Zeitreihenanalyse WS 2004/2005

1. Zeitreihenanalyse WS 2004/2005 Michael Hauhs / Gunnar Lischeid • Definition einer Zeitreihe, Eigenschaften • Tests und Trenderkennung bei Zeitreihen • Beispiele (ACF, Tests), Fouriertransformationen, Powerspektrum • Zeitreihenmodellierung der ARMA-Klasse • Modellierung von Zeitreihen mit langem Gedächtnis • Kausalität, Transferfunktionen, multivariate Methoden • Skalierung, (Multi-)Fraktale • Komplexität und Information von Zeitreihen • Wavelets

2. Frequenzen, Zeiten, Längen, Perioden, ... Eine äquidistante Zeitreihe mit Messintervall (Zeitauflösung) und N Werten Länge der Messperiode Anzahl der Perioden im Datensatz Periodenlänge Frequenz Kreisfrequenz harmonische Frequenz Grundfrequenz, Frequenzauflösung Nyquist-Theorem, Abtasttheorem

3. Aufgabe • Berechnen Sie in Excel die Fourierkoeffizienten für den Datensatz in Aufgabe_Fourieranalyse.xls. • Erstellen Sie anhand der Fourierkoeffizienten ein Periodogramm. • Rekonstruieren Sie die Zeitreihe als Superposition der entsprechenden sin- und cos- Funktionen. • Überprüfen Sie dabei das Parsevalsche Theorem (Verteilung der Gesamtvarianz auf die einzelnen Frequenzen). • Führen Sie mit den Daten eine Fourieranalyse in Statistica durch und vergleichen Sie die Ergebnisse.

4. N = 30 Aliasing jenseits der Nyquist-Frequenz

5. Parsevalsches Theorem Die totale Varianz der Werte ist gleich der Summe der Varianzen der einzelnen Frequenzen:  Energie ist im Zeit- und Frequenzraum gleich Def.: Energie eines Signals:

6. Periodogramm • Aufteilung der Varianz auf die einzelnen Frequenzen: • s2(k) (= spektrale Varianz) gegen k aufgetragen • Berechnung anhand der Fourier-Koeffizienten:

7. Periodogramm = Darstellung der Varianzanteile für die einzelnen Frequenzen bzw. Phasenlängen

8. Amplitudenspektrum • = Amplituden der harmonischen Schwingungen: • mit ak, bk = Fourier-Koeffizienten •  grafische Darstellung im Amplitudenspektrum

9. Bei weissem Rauschen: gerade Linie von (0,0) nach (, 1) => Signifikanztest gegen weißes Rauschen! ε %-Signifikanz: Senkrechter Abstand zur Geraden: mit ε 0,01 0,05 0,10 0,25 dε 1,63 1,36 1,22 1,02 Kumulatives Periodogramm Periodogramm: Kumulatives Periodogramm: (normiert auf Summe = 1)

10. Kumulatives Periodogramm: Beispiel Lehstenbach/Fichtelgebirge, Tageswerte

11. Kumulatives Periodogramm: Beispiel Steinkreuz/Steigerwald, Stundenwerte

12. Periodogramm als Schätzer • Periodogramm als Schätzer für das Spektrum des die Zeitreihe erzeugende Prozesses: • positiv: Erwartungswert des Periodogramms konvergiert mit zunehmender Länge der Zeitreihe • negativ: die Varianz des Schätzers nimmt nicht mit zunehmender Länge des Datensatzes ab, daneu hinzukommende Information in die Verwendung von mehr Fourier-Stützstellen, und nicht in die Verringerung der Varianz an den einzelnen Stützstellen fließt: • Erhöhung der Abtastrate => Verschiebung der Nyquist-Frequenz, d.h., Erfassung neuer Spektralanteile • Verlängerung der Zeitreihe bei gleicher Abtastbreite => dichtere Verteilung der gleichbleibend ungenauen Schätzwerte. • => verläßlichere Spektralschätzer zur Schätzung des der Zeitreihe zugrunde liegenden • Prozeßspektrums gesucht

13. Signifikanz und Verteilung von Spektralwerten Für weißes Rauschen entstammen die Schätzwerte einer Verteilung: => unabhängig von N, d.h., keine Verbesserung durch Verlängerung der Zeitreihe !

14. Endliches weißes Rauschen

15. Spektogramm • = Darstellung der Spektraldichten • erfordert in der Regel eine Glättung des Periodogramms zur Verringerung von Bias und Varianz und zur Erhöhung der Stabilität der Schätzer • Glättung erfolgt i.d.R. über Fenstertechniken = stückweise Gewichtung der Daten • in der Zeitdomäne: Bartlett-Fenster • in der Frequenzdomäne: Daniell-, Tukey-Hanning-, Hamming-, Parzen-Fenster

16. Typische Spektralschätzer: Versatzfenster

17. Fouriertransformation Jede periodische Zeitreihe x(t) lässt sich auch im Frequenzraum darstellen: • => Verwendung der selektiven Fouriertransformation als Filter: • Tiefpassfilterung: Eliminieren der hochfrequenten Anteile • Hochpassfilterung: Eliminieren der niederfrequenten Anteile • Bandpassfilterung: Eliminierung aller Anteile außerhalb eines bestimmten Frequenzbereiches

18. Fast Fourier Transformation (FFT) • Numerisch schnelles numerisches Verfahren • für Werte: • lediglich statt Multiplikationen erforderlich • Prinzip: • Die diskrete Fourier-Transformation eines Datensatzes der Länge N • ist gleich • der Summe der beiden diskreten Fouriertransformationen der Länge N/2 • (getrennt für geradzahlige und ungeradzahlige t )

19. Fouriertransformation Für unendlich lange Zeitreihen gibt es alle Frequenzen Spektrum von • Merkmale: • umkehrbar • existiert für absolut integrierbare Funktionen • zeitglobal • Stationarität prinzipiell erforderlich

20. Leistungsspektrum (Powerspektrum) Def.: Energie eines Signals Leistungsspektrum, Powerspektrum, spektrale Dichte,... Nachteil: keine Phaseninformation mehr => Viele Prozesse mit gleichem Powerspektrum!

21. Powerspektrum • = Verallgemeinerung der Spektralanalyse für nicht-periodische, endliche (und diskrete) Funktionen • methodisch: fensterweise Durchführung einer Fouriertransformation der Autokorrelationsfunktion • übliche Darstellung: log-log-Plot des Leistungsspektrums • ( 'power-law' Charakteristik)

22. Powerspektrum = Fouriertransformation der Autokorrelationsfunktion

23. Bestimmung des Powerspektrums mit ρ: Autokorrelationswert η: h: Verschiebung (Time Lag) der Autokorrelationsfunktion M: maximale Verschiebung der Autokorrelationsfunktion D(k) "Fenster", z.B. Hamming Window

24. Faltungstheorem Faltungstheorem und Autokorrelation Faltung zweier Funktionen: Fouriertransformierte einer Funktionenfaltung Anwendung: Das Leistungsspektrum einer Zeitreihe ist die Fouriertransformierte ihrer Autokorrelation (Wiener-Khintchin-Theorem)

25. Farbiges Rauschen  Klassifizierung nach Steigung  der an den abfallenden Ast der Kurve im doppelt-logarithmischen Plot gefitteten Gerade  = 0weißes Rauschen: ohne jegliche Struktur, frequenzunabhängige spektrale Energiedichte 1/f Rauschen: spektrale Dichte umgekehrt proportional zur Frequenz (1/f Rauschen i.e.S. = rosa Rauschen:  = 1 bzw. 0,5 <  < 1,5) 0 <  < 1rotes Rauschen: größere Varianz der langperiodischen (niederfrequenten) Anteile => Tiefpassfilter; autokorrelierte Daten ("Trägheit") -1 <  < 0blaues Rauschen: größere Varianz der kurzperiodischen (hochfrequenten) Anteile => Hochpassfilter

26. Regen, β = 0.36 Abfluss, β = 1.15 Beispiele für Powerspektren I Lehstenbach/Fichtelgebirge

27. Regen, β = 0.28 Abfluss, β = 1.53 Beispiele für Powerspektren II Lange Bramke/Harz

28. Beispiel: Fernsehturm "Telemax" (280 m) (R. Heer, Uni Hannover)

29. Beispiel: Cl im Abfluss kleiner Einzugsgebiete (Kirchner et al. 2000)

30. Beispiel: Cl im Abfluss kleiner Einzugsgebiete (Kirchner et al. 2000)

31. Powerspektren für nicht-äquidistante Daten: Lomb-Scargle-Normalisierung Messungen der Zeitreihe zu beliebigen Zeitpunkten tj : für und = beste (im least squares Sinne) Approximation

32. Ein ziemlich lückiger Datensatz...

33. ...und sein Spektrum

34. Beispiel: Abflusspegel mit großer Lücke

35. Lomb-Scargle-Spektrum im Vergleich

36. Ausblick auf weitere Fouriermethoden • Multivariate Fouriertransformationen • Kreuz-Spektren (Kohärenz zwischen zwei Zeitreihen) • Skalierung, Potenzgesetze • Behandlung langreichweitiger Spektren • Zeitlokale Spektren: Zeit-Frequenz-Diagramme, Wavelets