek összes permutációit!
  • Három angol, két német és három orosz futó áll rajthoz a futóversenyen. Hányféle sorrend lehetséges, ha csak a nemzetek közötti eredmény a mérvadó?
  • Hányféle gyöngysor készíthető 10 fehér és 15 türkizkék gyöngyből?
ism tl ses vari ci k
Ismétléses variációk
  • Ha az A halmaz elemeiből álló k tagú sorozatban vannak egyenlő eleme is, akkor ezt a sorozatot az A halmaz k-ad osztályú ismétléses variációjának nevezzük.
ism tl ses vari ci k1

A számjegyek ismétlődnek!

Ismétléses variációk
  • Az A = {1, 2, 3, 4} halmaz elemeiből alkotható kétjegyű számok:

11 21 31 41

12 22 32 42

13 23 33 43

14 24 34 44

Összesen 16 = 42 ilyen szám van.

az ism tl ses vari ci k sz ma
Az ismétléses variációk száma
  • Az x1x2...xk sorozatban az elemek ismétlődhetnek.
  • Bármely helyre az A halmaz bármelyik eleme tehető:n·n·... ·n=nk eset.
p lda1
Példa
  • Hány háromjegyű számot írhatunk fel
    • az 1,2,3,4,5
    • a 0,1,2,3,4,5 számjegyekből?
feladatok5
Feladatok
  • Írd fel az 1,2,3,4 elemek harmadosztályú ismétléses variációit!
  • A széf „kombinációs” zárán 4 tárcsa található, melyek mindegyikén a 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C jelek láthatóak. Hány különböző variáció lehetséges a zár kinyitásához?
  • A sportfogadás szelvényen 13 mérkőzés eredményére lehet fogadni (1 – hazai győzelem, 2 – vendéggyőzelem és 0 – döntetlen). Hány szelvényt kell kitölteni a biztos találathoz?
ism tl ses kombin ci k
Ismétléses kombinációk
  • Ha n elem k-ad osztályú kombinációjában megengedjük, hogy ugyanaz elem többször is szerepeljen, akkor n elem k-ad osztályú ismétléses kombinációját kapjuk.
  • Például: A={1,2,3,4}. Másodosztályú ismétléses kombinációk: 11 12 13 14 22 23 24 33 34 44
az ism tl ses kombin ci k sz ma
Az ismétléses kombinációk száma
  • Hét versenyző hányféleképpen vihet el öt első díjat egy öttusaversenyen?
  • Négy ötdinárossal hány különböző dobás lehetséges (fejek és írások száma)?
binomi lis t tel
Binomiális tétel
  • Binom: kéttagú algebrai kifejezés (a+b).
  • Binomok hatványai:
binomi lis t tel1
Binomiális tétel
  • Általában:

Minden tagot, minden taggal szorozunk:

A kifejtett binom egy tagja:

Mennyi a Bk+1?

Ismétléses permutáció!!

binomi lis t tel2
Binomiális tétel

Rövidebben:

a pascal h romsz g

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

A Pascal háromszög n-edik sorának k-adik eleme:

A Pascal háromszög
feladatok6

Hogyan szól a kifejezés 5. tagja?

A kifejezés melyik tagja nem tartalmaz x-et?

Feladatok