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II.-Algebra Básica

II.-Algebra Básica. b).- Operaciones con términos semejantes. c).- Valor de una expresión por sustitución de valores. Polinomio de una sola variable. Un polinomio de una sola variable es una expresión algebraica de la forma:

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II.-Algebra Básica

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  1. II.-Algebra Básica b).-Operaciones con términos semejantes. c).-Valor de una expresión por sustitución de valores.

  2. Polinomio de una sola variable • Un polinomio de una sola variable es una expresión algebraica de la forma: P(x) = anxn +an-1 xn-1 + an-2 xn-2 + ... + a1 x1 + ao • Siendoan, an -1 ... a1 , a0números, llamados coeficientes. • n un número natural. • x la variable o indeterminada. • anes el coeficiente principal. • aoes el término independiente.

  3. Grado de un Polinomio • El grado de un polinomio P(x) es el mayor exponente al que se encuentra elevada la variable x.

  4. Tipos de Polinomios • Polinomio nulo El polinomio nulo tiene todos sus coeficientes nulos. • Polinomio completo Un polinomio completo tiene todos los términos desde el término independiente hasta el término de mayor grado. P(x) = 2x3 + 3x2 + 5x - 3 • Polinomio ordenado Un polinomio está ordenado si los monomios que lo forman están escritos de mayor a menor grado. P(x) = 2x3 + 5x - 3

  5. Tipos de Polinomio según su grado • Polinomio de grado cero P(x) = 2 • Polinomio de primer grado P(x) = 3x + 2 • Polinomio de segundo grado P(x) = 2x2+ 3x + 2 • Polinomio de tercer grado P(x) = x3 - 2x2+ 3x + 2 • Polinomio de cuarto grado P(x) = x4 + x3 - 2x2+ 3x + 2

  6. Valor numérico de un Polinomio • El valor numérico de un polinomio es el resultado que obtenemos al sustituir la variable x por un número cualquiera. P(x) = 2x3 + 5x - 3 ; x = 1 P(1) = 2 · 13 + 5 · 1 - 3 = 2 + 5 - 3 = 4

  7. Suma de Polinomios Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los términos del mismo grado. P(x) = 2x3 + 5x - 3 Q(x)= 4x - 3x2 + 2x3 1.-Ordenamos los polinomios, si no lo están. Q(x) = 2x3 - 3x2 + 4x P(x) + Q(x) = (2x3 + 5x - 3) + (2x3 - 3x2 + 4x) 2.-Agrupamos los monomios del mismo grado. P(x) + Q(x) = 2x3 + 2x3 - 3 x2 + 5x + 4x - 3 3.-Sumamos los monomios semejantes. P(x) + Q(x) = 4x3- 3x2 + 9x - 3

  8. Resta de Polinomios • La resta de polinomios consiste en sumar el opuesto del sustraendo. P(x) − Q(x) = (2x3 + 5x - 3) − (2x3 - 3x2 + 4x) P(x) − Q(x) = 2x3 + 5x - 3 − 2x3 + 3x2 − 4x P(x) − Q(x) = 2x3 − 2x3 + 3x2 + 5x− 4x - 3 P(x) − Q(x) = 3 x2 + x - 3

  9. Producto de un número por un Polinomio • Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y como coeficientes el producto de los coeficientes del polinomio por el número. 3 · ( 2x3 - 3 x2 + 4x - 2) = 6x3 - 9x2 + 12x - 6

  10. Producto de un Monomio por un Polinomio • Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio. 3 x2 · (2x3 - 3x2 + 4x - 2) = 6x5 - 9x4 + 12x3 - 6x2

  11. Producto de Polinomios P(x) = 2x2 - 3 Q(x) = 2x3 - 3x2 + 4x • Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos segundo polinomio. P(x) · Q(x) = (2x2 - 3) · (2x3 - 3x2 + 4x) = 4x5 − 6x4 + 8x3 − 6x3 + 9x2 − 12x = • Se suman los monomios del mismo grado. = 4x5 − 6x4 + 2x3 + 9x2 − 12x • Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que se multiplican.

  12. Binomio al cuadrado (a - b)2 = a2 - 2 · a · b + b2 (x + 3)2= x2 + 2· x· 3 + 32= x2 + 6 x + 9 (2x − 3)2= (2x)2 − 2· 2x· 3 + 32 = 4x2 − 12 x + 9 • Un binomio al cuadrado es igual es igual al cuadrado del primer término más, o menos, el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado segundo

  13. Suma por Diferencia • Suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados. (a + b) · (a − b) = a2 − b2 • Suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados. (2x + 5) · (2x - 5) = (2 x)2 − 52 = 4x2− 25

  14. Fracciones Algebraicas • Una fracción algebraica es el cociente de dos polinomios y se representa por: • P(x) es el numerador y Q(x) el denominador.

  15. Fracciones algebraicas equivalentes • Dos fracciones algebraicas • son equivalentes, y lo representamos por: • si se verifica que P(x) · S(x) = Q(x) · R(x). • son equivalentes porque: (x+2)· (x+2) = x2 − 4 • Dada una fracción algebraica, si multiplicamos el numerador y el denominador de dicha fracción por un mismo polinomio distinto de cero, la fracción algebraica resultante es equivalente a la dada.

  16. Simplificación de Fracciones algebraicas • Para simplificar una fracción algebraica se divide el numerador y el denominador de la fracción por un polinomio que sea factor común de ambos.

  17. II.-Algebra Básica b).-Operaciones con términos semejantes. c).-Valor de una expresión por sustitución de valores.

  18. Valor numérico de una Expresión Algebraica Para un determinado valor, es el número que se obtiene al sustituir en ésta el valor numérico dado y realizar las operaciones indicadas. • L(r) = 2r r = 5. L (5)= 2 · 5 = 10 • S(l) = l2 l = 5. A (5)= 52 = 25 • V(a) = a3 a = 5 V (5) = 53 = 125

  19. Valor numérico de un Polinomio • El valor numérico de un polinomio es el resultado que obtenemos al sustituir la variable x por un número cualquiera. P(x) = 2x3 + 5x - 3 ; x = 1 P(1) = 2 · 13 + 5 · 1 - 3 = 2 + 5 - 3 = 4

  20. Ejercicios • 1.- Sean los polinomios: • A(x) = 6x5 - 4x4 - 4x3 - 2x2 + 3x + 8 • B(x) = 5x5 + 4x4 - 3x3 - 2x2 + 5x - 8 • C(x) = - 8x6 + 4x5 + 3x4 - 3x3 + 4 • Hallar: • 1.- A(x) + B(x) • 2.- A(x) - C(x) • 3.- A(x) - B(x) + C(x) • 4.- A(x) + B(x) - C(x) • 5.- A(x) - B(x) - C(x) • 6.- - A(x) + B(x) - C(x)

  21. Ejercicios • 2.- Sean los polinomios: • A(x) = 3/5 x5 - 1/6 x4 + 2x3 + 1/3 x + 8 • B(x) = 2/3 x4 + 1/5 x3 - 3/5 x2 + 1/4 x - 2/3 • C(x) = 1/4 x5 - 3x3 - 1/2 x2 - 3/4 x + 1/2 • Hallar: • 1.- A(x) + B(x) + C(x) • 2.- A(x) - B(x) + C(x) • 3.- A(x) - B(x) - C(x) • 4.- 2A(x) + 3B(x) - 2C(x) • 5.- 3A(x) - 2B(x) + C(x) • 6.- 4A(x) - B(x) + 2C(x) • 7.- 4A(x) - 3B(x) + 5C(x) • 8.- A(x) - 4B(x) - 2C(x)

  22. Ejercicios • 3.- Efectúa las siguientes multiplicaciones de polinomios: • Sean los polinomios: • A(x) = x5 - 2x4 + 3x3 + 5x2 - 9x + 2 • B(x) = x2 - 2x + 3 • C(x) = 2x3 + 5x2 - 4x - 1 • D(x) = 4x2 + 3x - 2 • Hallar: • 1.- [A(x)] [B(x)] • 2.- [A(x)] [C(x)] • 3.- [A(x)] [D(x)] • 4.- [A(x)] [B(x) + C(x)] • 5.- [A(x)] [B(x) - C(x)] • 6.- [A(x)] [B(x) - D(x)] • 7.- [A(x)] [B(x) - C(x) - D(x)]

  23. Ejercicios • 4.- Efectúa las siguientes multiplicaciones de polinomios: • Sean los polinomios: • A(x) = x7 - 2/3 x6 + 1/4 x5 + 2/3 x4 - 2/3 x2 + 5x - 1/4 • B(x) = x2 - 2x - 3 • C(x) = x2 + 1/2 x - 5/3 • D(x) = 1/3 x3 - 1/2 x2 + 2/5 x - 4 • Hallar: • 1.- [A(x)] [B(x)] • 2.- [A(x)] [C(x)] • 3.- [A(x)] [D(x)] • 4.- [A(x)] [B(x) + C(x)] • 5.- [A(x)] [B(x) - C(x) + D(x)]

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